基于小波分析AR(P)-SVR組合模型在大壩變形預測中的應用

沈哲輝，黃騰，邱偉，鄭浩

(河海大學地球科學與工程學院，江蘇南京210098)

摘要：監(jiān)測序列經小波分解后，得到低頻分量和高頻分量。對低頻分量采用自回歸AR(P)模型預測，對高頻分量采用支持向量回歸機SVR模型預測，最后將各分量進行小波重構，得到監(jiān)測序列的預測值。結果表明，此種預測方法比直接使用SVR模型或經小波分解后再采用SVR模型預測精度高。

關鍵詞：小波分解；AR(P)模型；SVR模型；小波重構；預測

中圖分類號：TU196

收稿日期：2014-04-30;修回日期：2014-11-23

作者簡介：沈哲輝(1991-)，男，碩士研究生.

ApplicationofAR(P)-SVRcombinationmodelbasedonwaveletanalysisindamdeformationpredictionSHENZhe-hui,HUANGTeng,QIUWei,ZHENGHao

(SchoolofEarthSciencesandEngineering,HehaiUniversity,Nanjing210098,China)

Abstract：Low frequency and high frequency components are obtained through wavelet decomposition.The low frequency components are adopted in the AR(P) model to make predictions, while the high frequency components make predictions with SVR model. Then the predicted data after reconstructing them are obtained.Results show this model has higher prediction accuracy than SVR model without wavelet decomposition and the model that only uses SVR to predict each component after wavelet decomposition.

Keywords：waveletdecomposition;AR(P)model;SVRmodel;waveletreconstruction;prediction

大壩變形預測的方法有灰色模型法、自回歸模型、神經網(wǎng)絡等。但由于大壩變形受影響因素多，組合模型的應用使大壩變形預測精度有了提高[1-4]。

小波變換是一個時間和頻率的局域變換，能有效地提取信號，通過伸縮和平移對函數(shù)或信號進行多尺度分析[5]，并且小波分解后的平穩(wěn)性比原信號好的多。支持向量機是一種新興機器學習方法，克服了神經網(wǎng)絡的過擬合、收斂速度慢、容易陷入局部極值等缺點，被公認為是人工神經網(wǎng)絡的替代方法[6]。小波分解后的低頻分量，用線性自回歸模型預測，而高頻分量仍用SVR預測模型，重構后相比低、高頻分量使用SVR預測精度頗為理想。

1建立組合模型

1.1小波分解

利用Mallat算法，首先將離散的大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)分成高頻部分d1和低頻部分c1，然后再把低頻部分c1進一步分解，重復以上過程可以得到任意分辨率下的高頻和低頻部分。具體算法[7]：

(1)

(2)

式中:j=1,2,…，J-1為分解尺度;k，n為平移系數(shù)；Cj+1,k，Dj+1,k分別為在2j分辨率下的低頻近似分量系數(shù)和高頻細節(jié)分量系數(shù)；gn-2k，hn-2k分別為高通濾波系數(shù)和低通濾波系數(shù)。

式中:ψ(x)為小波函數(shù)，φ(x)為尺度函數(shù)。

利用分解后的小波系數(shù)可重構原來的序列小波重構的Mallat算法為

(3)

監(jiān)測序列經小波分解后，其低頻分量用自回歸AR(P)模型進行見面預測，高頻分量用支持向量回歸機SVR模型進行建模預測。

1.2自回歸AR(P)模型

AR(P)模型稱為自回歸模型，由于該模型在建模時只需解線性方程組，而又不涉及白噪聲序列值，計算簡便，所以在時序分析中，AR(P)是采用最多的一種模型[8]。AR(P)模型表示為

(4)

本文采用FPE定階準則，即最小最終預報誤差準則對p定階，回歸系數(shù)采用最小二乘法求得。

1.3支持向量機模型

在20世紀90年代，Vapnik提出支持向量機是數(shù)據(jù)挖掘中的一項新技術，是借助于最優(yōu)化的方法解決機器學習問題的新工具，它是一種以結構風險最小化原則為基礎的機器學習算法，通過尋找一個線性約束的二次規(guī)劃問題得到全局最優(yōu)解，因而不存在局部極小值的問題，快速算法保證了收斂速度[9]。

支持向量回歸機(SupportVectorRegression，SVR)是支持向量在函數(shù)回歸領域的應用。支持向量回歸機首先考慮用線性回歸函數(shù)

(5)

