田青松, 門福殿通訊作者：門福殿,E-mail：menfudian＠163.com, 陳新龍（中國石油大學(xué)（華東）理學(xué)院,山東青島 266580）

重力場和強(qiáng)磁場中費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)

田青松, 門福殿??通訊作者：門福殿,E-mail：menfudian＠163.com, 陳新龍
（中國石油大學(xué)（華東）理學(xué)院,山東青島 266580）

基于半經(jīng)典近似,研究重力場和強(qiáng)磁場共存下費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì),通過理論解析和數(shù)值模擬分析強(qiáng)磁場背景下重力場對系統(tǒng)熱力學(xué)性質(zhì)的影響.研究表明：與單純強(qiáng)磁場相比,重力場的引入使能量及化學(xué)勢都降低.隨溫度的上升,重力場對化學(xué)勢的影響逐漸放大；對熱容的影響有極大值.重力場使系統(tǒng)的熱容隨磁場的振蕩幾乎不變、使化學(xué)勢的振蕩中心下移.

重力場；強(qiáng)磁場；費(fèi)米氣體；熱力學(xué)性質(zhì)

0 引言

近年來,研究外勢及相互作用同時對熱力學(xué)系統(tǒng)的影響成為熱點(diǎn)課題.特別是對諧振勢約束下的量子系統(tǒng)進(jìn)行了較為深入的研究,取得了一系列的成果[1－10].磁場是一種重要的約束[11],對于強(qiáng)磁場約束下費(fèi)米氣體的性質(zhì)有不少研究.如,文獻(xiàn)[12]研究了強(qiáng)磁場中弱相互作用費(fèi)米氣體的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[13]研究了強(qiáng)磁場中超冷費(fèi)米氣體的相對論效應(yīng).文獻(xiàn)[14]研究了強(qiáng)磁場中費(fèi)米氣體的穩(wěn)定性及順磁性.文獻(xiàn)[15]研究了強(qiáng)磁場中弱相互作用費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì).文獻(xiàn)[16]基于準(zhǔn)經(jīng)典近似研究了強(qiáng)磁場中高溫費(fèi)米氣體的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).但在強(qiáng)磁場和重力場共同約束下的費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)尚無人研究.眾所周知,重力場是一種客觀存在的勢場,盡管在微觀領(lǐng)域中重力的強(qiáng)度相對較弱,然而研究表明,重力的量子效應(yīng)的確存在[17],再加上實(shí)驗(yàn)手段愈來愈精細(xì),測量愈來愈精準(zhǔn),因而在理論研究中需考慮重力場對低溫費(fèi)米氣體統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的影響.尤其對有精細(xì)結(jié)構(gòu)及超精細(xì)結(jié)構(gòu)的費(fèi)米系統(tǒng)（如6Li原子系統(tǒng),它有6個超精細(xì)能態(tài)）,重力場的影響是不可忽略的.因此研究雙場（磁場和重力場）約束下的費(fèi)米系統(tǒng)有實(shí)際意義.相對于強(qiáng)磁場,重力場對系統(tǒng)熱力學(xué)量的貢獻(xiàn)較小,但其理論研究的結(jié)果對于掌控強(qiáng)磁場背景下系統(tǒng)的性質(zhì)是重要的.如,利用磁場作為外部控制手段來實(shí)現(xiàn)磁場Feshbach共振以改變原子間的散射長度的實(shí)驗(yàn),當(dāng)要實(shí)現(xiàn)某一高精度時,有必要在磁場背景下考慮重力場的修正.本文基于半經(jīng)典近似方法,通過泊松公式解析雙場共存下費(fèi)米系統(tǒng)的低溫?zé)崃W(xué)勢函數(shù),在此基礎(chǔ)上運(yùn)用熱力學(xué)關(guān)系和數(shù)值模擬方法分析強(qiáng)磁場背景下重力場對總能、熱容、化學(xué)勢的影響.

