郝興文

（濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061）

1 問題與主要結(jié)果

考慮下列退化拋物-雙曲型方程的柯西問題：

由于這個(gè)方程的應(yīng)用廣泛，大家對(duì)它的研究也由來已久。這個(gè)方程在某些方向上拋物退化，所以他的解顯示出雙曲方程的一些性質(zhì)，解會(huì)出現(xiàn)間斷。Volpert-Hugjaev在文獻(xiàn)［8］中最先給出了方程（1）的BV 解的存在性，Chen-Karlsen在文獻(xiàn)［10］證明了解的唯一性。另外，Chen-Perthame在文獻(xiàn)［4］中得到了方程（1）中系數(shù)不顯含x，t形式的齊次方程動(dòng)力學(xué)解的存在唯一性，其它形式的解可以見文獻(xiàn)［5，6，7，9］等。對(duì)于系數(shù)不顯含x，t的方程，它的解在初始時(shí)刻具有連續(xù)性，從而說明初始層不會(huì)出現(xiàn)，參見文獻(xiàn)［4］，特別是對(duì)于完全退化的情形—雙曲型方程，這個(gè)性質(zhì)在文獻(xiàn)［11］中應(yīng)用雙變量方法給予了證明。對(duì)于一般形式的方程（1），解的這個(gè)性質(zhì)是否成立沒有結(jié)果。本文將主要證明方程（1）-（2）的解具有這個(gè)性質(zhì)。首先引入本文中要用到的一些記號(hào)和方程（1）-（2）的解的定義。記

對(duì)任意的非負(fù)φ∈C（R），令

記R2上的動(dòng)力學(xué)函數(shù)［4］為

問題（1）-（2）的動(dòng)力學(xué)解定義為

定義1 一個(gè)可測(cè)函數(shù)u∈L∞（［0，T］），L1（Rn+1））是方程（1）的動(dòng)力學(xué)解，如果u滿足

（ii）對(duì)任意兩個(gè)非負(fù)函數(shù)φ1，φ2∈C（R），下式成立

（iii）對(duì)某個(gè)非負(fù)測(cè)度m，下式在D′（［0，T）×Rn）中成立

其中，測(cè)度n由下式給出

本文的主要結(jié)果是

定理1 如果初值u0（x）∈L1（Rn）∩L∞（Rn），u 是（1）—（2）的動(dòng)力學(xué)解，則當(dāng)t→0時(shí)，有‖u（·，t）-u0（·）‖L1（Rn）→0。

2 定理的證明

首先引入一個(gè)引理，設(shè)函數(shù)g（ξ）滿足

下列引理成立：

引理1 設(shè)函數(shù)g（ξ）滿足上面的條件，如果存在數(shù)u和非負(fù)可測(cè)函數(shù)～m（ξ）∈C0（R）滿足

該引理的證明可參見文獻(xiàn)［12］，細(xì)節(jié)省略。

令Ri→+∞后，利用m 和n 的非負(fù)性，得

所以

首先，對(duì)任意的E∈Rn，且m（E）＜+∞，則

所以，0≤sngξ·Χ（ξ，x）≤1，且sngξ·Χ（ξ，x）=｜Χ（ξ，x）｜。

另一方面，

令τ→0，得到，

特別地，對(duì)任意的τ＞0，選取實(shí)驗(yàn)函數(shù)ω（ξ，t，x）=φ（ξ，x）ψ（t），其中，

在分布意義下，

在上面引理的基礎(chǔ)上，給出定理1的證明

由極限的唯一性可知

在（4）中，令τ→0，可得

由σ的凸性及u（t，x）弱收斂到u0（x），表明該收斂是強(qiáng)收斂，從而定理1成立。

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