擬合(xi,yi),i=1,2,…,n；xi∈Rn為輸入量，yi∈R為輸出量，即需要確定ω和b。在非線性的情況下，通過一個非線性映射將數(shù)據(jù)映射到高維特征空間中，并在這個空間進行線性回歸。需要引入核函數(shù)K(x,xi)代替內積運算。常用的核函數(shù)為

1)多項式核：K(x,xi)=(x,xi+1)d，d為階數(shù)；

3)感知器核：K(x,xi)=tanh(βxi+b)。

本文采用的核函數(shù)為徑向基RBF核函數(shù)(高斯核函數(shù))。RBF核函數(shù)是一個普通的核函數(shù)，通過參數(shù)的選擇，適用于任意分布的樣本，因此RBF核

函數(shù)是目前支持向量機中被應用最廣泛的一種核函數(shù)[10]。選擇合適的損失參數(shù)ε和懲罰參數(shù)C，構造高維特征空間中求回歸問題：

(6)

(7)

得到非線性回歸函數(shù)為

(8)

本文采用網(wǎng)格法尋求最優(yōu)的損失參數(shù)ε和懲罰參數(shù)C。

1.4小波分解下的AR(P)-SVR組合模型

本文構建小波分解的AR(P)-SVR組合模型。

1)將監(jiān)測序列進行小波分解，小波函數(shù)選用Daubechies系列小波函數(shù)db3。將監(jiān)測序列分解為2層，并進行單支重構，得到低頻分量a2和高頻分量d1，d2。

2)用自回歸AR(P)模型對低頻分量進行預測，得到擬合值和預測值。

3)用支持向量回歸機SVR對各層高頻分量進行建模并預測。對每個高頻分量，分別構建一個多輸入、單輸出的支持向量回歸機預測模型[11]。

4)小波重構，將用AR(P)模型預測后的低頻分量和用SVR建模預測后的高頻分量進行小波重構，得到監(jiān)測序列的擬合值和預測值，建模流程如圖1所示。

圖1　建模流程

2實例分析

本文采用福建省某大壩的50期順河向水平位移觀測數(shù)據(jù)，利用前45期數(shù)據(jù)建模，并預測后5期，用后5期數(shù)據(jù)檢驗預測的準確性。

本文采用緊支撐正交小波db3小波進兩層小波分解。在對低頻分量a2進行AR(P)建模時，采用FPE定階準則，最后確定階數(shù)為4階。對高頻分量d1和d2進行SVR建模時，根據(jù)經驗，取輸入量維數(shù)為5，采用網(wǎng)格法尋找最優(yōu)參數(shù)。圖2為a2的自回歸模型擬合及預測曲線，圖3為d2支持向量回歸機擬合及預測曲線，圖4為d1支持向量回歸機擬合及預測曲線。

圖2　a 2的自回歸模型擬合及預測曲線

圖3　d 2的支持向量回歸機模型擬合及預測曲線

圖4　d 1的支持向量回歸機模型擬合預測曲線

得到各個分量的擬合值和預測值后，再進行小波重構，根據(jù)S=a2+d2+d1進行重構，得到最終的擬合值及預測值，并將5期的預測值與后5期的實測值進行對比，用相對誤差衡量預測精度。為驗證本文模型(模型1)的預測效果，對比使用SVR模型預測(模型2)的精度和經小波分解的各分量都采用SVR模型預測(模型3)的精度。各模型預測結果比較見表1。

表1　預測結果比較

由表1計算可得，模型2(SVR)的預測值相對誤差的平均值為1.45%，模型3(W-SVR)的預測值相對誤差的平均值為1.44%，可見模型3預測精度比模型2的預測精度有提高，但不明顯。本文建立的組合模型，即模型1的預測值相對誤差的平均值為1.24%，可見本文的組合模型預測效果明顯比其他兩種模型的預測效果好。

3結束語

本文將小波分析、自回歸AR(P)模型和支持向量回歸機SVR結合在一起，構建用于預測大壩變形的組合模型。通過小波分解，將低頻分量和高頻分量分別用自回歸模型和支持向量回歸機模型建模預測、重構。經實驗發(fā)現(xiàn)，監(jiān)測序列經小波分解后，相比SVR,其低頻分量更適合用自回歸模型建模預測。小波重構后，本文構建的組合模型的預測精度相對于經小波分解的各分量都采用SVR模型預測的精度高。

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[責任編輯：李銘娜]