1 同時考慮重力場和強(qiáng)磁場情況下的熱力學(xué)勢函數(shù)

考慮自旋量子數(shù)s＝1/2、靜止質(zhì)量為m的費(fèi)米子構(gòu)成的系統(tǒng),處在沿z軸方向的均勻磁場以及重力加速度為g、高度為z的重力場中.利用半經(jīng)典近似的方法,參考文獻(xiàn)[19],則費(fèi)米子在磁場和重力場共存條件下的總能可表示為

式中σ＝he/4πmc為玻爾磁子,n＝0,1,2,3,…,為量子數(shù),mgz為重力場作用項(xiàng).

根據(jù)文獻(xiàn)[18],當(dāng)n,pz給定時,在Δpz區(qū)間內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為

其中Lz為粒子在z方向的運(yùn)動區(qū)域的尺度,令Lz＝Δz,即粒子z方向的運(yùn)動尺度在有限范圍內(nèi)為一可變的量.再考慮自旋,則粒子在ΔpzΔz區(qū)間的量子態(tài)數(shù)為

再根據(jù)文獻(xiàn)[19],pz是在磁場方向的動量,?。薜健薜倪B續(xù)值,z取0到z的有限連續(xù)值,對于每個給定的n在間隔d pzd z中的態(tài)的數(shù)目是

則系統(tǒng)的熱力學(xué)勢函數(shù)可表示為

其中

利用泊松公式[17],則（5）式可表為

其中ΩB＋G（μ）為磁場和重力場的影響項(xiàng).經(jīng)計(jì)算,有

式中Ω0＝（mσB）3/2TS/π3h－3,λ＝πmg/2σB,a＝eμ/T,b＝1＋eμ/T,d＝cosα,f＝sinα,w＝sinhβ.

2 熱力學(xué)量的解析式

運(yùn)用熱力學(xué)關(guān)系

其中U,C,u分別是系統(tǒng)的總能、熱容、化學(xué)勢.在低溫下（T?TF,TF為自由系統(tǒng)的費(fèi)米溫度）,忽略溫度對化學(xué)勢的微弱影響,即取自由系統(tǒng)的化學(xué)勢為μ≈εF＝h2（3π2n）2/3/2m,分別得系統(tǒng)的總能、熱容量、化學(xué)勢的重力場和磁場影響項(xiàng)：

式（11）～（13）中,U0＝m3/2（σB）5/2S/π3h－3,C0＝（mσB）3/2S/π3h－3,γ＝coshβ,u0＝m1/2（σB）3/2/（3π2N/S）1/3πh－, q＝1－eμ/T,β＝π2kT/σB,α＝πkμ/σB－π/4.λ,a,b,d,f,w與式（9）中的形式一樣.

3 數(shù)值模擬與分析

3.1 熱力學(xué)量隨溫度的變化

考慮強(qiáng)磁場條件T≤σB?μ,令μ＝xσB,T＝y(tǒng)σB（x?1,0＜y≤1）則有

式（14）～（16）中U0,C0,u0,λ,d,f,w,γ與（11）～（13）式中的形式一樣,只是a＝ex/y,b＝1＋ex/y,q＝1－ex/y,α＝πkx－π/4,β＝π2ky.根據(jù)式（14）～（16）,以國際單位制為標(biāo)準(zhǔn)取εF～10－24,σB～10－2εF, N/S～1021,S＝1,m～9.11×10－31,x＝100、101、99、98,即μ＝100σB、101σB、99σB、98σB,g～10,z取適當(dāng)值做圖1～3（y＝T/σB＝[0～1]）.在以下所有圖中,虛線標(biāo)識單純強(qiáng)磁場下的熱力學(xué)量,實(shí)線標(biāo)識磁場與重力場共存下的熱力學(xué)量.式（9）、（11）～（13）中第一項(xiàng)（第一個大括號）是單純強(qiáng)磁場下的熱力學(xué)量,第二項(xiàng)（第二個大括號）為強(qiáng)磁場背景下引入重力場后的熱力學(xué)量.如果mgz＝0,則以上各式便回到單純強(qiáng)磁場的情況,這使得結(jié)果具有普遍意義.

