宋煜陽

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“課程目標(biāo)”中明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能……增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！本途唧w解決問題步驟而言，無論是問題的發(fā)現(xiàn)、提出還是問題的分析、解決，都離不開觀察、識(shí)別、比較、分析等認(rèn)知活動(dòng)的支持。也就是說，分析活動(dòng)是貫穿整個(gè)解決問題過程的，一旦缺乏或中止分析活動(dòng)，思維鏈條就會(huì)被切斷。而分析問題能力，是需要以具體的學(xué)習(xí)材料為媒介進(jìn)行歷練與培養(yǎng)的。其中，加強(qiáng)學(xué)習(xí)材料的整體呈現(xiàn)和圖形表征，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題意識(shí)、提高學(xué)生分析問題能力的有效通道。

一、加強(qiáng)學(xué)習(xí)材料的整體呈現(xiàn)，提升認(rèn)知沖擊力

與實(shí)驗(yàn)版教材相比，人教版教材在修訂版中新增了較多的解決問題策略教學(xué)內(nèi)容，教師們普遍感到新教材難度加大，學(xué)生困難較多，于是在問題解決中減緩坡度，把原本隸屬一個(gè)整體的問題分解為若干問題，拾級(jí)而上。表面上看，課堂更順暢了，學(xué)生解決問題的正確率提高了。問題是，長此以往學(xué)生無形中滋長了對(duì)教師的依賴性，削弱了對(duì)實(shí)際問題的整體判斷和獨(dú)立分析能力、面臨困難的受挫性和忍耐力、獨(dú)立思考的持續(xù)力。如同一棵幼苗，長期在溫室中成長，在自然環(huán)境中生命就脆弱得多。在教學(xué)中，要還原教材問題的整體性呈現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷困境的洗禮，組織學(xué)生梳理面臨的困難、明確思考的方向，這本身就是分析問題能力的重要訓(xùn)練點(diǎn)。

比如，在六年級(jí)上冊(cè)新增了“用假設(shè)法解決問題”，以對(duì)話形式呈現(xiàn)信息：“這條道路，如果我們一隊(duì)單獨(dú)修，12天能修完”，“如果我們二隊(duì)單獨(dú)修，18天才能修完”，給出“如果兩隊(duì)合修，多少天能修完？”的問題。實(shí)際教學(xué)顯示，絕大多數(shù)學(xué)生第一次面臨這個(gè)問題，會(huì)感到束手無策，此時(shí)教師不要急于提供假設(shè)思路方法，而是組織學(xué)生梳理出“因?yàn)檫@條道路具體長度未知”這一認(rèn)知拐點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，讓學(xué)生在“如果具體長度知道了該多好”“具體長度不知道又該怎么辦呢”的認(rèn)知>中突中多逗留一會(huì)兒，加深對(duì)假設(shè)策略頓悟的體驗(yàn)。

如果說，上述情形是屬于對(duì)學(xué)習(xí)材料整體性“人為破壞”進(jìn)行復(fù)原的話，教學(xué)中還要善于在已有典型材料基礎(chǔ)上附加材料，由單個(gè)（類）材料轉(zhuǎn)為整體性結(jié)構(gòu)材料，通過材料之間的相近性、差異性增強(qiáng)干擾性，促使學(xué)生“擦亮眼睛”“細(xì)心思考”，提高學(xué)習(xí)材料的識(shí)別、分化水平，從而進(jìn)一步逼近學(xué)習(xí)本質(zhì)的理解。

比如，概念“高”的教學(xué)是“三角形認(rèn)識(shí)”一課中的重難點(diǎn)所在。教學(xué)中，通常提供水平方向的正例進(jìn)行概括“高”的概念；也有教師更進(jìn)一步在水平正例基礎(chǔ)上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變式，再組織學(xué)生將不同方位的“高”進(jìn)行概念分析概括。應(yīng)該說在這個(gè)過程中，學(xué)習(xí)材料由單一的水平方向擴(kuò)展到不同方位，學(xué)習(xí)材料的整體性有所增強(qiáng)。其實(shí)這個(gè)整體性視角還可以進(jìn)一步拉大?？梢栽诓煌轿蛔兪交A(chǔ)上（圖1），增加一組不是“高”的材料（圖2），明確告訴學(xué)生第二組材料都不是三角形的高，讓學(xué)生觀察分析思考“究竟什么是三角形的高”。這里給出一組正例和一組反例，讓學(xué)生在“是高”“不是高”的辨別中進(jìn)行分析，提升學(xué)生的分化水平，有效推動(dòng)了學(xué)生分析問題能力的訓(xùn)練。

又如，在“正比例”教學(xué)中，教材例題只提供了“文具店有一種彩帶，銷售的數(shù)量與總價(jià)的關(guān)系（表1）”材料，組織學(xué)生觀察思考“表中有哪兩個(gè)量”“總價(jià)是怎樣隨著數(shù)量的變化而變化的”“相應(yīng)的總價(jià)和數(shù)量的比分別是多少，比值是多少”，從而直接揭示正比例概念。顯然，學(xué)習(xí)材料過于單一，學(xué)生對(duì)“兩種量之間的變化趨勢(shì)”感知是不夠的，缺乏一種識(shí)別的沖擊力。教學(xué)中可以整體性提供一組材料（表一、表二、表三），組織學(xué)生進(jìn)行觀察并根據(jù)變化趨勢(shì)分類。

