凌云志+汪輝

“空間與幾何”被新課標(biāo)列為十大核心概念之一.其“核心”意義至少有兩個(gè)方面：從學(xué)科角度看，數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué).“空間與幾何”作為數(shù)學(xué)三大領(lǐng)域之一，共同架構(gòu)起數(shù)學(xué)知識(shí)體系，孕育思想方法.而空間觀念又是學(xué)習(xí)這一領(lǐng)域的慧眼，為什么這么說？首先我們弄清什么是空間觀念，簡(jiǎn)單地說就是對(duì)圖形的數(shù)學(xué)看法和想法.它是發(fā)現(xiàn)與解決幾何問題的數(shù)學(xué)思維先導(dǎo).空間觀念的品質(zhì)決定解決幾何問題的思維深度與廣度.因而空間觀念對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)具有“干細(xì)胞”意義；從教學(xué)反思角度看，學(xué)生很多解題缺陷都可溯源于“空間觀念”某種圖形觀點(diǎn)或意識(shí)的缺失.因此，“空間觀念”在學(xué)與教兩個(gè)方面都處在“核心”地位.問題是我們?cè)鯓咏⑴c發(fā)揮它的核心作用？

當(dāng)下對(duì)“空間觀念”的闡釋，偏重于“能力”視角：（1）根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形.反之，由幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；（2）想象出物體的方位和相互之間位置關(guān)系；（3）描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；（4）依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形等.

對(duì)空間觀念的培養(yǎng)途徑，已有共識(shí)：（1）依靠課程中“空間與幾何”典型內(nèi)容的學(xué)習(xí)，逐步建立與發(fā)展空間觀念；（2）依靠教學(xué)策略.借助現(xiàn)實(shí)情境和學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)來發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)；通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和問題探究活動(dòng)，讓學(xué)生從驗(yàn)證、思考和想象過程中發(fā)展空間觀念.即從“學(xué)”和“教”兩個(gè)基本途徑來培育和發(fā)展空間觀念.

空間觀念能力表征和兩個(gè)基本的培養(yǎng)途徑，雖為教學(xué)提供了標(biāo)桿和基本方法，但沒有深入其內(nèi)涵.空間觀念的能力實(shí)質(zhì)是什么？空間觀念的能力體現(xiàn)的階段與層次有哪些？實(shí)現(xiàn)這種能力有哪些具體的教學(xué)針對(duì)？

空間觀念應(yīng)具有三層內(nèi)涵：（1）對(duì)圖形視覺心理受需要、經(jīng)驗(yàn)、情緒和意愿的影響很大，需要教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知能力去選擇素材、組織活動(dòng)，排除無(wú)數(shù)學(xué)意義視覺信息，逐步感受形的特征、位置與數(shù)量關(guān)系.空間觀念的建立必須經(jīng)歷“教化后的體驗(yàn)”的感受階段.如建立圖形的方位意識(shí)、結(jié)構(gòu)意識(shí)、位置與數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)等；（2）空間觀念是否具有，必須在數(shù)學(xué)問題中應(yīng)驗(yàn)，其能動(dòng)性體現(xiàn)在：對(duì)圖形數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)量信息再認(rèn)識(shí)，可從圖形局部到整體或由表及里（立體幾何更明顯））地進(jìn)行合理想象，或?qū)D形做靜態(tài)向動(dòng)態(tài)有意義的聯(lián)想和處理，或?qū)D形要素分解、重組、拓展等，以此實(shí)現(xiàn)對(duì)圖形數(shù)學(xué)事實(shí)的發(fā)現(xiàn)與認(rèn)定的感應(yīng)階段；（3）獲得對(duì)空間觀念學(xué)習(xí)與運(yùn)用的方法、經(jīng)驗(yàn)、價(jià)值與意義的覺悟，使之成為后續(xù)學(xué)習(xí)與發(fā)展的數(shù)學(xué)和世界觀的哲學(xué)素養(yǎng)，達(dá)到空間觀念升華的感悟階段.

以初中教學(xué)內(nèi)容為例，解讀空間觀念教育的“三感”內(nèi)涵對(duì)教學(xué)的啟發(fā).