圖1 能量隨溫度的變化Fig.1 Energy varies with temperature

圖2 熱容隨溫度的變化Fig.2 Heat capacity varieswith temperature

3.2 熱力學(xué)量隨磁場的變化

再令σB＝pμ,T＝10－2TF≈10－2μ,即x＝1/p,y＝10－2/p,x/y≈102,U0＝m3/2μp（ ）5/2 S/π3h－3, C0＝（mμp）3/2S/π3h－3,u0＝m1/2（μp）3/2/（3π2N/S）1/3πh－,λ＝πmg/2μp,a＝102,b＝1＋e100,α＝πk/p －π/4,β＝10－2π2k/p.d,f,w,γ與（11）～（13）式中的形式一樣,并經(jīng)簡化后有

圖3 化學(xué)勢隨溫度的變化Fig.3 Chemical potential varies with temperature

根據(jù)式（17）～（19）,令μ～10－24,p＝σB/μ＝[0～0.09],z取適當(dāng)值做圖4～6.

3.3 分析與討論

由圖1～3可知,從能量隨溫度的變化情況看,無論μ為偶數(shù)（如μ＝100σB）還是奇數(shù)（如μ＝101σB）,與無重力場（即單純強(qiáng)磁場）相比,重力場的加入使能量整體有所降低,但能量隨溫度的變化特征不變.從熱容隨溫度的變化情況看,當(dāng)μ為偶數(shù)時,與單純強(qiáng)磁場相比,重力場的引入使熱容量升高；當(dāng)μ為奇數(shù)時,與單純強(qiáng)磁場相比,重力場的加入使熱容量降低.無論μ為偶數(shù)還是奇數(shù),隨著溫度的升高重力場對熱容的影響都逐漸減弱,且都有極大值.從化學(xué)勢隨溫度的變化情況看,無論μ為偶數(shù)還是奇數(shù),與單純強(qiáng)磁場相比,重力場的加入使化學(xué)勢下降,并且隨著溫度的增加,這種影響被放大.

圖4 能量隨磁場的變化Fig.4 Energy varieswithmagnetic field

圖5 熱容隨磁場的變化Fig.5 Heat capacity varies with magnetic field

圖6 化學(xué)勢隨磁場的變化Fig.6 Chemical potential variesmagnetic field

圖4～6表明,從能量隨磁場的變化情況看,重力場沒改變磁場對能量影響的趨勢,只是使系統(tǒng)的能量更低.并且高度z值越大,重力場影響越明顯.磁場與重力場對熱容的影響隨磁場的變化呈現(xiàn)不規(guī)則振蕩,且重力場的引入對熱容的影響幾乎為零.就化學(xué)勢的影響隨磁場的變化情況看,與單純強(qiáng)磁場相比,重力場的引入使化學(xué)勢的振蕩幅度幾乎不變,振蕩中心下移.且隨高度z的增加,影響越明顯,相位幾乎不變.

4 結(jié)論

基于強(qiáng)磁場條件,根據(jù)半經(jīng)典近似引入重力場,用理論解析和數(shù)值模擬的方法研究了重力場和強(qiáng)磁場共存條件下費(fèi)米氣體的熱力學(xué)性質(zhì),分析了強(qiáng)磁場背景下重力場對能量、熱容和化學(xué)勢的影響.研究表明,從熱力學(xué)量隨溫度的變化看,與單純強(qiáng)磁場相比,重力場的引入使能量和化學(xué)勢下降；當(dāng)自由系統(tǒng)的化學(xué)勢為偶數(shù)時,重力場升高了熱容量；當(dāng)自由系統(tǒng)的化學(xué)勢為奇數(shù)時,重力場降低了熱容.從熱力學(xué)量隨磁場的變化看,重力場沒改變磁場對能量、熱容及化學(xué)勢影響的趨勢,只是使系統(tǒng)的能量更低、熱容的振蕩幾乎不變、化學(xué)勢的振蕩中心下移.

[1] LiM Z,Yan Z J,Chen JC,etal.Thermodynamic properties of an ideal Fermigas in an external potentialwith U＝brtin any dimensional space[J].Physical Review A,1998,58（2）：1445－1449.

[2] Li M Z,Lin H S,Chen L X,etal.Chemical potential and heat capacity of an ideal Fermigas trapped in a harmonic potential in any dimensional space[J].Journal of Xiamen University（Natural Science）,1998,37（4）：498－502.