讓學(xué)生分析得出“表一、表二為一個(gè)量隨著另一個(gè)量的增加（減少）而增加（減少）”，進(jìn)一步分析表一“正比例”變率的特殊性。這樣，通過材料的擴(kuò)展、干擾，增強(qiáng)了認(rèn)知沖突力，促發(fā)學(xué)生萌生分析的意識(shí)，為分析問題能力的培養(yǎng)與提升奠定基礎(chǔ)。

二、加強(qiáng)學(xué)習(xí)材料的圖形表征，提升自主表達(dá)力

美國認(rèn)知心理學(xué)家Simon認(rèn)為：“表征是問題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦里是如何呈現(xiàn)的，如何表現(xiàn)出來的?！边@也就是說，表征是學(xué)習(xí)者實(shí)現(xiàn)自我分析、自我表達(dá)的有效手段。常見的表征形式有語言表征、符號(hào)表征、圖形表征和情境表征等。由于圖形表征主要是通過畫圖方式表達(dá)題意和解題思路，有助于直觀分析與交流，應(yīng)成為培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力的重要訓(xùn)練手段。

對(duì)于理解題意的分析，主要表現(xiàn)為兩個(gè)方面。一方面是將圖畫、圖文、對(duì)話形式的信息材料整理成純文字；另一方面是將純文字的信息材料轉(zhuǎn)譯為圖畫。隨著年級(jí)的升高，純文字形式的信息材料居多，教學(xué)中要特別關(guān)注從文到圖的表征訓(xùn)練。比如，在三年級(jí)上冊(cè)新增了“歸總問題”，例題內(nèi)容為“媽媽的錢買6元一個(gè)的碗，正好可以買6個(gè)。用這些錢買9元一個(gè)的碗，可以買幾個(gè)？”，教材安排了運(yùn)用線段圖進(jìn)行分析題意。測(cè)試顯示，多數(shù)學(xué)生能正確列式解答但分析意識(shí)和能力很弱。顯然，本課教學(xué)除了能正確列式解答外，還承載著一個(gè)重要教學(xué)目標(biāo)是“讓學(xué)生學(xué)會(huì)用線段圖整理、分析條件和問題，使問題和條件之間建立直觀的數(shù)量關(guān)系，感知?dú)w總問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)”。而在條件和問題梳理分析中，學(xué)生既要解讀出“這些錢”總量不變這一關(guān)鍵問題，并在線段圖上反映為長度相等，又要用不等長的線段區(qū)分出“6元”“9元”價(jià)錢不一，在“等長”和“不等長”的圖示表達(dá)中經(jīng)常會(huì)顧此失彼。如下圖（圖3、圖4）就是表征出現(xiàn)困難的典型：

此時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生圍繞“整條線段表示什么？”“同樣長是反映哪條信息？”“不同樣長想表達(dá)什么信息？”等一系列問題開展討論，在圖文對(duì)照分析中，促發(fā)學(xué)生對(duì)歸總問題本質(zhì)的感知與理解。

分析解答是解決問題步驟中的核心環(huán)節(jié)，主要涉及數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)原理的分析。由于數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)原理相對(duì)比較抽象，經(jīng)常需要借助圖示材料予以直觀化，讓學(xué)生清晰地看到分析的依據(jù)和過程。依然以“假設(shè)法解決問題”為例（一條道路，一隊(duì)單獨(dú)修，10天修完；二隊(duì)單獨(dú)修，15天修完。兩隊(duì)合修，多少天修完？），當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)把這條道路千米數(shù)假設(shè)為“30”“60”“150”等數(shù)據(jù)，結(jié)果一致，就自然生發(fā)出“為什么長度變了，合修的天數(shù)不變”的探究需求。在這個(gè)尋理分析過程中，有的學(xué)生是根據(jù)“30÷（30÷10+30÷15）”“60÷（60÷10+60÷15）”“150÷（150÷10+150÷15）”數(shù)據(jù)的縮放規(guī)律分析，有的學(xué)生則能發(fā)現(xiàn)每天修的千米數(shù)和總路長比例是不變的。后者是“理”的本質(zhì)所在，但需要借助下圖（圖5）進(jìn)行直觀分析，發(fā)現(xiàn)“一隊(duì)在全長30千米、60千米中每天修的米數(shù)占全長的比例始終是1/10，同理二隊(duì)工作效率為1/15，兩隊(duì)合修天數(shù)為1÷（1/10+1/15）”。通過直觀的圖形表征讓學(xué)生看到“每天修的千米數(shù)和總路長比例不變”，才真正深入理解抽象為單位“1”為特征的工程問題本質(zhì)。

分析問題，作為一種意識(shí)與能力，對(duì)其培養(yǎng)與訓(xùn)練既需要“入境”又需要“明理”。教學(xué)中，要善于通過學(xué)習(xí)材料，制造學(xué)生認(rèn)知沖突，產(chǎn)生“知其然”的需求，并在內(nèi)化表征、直觀交流中“知其所以然”，逼近知識(shí)本質(zhì)的分析，從而實(shí)現(xiàn)以學(xué)習(xí)材料為支點(diǎn)撬動(dòng)學(xué)生問題分析能力的有效培養(yǎng)與發(fā)展。

責(zé)任編輯 曾維平