1 空間觀念的感受有哪些遞進(jìn)深入的層次

從學(xué)的層面看，空間觀念的感受是學(xué)生對(duì)空間與幾何的圖形元素模型化的結(jié)構(gòu)與意義的體驗(yàn)；從教學(xué)的層面看，圖形元素被選擇、組織、加工后，通過教學(xué)載體和學(xué)習(xí)活動(dòng)，被學(xué)生有思想、有主題地建構(gòu)，獲得有關(guān)形的特征、結(jié)構(gòu)、方位、數(shù)量關(guān)系等方面的認(rèn)識(shí).這種感受的水平取決于：活動(dòng)與載體的多樣性、有效性.載體可以是看的見的教具、圖片和摸得著的學(xué)生制作、實(shí)驗(yàn)等，還有想起來的生活經(jīng)驗(yàn)等；活動(dòng)應(yīng)源于生活切身體驗(yàn)，對(duì)空間與幾何的特征、結(jié)構(gòu)、方位意識(shí)，成于耳、目、口、手和腦并用之中.

在具體教學(xué)中，學(xué)生建立空間觀念應(yīng)經(jīng)歷以下遞進(jìn)深入的感受層次：①感受幾何對(duì)象的概念化過程（或方法）→②感受幾何模型的數(shù)學(xué)元素結(jié)構(gòu)特征或構(gòu)成方式→③從幾何模型結(jié)構(gòu)或生成意識(shí)中，感受幾何元素位置與數(shù)量關(guān)系的存在→④感受幾何模型的價(jià)值與意義→⑤感受幾何看法的不斷先進(jìn)與發(fā)展.在很多現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中，往往因?yàn)榇颐?，學(xué)生感受沒深入這些必經(jīng)的層次.下面我們列舉一些常見的教學(xué)不足.

缺失1 學(xué)生沒有充分感受概念化的過程與方法.如講到方位角時(shí)，教師沒有強(qiáng)調(diào)誰(shuí)是“截線”，或沒說清同位角的“同位”和內(nèi)錯(cuò)角的“內(nèi)錯(cuò)”方位含義各是什么？學(xué)生遇到稍微復(fù)雜的圖形時(shí)便很茫然；又如甚至有些學(xué)生在中考時(shí)還是認(rèn)不清三角形的高，可能教師沒有講清哪條邊上的高與選擇引“高”的頂點(diǎn)是什么對(duì)應(yīng)關(guān)系.這兩個(gè)例子，前者說明缺失感受方法，后者是疏忽了感受過程.幾何概念的建立是一定的空間觀念形成的關(guān)鍵，概念化的過程與方法是對(duì)空間的幾何要素邏輯化的認(rèn)識(shí)，促成對(duì)模型要素關(guān)聯(lián)、有序的看法.

缺失2 學(xué)生沒有充分感受對(duì)幾何模型的構(gòu)成方式的多樣性和兩種意識(shí).幾何模型是獲得基本知識(shí)的工具，又是解讀復(fù)雜圖形的“基本單位”.對(duì)幾何模型結(jié)構(gòu)意識(shí)是幾何思維的基本條件.在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，很少有教師注意讓學(xué)生感受幾何模型結(jié)構(gòu)理解的多樣性.比如在研究三角形內(nèi)角組合成平角時(shí)，教師沒注意點(diǎn)化平行線的結(jié)構(gòu)性意義：將分散的內(nèi)角聚攏成平角，同時(shí)將兩個(gè)內(nèi)角收攏成另一個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角.角與角靜態(tài)的結(jié)構(gòu)看法：內(nèi)外角關(guān)系、內(nèi)錯(cuò)角和同位角的方位角關(guān)系、鄰補(bǔ)角關(guān)系；角與角動(dòng)態(tài)的結(jié)構(gòu)看法：有兩個(gè)內(nèi)角通過平行線發(fā)生了移動(dòng)，分別形成能組成平角意義的內(nèi)錯(cuò)角和同位角.這種移動(dòng)是有主題意義的動(dòng)態(tài)生成.靜態(tài)的結(jié)構(gòu)意識(shí)和動(dòng)態(tài)的生成意識(shí).對(duì)幾何思維來說，它無(wú)時(shí)無(wú)處不用.學(xué)生沒有這兩種意識(shí)，一旦遇到具體問題，深入不到圖形元素結(jié)構(gòu)關(guān)系中，看不到關(guān)聯(lián)，感覺不到生成.

