胡錦川，陳萬(wàn)春

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

0 引言

空射巡航導(dǎo)彈(ALCM)的縱向彈道一般分為下滑段、平飛段和俯沖段。下滑段是指從載機(jī)投放至拉平點(diǎn)火之間的彈道，不僅需滿(mǎn)足彈道拉平和點(diǎn)火窗口要求，還需滿(mǎn)足臨界馬赫數(shù)、迎角和過(guò)載等過(guò)程約束。合理設(shè)計(jì)下滑段的制導(dǎo)策略，不僅可以增大ALCM的可投放區(qū)，還對(duì)保證ALCM點(diǎn)火和順利轉(zhuǎn)平具有重要意義。

傳統(tǒng)的下滑段制導(dǎo)主要采用跟蹤制導(dǎo)方法，該方法分為標(biāo)準(zhǔn)彈道設(shè)計(jì)和跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計(jì)兩部分。其中標(biāo)準(zhǔn)彈道主要通過(guò)方案彈道規(guī)劃［1-4］和彈道優(yōu)化［5-6］獲得，而跟蹤制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)方法則包括PID經(jīng)典控制方法［7-8］、反饋線性化［9］和在線軌跡更新［10］等。跟蹤制導(dǎo)依賴(lài)于標(biāo)稱(chēng)軌跡，并且在大擾動(dòng)下的精度相對(duì)較差。基于最優(yōu)控制的顯式制導(dǎo)策略［11-14］是解決下滑段制導(dǎo)問(wèn)題的最新方法，具有適應(yīng)性強(qiáng)、魯棒性好的特點(diǎn)。Ohlmeyer等［11］提出的廣義顯示制導(dǎo)律能夠同時(shí)滿(mǎn)足脫靶量和碰撞角約束，同時(shí)使得終端法向加速度收斂到零。Xing等［12］提出的分段最優(yōu)制導(dǎo)律，能同時(shí)滿(mǎn)足終端位置、彈道傾角和迎角要求，并考慮了一階延遲環(huán)節(jié)。

本文在上述顯式制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加入了終端地速約束，獲得了能夠同時(shí)滿(mǎn)足終端高度、彈道傾角、地速和迎角約束的最優(yōu)法向加速度，同時(shí)還閉環(huán)考慮了多種過(guò)程約束和風(fēng)干擾的影響，最終獲得了滿(mǎn)足多約束要求的下滑段制導(dǎo)策略。

1 問(wèn)題建模

1.1 運(yùn)動(dòng)建模

地面坐標(biāo)系下，ALCM下滑段縱平面運(yùn)動(dòng)方程如下:

式中:V，γ，H，x分別為地面坐標(biāo)系下的速度(簡(jiǎn)稱(chēng)地速)、彈道傾角、高度和縱程;g為重力加速度;m為質(zhì)量;L和D分別為升力和阻力，其表達(dá)式為:

式中:S為氣動(dòng)參考面積;CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)，與馬赫數(shù)Ma和迎角α相關(guān);q為動(dòng)壓:

式中:ρ為大氣密度;Va為空速，其與地速的關(guān)系為:

式中:Vws為風(fēng)速在射面內(nèi)的分量。

1.2 約束建模

ALCM在下滑段同時(shí)包含多個(gè)終端約束和過(guò)程約束。

1.2.1 臨界馬赫數(shù)約束

ALCM在下滑過(guò)程中，空速馬赫數(shù)不能超過(guò)臨界馬赫數(shù)，否則其氣動(dòng)特性將會(huì)急劇地變壞，使操縱困難。臨界馬赫數(shù)約束如下:

式中:Maa為空速馬赫數(shù)(Maa=Va/c，c為聲速);Macr為臨界馬赫數(shù)。

1.2.2 控制能力約束

ALCM下滑段經(jīng)歷的空域非常大，動(dòng)壓變化大，導(dǎo)致可用過(guò)載變化范圍大。因此ALCM需同時(shí)考慮迎角范圍約束和可用過(guò)載約束:

式中:n為法向過(guò)載，n=L/(mg);nmax，αmin和 αmax分別為最大可用法向過(guò)載、最小可用迎角和最大可用迎角。

1.2.3 點(diǎn)火窗口約束

以航空發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力的ALCM需保證點(diǎn)火時(shí)進(jìn)氣道氣流充足且穩(wěn)定，因此下滑段的終點(diǎn)需滿(mǎn)足點(diǎn)火窗口約束:

式中:αf和 Vaf分別為終端迎角和空速;αi，low，αi，up，Vi，low，Vi，up分別為最小點(diǎn)火迎角、最大點(diǎn)火迎角、最小點(diǎn)火空速和最大點(diǎn)火空速，它們均與點(diǎn)火高度(Hi)相關(guān)，如圖1所示。

圖1 點(diǎn)火窗口Fig.1 Ignition window

在制導(dǎo)時(shí)，為了保證擾動(dòng)下終端迎角和空速能夠滿(mǎn)足點(diǎn)火窗口要求，αf和Vaf通常取點(diǎn)火窗口的中間值:

式中:Hf和γf分別為終端高度和彈道傾角。

1.2.4 飛行時(shí)間約束

ALCM快速下滑有助于提高其隱蔽性，同時(shí)彈載電源也要求導(dǎo)彈的下滑時(shí)間不能過(guò)長(zhǎng)，因此飛行時(shí)間需滿(mǎn)足如下約束:

