(中國地質大學(武漢)數(shù)學與物理學院,湖北武漢430074)

0 引言

微波是一些機載[1-2]和星載[3-4]電子設備的主要工作電磁波段。在微波范圍,通常采用諧振腔產(chǎn)生高頻電磁振蕩。在微波電路中,諧振腔也常用作濾波器、頻率計和調諧放大器等。依據(jù)電磁場的相對論變換,文獻[5]計算了電容器和螺繞環(huán)等電子部件運動時電磁場的能量和動量,結果出乎意料,從而引發(fā)了作者對微波諧振腔運動時的電磁場的關注。本文沿用文獻[5-6]的相關思路,計算了微波矩形諧振腔勻速運動時電磁場的能量和動量,以期未來進一步探討微波諧振腔在較高速度下的狀態(tài)及其對電路穩(wěn)定性的影響。

1 波模(0,n,p)的電磁場

不妨設諧振腔運動方向為x方向。在矩形諧振腔上建立慣性參考系Σ′,矩形諧振腔的6個面為腔內(nèi)的電場的全實數(shù)表達形式為

腔內(nèi)對應的磁場可由麥克斯韋方程或亥姆霍茲方程求得。

考慮簡單的諧振波模(0,n,p),即

此種波模下電場方向平行于諧振腔運動方向。諧振腔內(nèi)總的電場能量對時間(一個周期)的平均值為

上述積分運算中利用了三角函數(shù)的半角公式和周期性,即充分利用了諸如之類的等式,使得積分運算非常簡單而可行。

諧振腔內(nèi)總的磁場能量對時間(一個周期)的平均值為

即整個諧振腔內(nèi)的總電場能量和總磁場能量對時間(一個周期)的平均值總相等[7]?？紤]電場和磁 場 的 時 間 因 子 分 別 為 cosω′t′和 cos(ω′t′+π/2),雖然電場能量和磁場能量隨時間反相變化,但在任何時刻電場能量和磁場能量之和保持不變。因此在Σ′系,在整個靜止的諧振腔內(nèi)的總電磁場能量(電場能量和磁場能量之和)為

設諧振腔在慣性參考系Σ中以速度v沿x的正方向勻速運動,即Σ′系相對Σ系以速度v沿x的正方向勻速運動。在Σ系中,諧振腔的面為x=vt,依據(jù)電磁場的相對論變換[7-8],在Σ系中電磁場表現(xiàn)為以V表示Σ系中電磁場分布空間(下同)。在Σ′系中,諧振腔中各處的電(磁)場同步作簡諧振動,但在Σ系中觀察,嚴格來講,微波諧振腔中各處的電(磁)場不再同步振動,但是由于諧振腔的尺寸較小,由諧振腔尺寸引起的電(磁)場振動的相對論時間差T為微波的振動周期)可忽略不計,即在Σ系中觀察諧振腔中各處的電(磁)場仍同步振動。

由此可得在Σ系中電磁場的各個分量表示為

該電磁場最后一個分量B x=0。

下面計算電磁場的各個分量對能量的貢獻:

同前面一樣,上述積分運算中也是利用了三角函數(shù)的半角公式和周期性。

在Σ系中,在一個周期內(nèi)整個運動的諧振腔內(nèi)的總電磁場能量(電場能量和磁場能量之和)平均值為

在Σ系中電磁場動量密度gEM=ε0E×B的各個直角分量表示為g x=ε0(E y B z-E z B y),g y=ε0(E z B x-E x B z),g z=ε0(E x B y-E y B x)。

下面計算電磁場的各種分量對動量的貢獻:

易知,P y=P z=0。即此種情況下諧振腔內(nèi)一個周期電磁場的平均總動量為

以上計算結果可類比于運動粒子的相對論能量與動量[8]。

2 波模(m,n,0)的電磁場

有了上面的計算方法和經(jīng)驗,下面繼續(xù)考慮在Σ′系諧振腔內(nèi)另一簡單的諧振波模(m,n,0)的電磁場,即

此種波模下電場方向垂直于諧振腔的運動方向。同樣,設在Σ′系整個靜止的諧振腔內(nèi)的總電磁場能量(電場能量和磁場能量之和)為W0,則有

該電磁場其余3個分量E x=E y=B z=0。

下面首先計算該波模的電磁場的能量。同理于前面的公式推導,有

于是,此種波模的電磁場的一個周期平均總能量為

下面再計算此種情況下電磁場的動量。首先,

其次易知,相應的該電磁場動量密度其余(如ε0E y B z等5個)分量在一個周期內(nèi)的平均值均為零。由此可得,此種情況下諧振腔內(nèi)一個周期電磁場的平均總動量為

以上計算結果說明,和運動粒子的相對論能量與動量[8]相比,此種情況下電磁場的能量與動量具有一定的特殊性。

3 結束語

前面分別計算了矩形諧振腔運動時腔內(nèi)兩種簡單的諧振波模(0,n,p)和(m,n,0)的電磁場的能量和動量。這兩種波模的電磁場在一個周期內(nèi)的平均能量和動量隨運動速度不同步增加,差別很大。諧振腔及其周邊的電子元件一起構成電壓回路或電流通路。如果諧振腔工作在高速運動的載體(如飛機或衛(wèi)星)上,當載體的速率或方向急劇變化(如急轉彎)時,這兩種波模在其周邊的電路中激發(fā)的相應電流或電壓擾動應該是不同的。這種擾動的強度有待進行定量計算。由此可以預見,(m≠0,n≠0,p≠0)的情況會更加復雜,這也有待進一步深入研究。

[1]牛利民,杜夔,張春城.機載預警雷達雜波仿真與分析[J].雷達科學與技術,2013,11(3):236-240.NIU Limin,DU Kui,ZHANG Chuncheng.Simulation and Analysis of Clutter for Airborne Early Warning Radar[J].Radar Science and Technology,2013,11(3):236-240.(in Chinese)

[2]錢軍,牛忠文.機載毫米波測云雷達吊艙關鍵技術研究[J].雷達科學與技術,2014,12(2):206-209.QIAN Jun,NIU Zhongwen.Research on Key Technologies of the Pod for Millimeter-Wave Airborne Cloud-Detection Radar[J].Radar Science and Technology,2014,12(2):206-209.(in Chinese)

[3]盛磊,劉小平.高分辨率寬觀測帶星載SAR技術研究[J].雷達科學與技術,2013,11(2):130-135.SHENG Lei,LIU Xiaoping.Research on High-Resolution Wide-Swath Spaceborne SAR Technology[J].Radar Science and Technology,2013,11(2):130-135.(in Chinese)

[4]王曉海.太赫茲雷達技術空間應用與研究進展[J].空間電子技術,2015(1):7-10.

[5]苑新喜.帶電體低速運動時電磁場的能量和動量[J].物理通報,2014(10):24-26.

[6]苑新喜.均勻帶電球面勻速運動時的電磁場能量[J].中國基礎科學,2012,14(6):37-38.

[7]虞福春,鄭春開.電動力學[M].修訂版.北京:北京大學出版社,2003:139.

[8]郭碩鴻.電動力學[M].3版.北京:高等教育出版社,2008:209.