缺失3 幾乎所有的幾何模型都是揭示圖形特定的結(jié)構(gòu)關(guān)系與數(shù)量關(guān)系（知識(shí)）的聯(lián)系.但是我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，往往忽視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)空間觀念的主題意義的感受.主題意義：①模型化是發(fā)現(xiàn)知識(shí)的最基本圖形要件，空間觀念形成的圖形看法，最終是把對(duì)應(yīng)關(guān)系、位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，空間觀念是達(dá)到“形”中有“數(shù)”的臺(tái)階；②空間觀念具有一種追求“看法”不斷進(jìn)步的意識(shí)，將熟悉的“看法”不斷分化、組合，優(yōu)化為新“看法”.如利用三角形全等去發(fā)現(xiàn)角平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)及其逆定理，這就分化出新的空間觀念（新看法）：不必再通過三角形全等，直接認(rèn)同新的位置與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.但是很多教師不注意去啟發(fā)學(xué)生感受空間觀念推陳出新的意義.下面的例子就是一個(gè)很好的例證：

例1 如圖1，已知點(diǎn)C、D是線段AB上方的兩點(diǎn)，直線CD與線段AB交于點(diǎn)O，并有AC

=BC和AD=BD.求證：直線CD是線段AB的垂直平分線（2011年黃山市八年級(jí)期末統(tǒng)考題）.

試卷分析 在抽樣300份試卷中672%的學(xué)生能正確證明，其中只有4個(gè)考生是用空間觀念的新看法來證明：由AC=BC，AD=BD，知C、D是線段AB垂直平分線上的點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)只能確定一條直線，直線CD就是線段AB的垂直平分線.其余的考生都是采用兩次以上三角形全等，分步證得“平分”、“垂直”.可見教師平時(shí)沒有讓學(xué)生感受“垂直平分線”新看法新觀念的意義.

分析空間觀念中數(shù)學(xué)看法的“感受”的內(nèi)涵與層次，對(duì)教學(xué)具指導(dǎo)意義：①提高教師對(duì)課程設(shè)置數(shù)學(xué)活動(dòng)意義的理解.比如全等三角形判定方法，各地教材都是用畫法所得三角形的唯一性來認(rèn)同“全等”事實(shí).畫法的要義，讓學(xué)生感受全等三角形空間觀念結(jié)構(gòu)與生成意識(shí)：通過作圖的有序操作，認(rèn)識(shí)全等要素結(jié)構(gòu)關(guān)系，以及明白作圖要素使得畫法生成三角形具唯一性.相反“SSA”的條件操作獲得的三角形就不具唯一性；②課本安排的數(shù)學(xué)活動(dòng)是以獲得空間觀念的看法層次深入為目的.比如“軸對(duì)稱”，以最新的人教版教材為例，數(shù)學(xué)活動(dòng)提供的感受層次：①觀察圖形對(duì)稱的例子（全等視角）→②操作：剪、貼、畫，感受“軸對(duì)稱圖形”具空間拓展的生成性→③從動(dòng)態(tài)生成觀點(diǎn)，對(duì)“軸對(duì)稱”的概念化→④觀察折線與能重合的對(duì)稱點(diǎn)或線段的對(duì)應(yīng)、位置關(guān)系（結(jié)構(gòu)意識(shí)）→⑤獲得軸對(duì)稱數(shù)學(xué)性質(zhì)（知識(shí)）→⑥會(huì)畫出軸對(duì)稱圖形（靜態(tài)結(jié)構(gòu)意識(shí)和動(dòng)態(tài)生成觀點(diǎn)再體驗(yàn)）.我們的老師是否注意這些感受深入層次？是否又通過有明確的教學(xué)設(shè)問，去啟發(fā)學(xué)生說看法、想法，了解學(xué)生有逐步深入這些層次的感受？

2 空間觀念的感應(yīng)是解決幾何問題的思維先導(dǎo)

詞典對(duì)“感應(yīng)”一詞解釋：受事物影響而引起的反應(yīng).這里特指空間觀念在幾何問題中的能動(dòng)反應(yīng).空間觀念既有看法上的感受，也有想法上的感應(yīng).簡(jiǎn)單地說，能否從圖形的局部去想象出整體；從顯性外部去發(fā)現(xiàn)隱形的內(nèi)部；把看似凌亂構(gòu)圖要素做定向選擇，做出有序結(jié)構(gòu)化的關(guān)聯(lián)；對(duì)圖形要素進(jìn)行分解、重組或延展，按照意愿去改造圖形結(jié)構(gòu)；把靜態(tài)的圖形做動(dòng)態(tài)處理（與幾何變換有關(guān)），從而找到理解、分析和解決問題的線索.對(duì)圖形的想象力是空間觀念感應(yīng)的核心能力.研究空間觀念的感應(yīng)能力的意義：它是學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析與解決幾何問題的思維先導(dǎo)；研究空間觀念的感應(yīng)類型是教師形成教學(xué)思路與策略的依據(jù).

