郭鳳麗, 胡冬生,通訊作者：胡冬生,E-mail：dongshenghu＠nuaa.edu.cn,電話：3803766, 徐 江（.南京航空航天大學(xué)理學(xué)院,南京 06；.南京航空航天大學(xué)材料學(xué)院,南京 06）

聲波在雙層非線性介質(zhì)中傳播的二極管現(xiàn)象

郭鳳麗1, 胡冬生1,??通訊作者：胡冬生,E-mail：dongshenghu＠nuaa.edu.cn,電話：13218037266, 徐 江2
（1.南京航空航天大學(xué)理學(xué)院,南京 211106；2.南京航空航天大學(xué)材料學(xué)院,南京 211106）

假設(shè)聲波在雙層一維非線性系統(tǒng)中傳播時線性部分滿足波動方程,非線性部分類似于非線性薛定諤方程的非線性部分.對該模型正反兩個方向分別入射相同的聲波計算透射率發(fā)現(xiàn)：一定頻率及強度的聲波在模型中具有單向透過性,表現(xiàn)出聲二極管的行為；隨著非線性強度差異的增強,單向?qū)ㄐ燥@著提高.

非線性系統(tǒng)；聲波；整流；二極管

0 引言

作為第一個對能量產(chǎn)生整流作用的器件——電子二極管,其發(fā)明具有里程碑式的意義.此后,對其它運動形式可能具有二極管現(xiàn)象的研究受到了很大程度的關(guān)注[1－14].二極管現(xiàn)象是指某種形式的能量沿特定的方向可以傳輸,而沿著相反的方向則被阻礙的現(xiàn)象.新加坡的李保文課題組在理論上研究了具有非線性的Frenkel-Kontorova鏈的不對稱熱傳輸現(xiàn)象,提出了可實現(xiàn)單向熱傳導(dǎo)的“熱二極管”理論模型[1－2].其后,美國加州州立大學(xué)伯克利分校的Chang等人及日本早稻田大學(xué)的Kobayashi等人通過實驗制備出了熱整流器件[3－4].2005年,美國加州州立大學(xué)圣地亞哥分校的 Nesterenko課題組在實驗中發(fā)現(xiàn)了孤立波在通過由一系列由鋼球組成的非線性系統(tǒng)時出現(xiàn)了反常的反射現(xiàn)象,實現(xiàn)了對孤立波的整流[5].還有學(xué)者用非線性傳輸線作為能量單向傳輸?shù)难芯縖6].在“光二極管”方面,已經(jīng)有了大量的理論和實驗研究.光子晶體是由兩種不同介電材料組成的具有周期性的多層結(jié)構(gòu).在光子晶體中引入缺陷可以使某些頻段光波的透射強度顯著提高[15].基于非線性會使光子晶體禁帶邊界移動,Scolora等人于1994年設(shè)計出第一個光子晶體全光二極管[7]（即脈沖從正向能夠很好地傳輸,而從相反的方向卻幾乎完全反射）.之后,Mingaleev等人提出一種利用光子晶體線缺陷設(shè)計全光二極管的設(shè)想[8].2005年,有人提出利用單個非對稱光子晶體的缺陷來設(shè)計全光二極管[9－10].

聲波作為波動的一種普遍的存在形式,若能實現(xiàn)象電子二極管那樣對聲能量進行整流的聲學(xué)器件,會對聲學(xué)的理論研究、聲學(xué)的器件制造及應(yīng)用產(chǎn)生重大的影響.由于線性條件下互易原理的限制[12],如何在聲學(xué)系統(tǒng)中實現(xiàn)聲整流效應(yīng)始終是一個難題.在聲學(xué)理論中線性聲學(xué)系統(tǒng)顯然滿足了互易原理,這就決定了在任何一個線性聲學(xué)系統(tǒng)中聲能量的透射都不會產(chǎn)生二極管現(xiàn)象.聲波的二極管現(xiàn)象只有在非線性強度不同的多層結(jié)構(gòu)中才可能產(chǎn)生[12].2009年,南京大學(xué)程建春課題組從理論上提出：由超晶格結(jié)構(gòu)與強聲學(xué)非線性媒質(zhì)組成的系統(tǒng)具有聲二極管現(xiàn)象[13],并在2010年成功制造出聲二極管的示意性樣品[14].該樣品由超聲造影劑微泡溶液與一個超晶格（水與玻璃的層疊）構(gòu)成,實驗結(jié)果表明：在聲整流頻段內(nèi),聲二極管樣品表現(xiàn)出了極高的整流效率,最大整流比接近1萬倍.本文以一個玩具模型來演示聲波在非線性系統(tǒng)中傳播時具有二極管現(xiàn)象,為實現(xiàn)聲二極管提供一種可能性.

