Riemann Zeta函數(shù)ζ(s)的一種推導(dǎo)方法和證明

黑寶驪，陳艷麗,及萬會(huì)

(銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部,寧夏 銀川 750105)

摘要：首先應(yīng)用三角函數(shù)、雙曲函數(shù)以及二者乘積的級(jí)數(shù)展開式，證明Riemann Zeta函數(shù)ζ(s)(s為偶數(shù))時(shí)的一系列表達(dá)式，并得到一個(gè)表達(dá)形式較為簡單的遞推公式；同時(shí)應(yīng)用此方法得到(p為正整數(shù))時(shí)的一個(gè)遞推公式，并應(yīng)用留數(shù)基本定理逐一證明。

關(guān)鍵詞：Riemann Zeta函數(shù)；雙曲函數(shù)的級(jí)數(shù)；留數(shù)定理

中圖分類號(hào)：O 156.1

作者簡介：黑寶驪(1980-)，男，寧夏銀川人，能源學(xué)院基礎(chǔ)部教師。

DOI：10.3969/j.issn.1673-1492.2015.03.001

作者簡介：王康佳(1986-)，男，河南焦作人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槲⒉ㄆ骷c電路。

A Derivation Method and Proof of Riemann Zeta Function

HEI Bao-li,CHEN Yan-li,JI Wan-hui

(Department of Basic Courses,Yinchuan Energy Institute,Yinchuan,Ningxia 750105,China)

Abstract:First,by using trigonometric function,hyperbolic function,and the two product series expansions, a series of expressions of the Riemann Zeta function ζ(s)(s is even)are proved.And a recursive formula with a relatively simpleexpression is obtained.(p is a positive integer)is obtained,and residue theorem is used to prove them one by one.

Key words:Riemann Zeta function；the series of hyperbolic function；residue theorem

在研究數(shù)論的一些問題時(shí)通常需要用到Riemann Zeta函數(shù)ζ(s)[1]，它的表達(dá)式為

引理1[4]三角函數(shù)展開成級(jí)數(shù)如下(用數(shù)學(xué)軟件Maple13展開求得)引理2[5](留數(shù)基本定理)如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)奇點(diǎn)，那么f(z)在所有各奇點(diǎn)(包括∞點(diǎn))的留數(shù)總和必等于零。

(1)

(2)

(3)

圖1　函數(shù)f(z)在復(fù)平面內(nèi)向四周擴(kuò)充情況

由引理1的級(jí)數(shù)(1)式，令x=πz，那么級(jí)數(shù)

由引理1的級(jí)數(shù)(1)式，令x=πz，那么級(jí)數(shù)

在z=n,n=±1,±2,…是單極點(diǎn)。由引理1的級(jí)數(shù)(1)式，令x=πz，那么級(jí)數(shù)

同法利用引理1的級(jí)數(shù)(1)式可得到

在單極點(diǎn)z=n,n=±1,±2,…

在單極點(diǎn)z=ni，n=±1,±2,…

在單極點(diǎn)z=n,n=±1,±2,…

在單極點(diǎn)z=ni，n=±1,±2,…

同法利用引理1的級(jí)數(shù)(3)式可得如下

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[責(zé)任編輯：鄭秀亮英文編輯：劉彥哲]