2.1 “伴生”感應(yīng)推動(dòng)轉(zhuǎn)化思維

“伴生”是指有些幾何條件的運(yùn)用不是直接的，而是要借助于相伴幾何對(duì)象來發(fā)揮作用，而這些相伴幾何對(duì)象往往被故意隱去，只有被感應(yīng)并顯化后，解題思路才能形成.

例2 （2013年安徽）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E.若EB=EC，請(qǐng)問當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（見圖2），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”？（即∠ABC=∠DCB是否成立）

感應(yīng) 想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等.過點(diǎn)E分別向直線PB、AD、PC作垂線段EF、EG、EH，應(yīng)有EF=EG=EH，易得Rt△BEF≌Rt△CEH（HL），∠ABC=∠DCB.四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”.

啟示 發(fā)揮空間觀念對(duì)條件“伴生”感應(yīng)，促發(fā)對(duì)解題轉(zhuǎn)化思維形成，這是解決幾何問題很常見的.但是，學(xué)生經(jīng)常想不到這點(diǎn)，一個(gè)重要原因：我們老師沒有注意培養(yǎng)學(xué)生這種“感應(yīng)”能力，一味從思維方法中捕風(fēng)捉影.因此，在平時(shí)教學(xué)中我們應(yīng)著意提醒學(xué)生注意：“角與邊”、“比例與平行”、“弧和弦與圓有關(guān)的角”的“伴生”現(xiàn)象，建立思考對(duì)象的“共同體”，理性添加輔助線.

2.2 “動(dòng)生”感應(yīng)促發(fā)“變換”思維

“動(dòng)生”是指圖形中含有平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、位似變換的元素成分，從運(yùn)動(dòng)生成的觀點(diǎn)看待圖形的構(gòu)成，生發(fā)“變換”思維，找到解決問題的方法.

（1）①求∠MPN的度數(shù)；②求證：PM+PN=3a；（2）如圖52，設(shè)點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，連接OM、ON，求證：OM=ON；（3）如圖53，設(shè)點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊的四邊形？并說明理由.

感應(yīng) （1）正六邊形的外接圓（半徑恰好是它的邊長(zhǎng)），這是背景.以此為“根據(jù)地”，顯見∠MPN=∠FCD=60°；找到“事發(fā)地”：利用PSFM、CDNS和等邊△CSP的傳“距”：PM+PN=FS+SC+CD，易證②；（2）找到“事發(fā)地”：BHMA、PNEH和等邊△HBP，用其傳“距”、“角”效果，認(rèn)定旋轉(zhuǎn)變換△AOM→△EON，點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角120°，OM=ON成立；（3）找到“事發(fā)地”：△GOE≌△NOD（ASA），進(jìn)而認(rèn)定△MOG、△NOG為等邊三角形，四邊形OMGN為含60°角的菱形.

啟示 “源生”感應(yīng)是空間觀念對(duì)數(shù)形結(jié)合思維的先導(dǎo).在平時(shí)教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題設(shè)與求索，對(duì)圖形區(qū)域做解題價(jià)值意義的考察.通過合理的聯(lián)想與甄別，找到或作出能解決問題的“根據(jù)地”.

2.4 “仿生”感應(yīng)促成“類比”思維

發(fā)現(xiàn)圖形結(jié)構(gòu)與平時(shí)幾何模型有相似性，可以借鑒模型看法，形成類比思維，發(fā)現(xiàn)解題線索.這種空間觀念的感應(yīng)，形象為“仿生”感應(yīng).

例6 （2009年安徽）如圖6，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G.