1 模型與方法

研究對象是兩種非線性材料組成的一維系統(tǒng),如圖1所示.為研究聲波在其中傳播時的透射性質(zhì),假設(shè)該一維系統(tǒng)的兩端由均勻的線性部分連接,聲波由左端入射右端出射,或由右端入射左端出射.

圖1 兩種非線性材料組成的一維系統(tǒng)的示意圖.1、2兩層是非線性強度不同的材料,左右由線性材料連接Fig.1 Schematic of one-dimensional system consists of two nonlinearmaterials.Layer 1 and Layer 2 are different nonlinearmaterials,which are connected with linearmaterials in both sides

波在兩端均勻的線性部分中滿足波動方程

其中η（x）＝e（x）/m是介質(zhì)剛度與平均密度的比值,波函數(shù)Ψ（x,t）時空分離后可寫為：Ψ（x,t）＝ψ（x）e－iωt.在雙層非線性系統(tǒng)中,我們假設(shè)它的非線性部分滿足非線性薛定諤方程的非線性部分,即滿足

其中αi表示第i介質(zhì)層處的非線性強度.

首先用有限差分方法將連續(xù)的線性波動方程轉(zhuǎn)化為差分方程.我們把空間進行離散化,設(shè)厚度Δx為一個單位.用Ψn和ηn分別表示離散化后的波函數(shù)和介質(zhì)剛度與平均密度的比值,其中n即為離散化后的編號.用向后一階差商和中心二階差商將方程中空間部分離散化,可得

因此,線性的和非線性的一維離散化的波動方程可分別表示成

波在兩端線性區(qū)域中滿足平移對稱性,可以用平面波表示,設(shè)波動從左端入射右端出射,則兩端的波函數(shù)可以寫成

其中k為波矢,R0,R和T分別代表入射波振幅,反射波振幅和透射波振幅.由方程（5）和平面波函數(shù)（7）,可解出波動的色散關(guān)系為

為簡單起見,我們假設(shè)這兩層非線性材料的厚度相同,且離散化的厚度恰好為一層的厚度.由方程（5）～（8）式可以得到透射率

其中,

如果波動從右入射,從左出射,透射系數(shù)的表達式只需把式（9）～（11）式中的下標1、2對調(diào)即可.

2 結(jié)果和討論

當(dāng)η1＝η2,α1＝α2時,相同的波分別從系統(tǒng)的左端入射右端出射和從右端入射左端出射,從透射系數(shù)式（9）至（11）可以看出它們的透射率是相等的.在這種情況下不會出現(xiàn)二極管現(xiàn)象.若η1＝η2,α1≠α2,并引入因子m來表征非線性系數(shù)α的差異程度：m＝｜α1－α2｜/2.圖2是在波矢k、介質(zhì)剛度與平均密度的比值η、兩層非線性介質(zhì)的非線性強度的平均值α0都相同的情況下,非線性強度的差異m不同時,對應(yīng)的透射系數(shù)隨透射波振幅平方的變化（從左端入射,右端出射）.從圖2可以看到介質(zhì)層非線性強度不同時,在出射振幅為零的位置都存在一個透射率為1的透射峰；在出射振幅平方不為零的地方還出現(xiàn)一個峰,非線性強度的差異m愈大該透射峰的位置離原點就越遠,且峰值也變小.因為方程（6）中的非線性項與波函數(shù)的振幅有關(guān),當(dāng)振幅趨于零時非線性相的作用消失,方程（6）回到線性方程（5）,所以在振幅趨于零時聲波都能完全透射.當(dāng)波函數(shù)振幅不為零時,非線性項會對透射起決定性的作用.

圖2 透射率與透射振幅平方的關(guān)系（η1＝η2＝η0＝1）Fig.2 Dependence of transmission ratio on squaremodule of transmission amplitude（η1＝η2＝η0＝1）

從式（9）～（11）可以看到,我們求透射率時是用出射振幅當(dāng)已知量,如果用入射振幅當(dāng)初始條件,則必須由透射振幅通過方程反推入射振幅.設(shè)透射振幅為某一實數(shù),但求出的入射振幅一般為復(fù)數(shù).如果以入射振幅模方為自變量,則透射率隨入射振幅模方的變化如圖3所示.從圖3中可以看出,當(dāng)入射振幅模的平方取較小值時,透射率唯一與之對應(yīng).但當(dāng)入射振幅模的平方取較大值時,會有兩、三個不同的透射率與之對應(yīng),呈現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.這是由非線性引起的[16－17].因此在后面討論中我們用出射波振幅的平方作為透射率的自變量,而不用入射系數(shù)模的平方作為自變量.