[3] Noronha JM B,Toms D J.The specific heat of a trapped Fermigas：an analytical approach[J].Physics Letters A,2000, 267（4）：276－280.

[4] Butts D A,Rokhsar D S.Trapped Fermigases[J].Physical Review A,1997,55（6）：4346－4350.

[5] Bruun G M,Burnett K.Interacting Fermigas in a harmonic trap[J].Physical Review A,1998,58（3）：2427－2434.

[6] Oliva J.Density profile of the weakly interacting Fermi gas confined in a potential well：Nonzero temperature[J].Physical Review B,1989,39（7）：4204－4208.

[7] Roth R,Feldmeier H.Effective s-and p-wave contact interactions in trapped degenerate Fermigases[J].Physical Review A, 2001,64（4）：043603（1）－（17）.

[8] Su G Z,Chen L X.Thermodynamic properties of a weakly interacting Fermi gas[J].Acta Phys Sin,2004,53（4）：984－990.

[9] Su G Z,Chen JC,Chen L X.Low-temperature behavior of a weakly interacting Fermi gas trapped in a power-law potential [J].Physics Letters A,2003,315（1－2）：109－119.

[10] Wu D P,Men FD,Liu H.Ground state of Bose-Einstein condensation in F-G-H method[J].Chinese JComput Phys,2009, 26（6）：942－948.

[11] Mou SY,Zhang XW,Dai B.Two-dimensionalelectronic structure in a periodicmagnetic field[J].Chinese JComput Phys, 2014,31（2）：237－242.

[12] Men F D,Tian Q S,Chen X L.Stability of a weakly interacting Fermi gas in a strongmagnetic field[J].Acta Phys Sin, 2014,63（12）：120504（1）－（3）.

[13] Men F D,He X G,Zhou Y,et al.Relativistic effect of ultracold Fermi gas in a strongmagnetic field[J].Acta Phys Sin, 2011,60（10）：100502（1）－（4）.

[14] Men F D,Wang H T,He X G.The stability and paramagnetism of Fermi gas in a strongmagnetic field[J].Acta Phys Sin, 2012,61（10）：100503（1）－（5）.

[15] Men F D,Wang B F,He X G,et al.Thermodynamic properties of a weakly interacting Fermi gas in a strongmagnetic field [J].Acta Phys Sin,2012,61（10）：080501（1）－（5）.

[16] Men F D,He X G,Liu H,et al.Statistics of Fermi gas in a strongmagnetic field at high temperatures with quasi-classical approximations[J].Chinese JComput Phys,2011,28（6）：895－900.

[17] Nesvizhevsky V V,Borner H G,et al.Quantum states of neutrons in the earth's gravitational field[J].Nature,2002,415：297－299.

[18] Landau L D,Lifshitz EM.Quantum mechanics（Non-relativistic theory）[M].3rd ed.Oxford：Pergamon Press,1980.455 －463.

[19] Landau L D,Lifshitz EM.Statistical physics：Part I[M].3rd ed.Oxford：Pergamon Press,1980.171－177.

Thermodynam ic Properties of Ferm i Gas Trapped in Both Gravity Field and M agnetic Field

TIAN Qingsong, MEN Fudian, CHEN Xinlong
（College ofScience,China University of Petroleum（East China）,Qingdao 266580,China）

With semi-classical approximation,thermodynamic properties of Fermigas trapped in both gravity field and magnetic field are studied.By using theoreticalanalysis and numerical simulation,influence ofgravity field on thermodynamic properties of the system in strongmagnetic field is analyzed.It shows that,compared with the case of strong magnetic field only,gravity field makes the energy,chemical potential reduced.With rising temperature,influence of gravity field on chemical potential is gradually enlarged.There is amaximal influence of gravity field on heat capacity.Gravity fieldmakes oscillation of heat capacity almostunchangeablewhile oscillation center of chemical potential shift down.

gravity field；strongmagnetic field；Fermi gas；thermodynamic properties

1001-246X（2015）06-0751-06

O414.1；O414.2

A

2014－11－03；

2015－02－05

田青松（1988－）,男,碩士研究生,主要研究量子統(tǒng)計(jì),E-mail：tqs728＠126.com