（1）寫出圖中兩對(duì)相似三角形；（2）連接FG，如果α=45°，AB=42，AF=3，求FG的長(zhǎng).圖6

啟示 幾何模型的教學(xué)不僅為建構(gòu)知識(shí)，同時(shí)也為空間觀念的“仿生”感應(yīng)提供素養(yǎng).平時(shí)教學(xué)應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生從問題找到曾是“相識(shí)”的感應(yīng).此外要強(qiáng)化經(jīng)典模型感受，如教材中“趙爽圖”證明勾股定理、用分類討論和化歸方法證明圓周角定理等用到圖形，撿拾中考考法，找到它們的影子，讓學(xué)生借鑒“仿生”感應(yīng)，獲得類比思維靈犀.下面這個(gè)例子就是典型的“仿生”感應(yīng)：

例7 （2010年上海）如圖7，在斜截的圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40cm，母線最短50cm、最長(zhǎng)80cm，則斜截圓柱的側(cè)面積S= cm2.

感應(yīng) 受梯形面積公式推導(dǎo)啟示：將斜截的圓柱成雙，其一倒置與另一個(gè)拼接成圓柱，顯然，S=π×40×50+80÷2=2600πcm2.

研究空間觀念的感應(yīng)類型，看清幾何思維方法的淵源.幾何思維是依據(jù)圖形發(fā)生的，必須借助空間觀念的感應(yīng)機(jī)制來發(fā)生.長(zhǎng)期以來，我們習(xí)慣從數(shù)學(xué)思想方法的探討來代替幾何思維的研究，沒有注意“空間感應(yīng)”對(duì)數(shù)學(xué)思維和教學(xué)策略具有資源性意義.

3 空間觀念的建立與發(fā)展過程應(yīng)充滿對(duì)數(shù)學(xué)的感悟

空間觀念是對(duì)圖形的數(shù)學(xué)看法與想法，對(duì)人的世界觀有著積極影響.空間觀念的建立與發(fā)展過程，應(yīng)伴隨著對(duì)孩子追求真、善、美的感悟性教育.真：空間觀念盡管是以抽象形式來反映現(xiàn)實(shí)世界中形的特征和位置關(guān)系，但揭示的位置、數(shù)量關(guān)系真實(shí)存在，如圓錐的體積計(jì)算、垂線段最短等，都能從生活實(shí)例中得到應(yīng)驗(yàn).空間觀念說明世界的可知性；善：其一，空間觀念是一種對(duì)客觀世界的善化.經(jīng)抽象化、概念化、模型化……的處理，使得數(shù)學(xué)的真理不斷凸現(xiàn).其二，空間觀念為數(shù)學(xué)勤于建造，力于優(yōu)化，它是數(shù)學(xué)思維的先導(dǎo)，沒有空間觀念，很多數(shù)學(xué)思想方法無(wú)所寄宿.其三，空間觀念也是一種價(jià)值觀念，尋求知識(shí)力量去改造世界，美化生活，比如現(xiàn)實(shí)生活很多發(fā)明創(chuàng)造運(yùn)用了數(shù)學(xué)空間模型，采用了合理的位置、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)；美：空間觀念的發(fā)展，不僅創(chuàng)造數(shù)學(xué)靜態(tài)的形式美，而且也構(gòu)造出空間運(yùn)動(dòng)、變換和生成的動(dòng)態(tài)美，更重要的是催生數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法的智慧美.因而空間觀念是用數(shù)學(xué)眼光去探尋世界隱深的精彩與絕妙，應(yīng)視為人生哲學(xué)中的精粹.教師應(yīng)深挖其內(nèi)涵，推敲孩子能感觸、欣賞的題材，唯美動(dòng)情地去給予孩子智慧、道德和精神層面上的感悟.下面這個(gè)例子就是很好的感悟性教育的題材：

感悟 空間觀念的能動(dòng)性和創(chuàng)造性魅力無(wú)限！通過對(duì)空間圖形的感應(yīng)與優(yōu)化，獲得更好的證法.

空間觀念之所以列為數(shù)學(xué)十大核心概念之一，是因其對(duì)發(fā)展人的數(shù)學(xué)能力和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)影響力之大.它的內(nèi)涵和教育功能，還有待于我們從多個(gè)層面和角度去探索、挖掘.本文“三感”只是淺水而漁，求簡(jiǎn)取易，要將其深化于數(shù)學(xué)教育思想和成效于教學(xué)手段、方法，還有待于同仁共勉.