當(dāng)聲波分別從兩層非線性材料的左端和右端入射時,透射率t隨透射振幅的平方T2和入射波波矢k的變化如圖4、5所示.對照圖4、5可以發(fā)現(xiàn),非線性強度為相反數(shù)時,相當(dāng)于波矢平移π.從圖4、5中可以看出,相同的波從左端入射和從右端入射,其透射率是不相同的.這種分別從兩端入射出現(xiàn)不同透射率的情況可以制造二極管,但必須是一端入射時透射率接近1,而從相反方向入射時透射率接近0.

圖3 透射率與入射振幅的關(guān)系（其它數(shù)據(jù)與圖2相同）Fig.3 Dependence of transmission ratio on incident amplitude（Other parameters are the same as those in Fig.2.）

圖4 透射率t隨T2和入射波波矢k的變化,（a）和（c）聲波從左端入射；（b）和（d）聲波從右端入射（其它數(shù)據(jù)與圖2相同）Fig.4 Dependence of transmission ratio t on T2and incidentwave vector k,（a）and（c）are for cases of left-incidence acoustic waves；（b）and（d）are for cases of right-incidence acoustic waves （Other parameters are the same as those in Fig.2.）

類似于光學(xué)中對比度的定義,引入整流因子

可以看出整流因子的范圍為f∈[0,1],整流因子趨于1時,整流效果最佳.為了更清楚地看出在什么情形下整流效果比較好,我們作出了兩層非線性材料的非線性系數(shù)平均值α0相同,非線性強度的差異m不同時的整流因子f隨T2以及k的變化情況,如圖6所示.從圖中可以看出：在相同的情況下,非線性強度的差異m越大,整流效果越好.要得到好的整流效果,出射振幅平方要盡可能大.圖6中的非線性強度的平均值相同,整流因子的分布情況比較接近；當(dāng)整流因子的平均值遠離0時,整流因子f接近0的白色部分向透射率平方小的方向急劇下降.因此,為得到好的整流效果,要求兩層的非線性強度差異盡可能大,兩者的平均值遠離0值.

圖5 透射率t隨T2和入射波波矢k的變化,（a）和（c）聲波從左端入射；（b）和（d）聲波從右端入射（其它數(shù)據(jù)與圖2相同）Fig.5 Dependence of transmission ratio t on T2and incidentwave vector k,（a）and（c）are for cases of left-incidence acoustic waves；（b）and（d）are the cases of right-incidence acoustic waves （Other parameters are the same as those in Fig.2.）

圖6 整流因子f隨T2以及k的變化（顏色的深淺用來表征f的大小.其它數(shù)據(jù)與圖2相同.）Fig.6 Dependence of rectification factor f on T2and k（The shade of color represents degree of f.Other parameters are the same as those in Fig.2.）

3 結(jié)論

通過對聲波在不同的雙層非線性材料中正反向傳播時的數(shù)值計算,我們發(fā)現(xiàn)在該系統(tǒng)中具有聲二極管現(xiàn)象；隨著非線性強度差異的增大,二極管效應(yīng)愈明顯.聲波沿單向傳播的聲二極管的設(shè)計與實現(xiàn),不僅具有學(xué)術(shù)意義,而且有望在未來新材料的應(yīng)用中嶄露頭角.由于現(xiàn)有聲二極管的透射率普遍偏低,在努力探索新的聲二極管工作機理的同時,有必要通過尋找新材料或優(yōu)化結(jié)構(gòu)等手段來進一步提高聲二極管樣品的工作效率,最終制造出可應(yīng)用的聲二極管器件[18],我們的模型提供了實現(xiàn)聲二極管的一種可能.

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Diode Phenomenon of Acoustic W ave Propagation in a Two-Layer Nonlinear System

GUO Fengli1, HU Dongsheng1, XU Jiang2
（1.College of Science,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 211106,China；
2.Department ofMaterial Science and Engineering,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 211106,China）

In one-dimensional nonlinear system,linear parts of acoustic wave meet wave equation and nonlinear part is assumed similar to that of nonlinear Schr?dinger equation.Transmission coefficients of two incident acoustic waves from opposite directions are calculated respectively.It is shown that this model has unidirectional penetrability for acoustic wave within certain frequency and amplitude,and expresses behaviors of diode.Increasing nonlinear intensity leads to a remarkable enhancement of unidirectional penetrability.

nonlinear system；acoustic wave；rectification；diode phenomenon

1001-246X（2015）06-0722-07

O422.7

A

2014－10－20；

2015－03－09

國家自然科學(xué)基金（11175086,51175245）及江蘇省自然科學(xué)基金（BK2010073）資助項目

郭鳳麗（1987－）,女,碩士,主要從事凝聚態(tài)物理研究