式中:tmax為最大飛行時(shí)間。

1.3 風(fēng)場(chǎng)建模

在下滑段的制導(dǎo)中，臨界馬赫數(shù)約束和終端約束均涉及空速。但考慮到隱身等要求，ALCM往往不安裝空速管，使得飛行過(guò)程中空速無(wú)法測(cè)量，只能利用慣導(dǎo)獲得的地速信息來(lái)估算其大小。若完全忽略風(fēng)干擾的影響，則可能造成空速的散布范圍大于點(diǎn)火空速窗口，如圖2所示(地速取中間空速時(shí)風(fēng)干擾下的空速散布范圍)，因此需要通過(guò)估算風(fēng)速來(lái)減小估算空速的散布［15-17］。

圖2 風(fēng)干擾對(duì)空速的影響Fig.2 The effect of wind interference on airspeed

忽略隨機(jī)變化的突風(fēng)影響，對(duì)流層射面內(nèi)的平均風(fēng)廓線近似滿(mǎn)足如下關(guān)系:

式中:k1和b為準(zhǔn)定常風(fēng)模型的參數(shù);k2為修正系數(shù)。由投放時(shí)刻載機(jī)獲得的射面風(fēng)速信息估得:

式中:H0為投放高度;Vws0為投放時(shí)載機(jī)測(cè)得的射面風(fēng)速。

利用上述風(fēng)場(chǎng)模型，可將點(diǎn)火空速約束和臨界馬赫數(shù)約束轉(zhuǎn)化為點(diǎn)火地速約束和最大地速約束:

式中:Vf為終端地速;Vi和Vmax分別為點(diǎn)火地速和臨界馬赫數(shù)確定的最大地速:

式中:ΔV1為考慮風(fēng)速誤差的速度安全余量。

2 下滑段多約束制導(dǎo)策略

2.1 制導(dǎo)策略

下滑段的約束可分為三大類(lèi):第一類(lèi)為終端約束，包括終端高度、彈道傾角、地速和迎角約束;第二類(lèi)為與制導(dǎo)指令相關(guān)的過(guò)程約束，包括臨界馬赫數(shù)約束、迎角約束和法向過(guò)載約束;第三類(lèi)為飛行時(shí)間約束。根據(jù)上述各類(lèi)約束的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)如下制導(dǎo)策略:

(1)第一類(lèi)約束關(guān)系到能否順利點(diǎn)火，決定了制導(dǎo)指令的基本形式，將采用最優(yōu)控制理論進(jìn)行求解;

(2)第二類(lèi)約束關(guān)系到飛行品質(zhì)，決定了制導(dǎo)指令的邊界;

(3)由于下滑段存在很強(qiáng)的速度約束，因此飛行時(shí)間可調(diào)的范圍較小，在制導(dǎo)時(shí)可忽略其影響，但飛行時(shí)間約束會(huì)影響可投放區(qū)的大小。

2.2 多終端約束優(yōu)化問(wèn)題建模

忽略過(guò)程約束影響，下滑段制導(dǎo)幾何關(guān)系如圖3所示。圖中，an為法向加速度，將作為下滑段的制導(dǎo)指令，an=L/m －g cosγ。

圖3 制導(dǎo)幾何關(guān)系Fig.3 Guidance geometry

下滑段制導(dǎo)問(wèn)題的難點(diǎn)在于同時(shí)滿(mǎn)足終端地速大小和方向的要求，為此，需要對(duì)速度微分方程進(jìn)行線性化［18］。引入比能量e=V2/2+gh，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得:

在下滑段ALCM處于自由滑翔狀態(tài)，升阻比變化不劇烈。若假設(shè)在飛行過(guò)程中升阻比不變，則阻力可寫(xiě)為:

式中:K為下滑段的升阻比，在計(jì)算時(shí)取常值。將上式帶入式(13)可得:

以x為自變量，并假設(shè)γ為小量，則由式(1)和式(14)可得下滑段線性化的運(yùn)動(dòng)方程為:

式中:kv=1/V2，設(shè)為常數(shù);anc為僅考慮終端過(guò)程約束情況下的法向加速度，為控制變量;γ，H和e為狀態(tài)變量，其終端約束為:

設(shè)目標(biāo)函數(shù)為:

式中:xgo為剩余縱程;ani為點(diǎn)火迎角對(duì)應(yīng)的法向加速度，它們分別滿(mǎn)足如下關(guān)系式:

式中:xf為終端縱程;Li為迎角取(αi，low+ αi，up)/2 時(shí)對(duì)應(yīng)的升力。式(17)給出的目標(biāo)函數(shù)可使得在x→xf的時(shí)候anc→ani，從而保證終端迎角滿(mǎn)足要求。

利用上述優(yōu)化模型，可以獲得同時(shí)滿(mǎn)足下滑段點(diǎn)火點(diǎn)的高度、彈道傾角、地速和迎角要求的anc。

2.3 滿(mǎn)足多終端約束的最優(yōu)法向加速度

引入哈密爾頓函數(shù):

式中:λ1，λ2和λ3分別為H，γ和e對(duì)應(yīng)的協(xié)態(tài)變量，滿(mǎn)足如下關(guān)系:

求解式(19)可得:

式中:λ10，λ20和 λ30為協(xié)態(tài)初值。

最優(yōu)法向過(guò)載滿(mǎn)足:

將式(20)帶入式(21)并整理得:

式中:ν1=(λ10xf－λ20)kv+λ30/K。將式(22)帶入

式(15)，并結(jié)合式(16)可得最優(yōu)法向加速度為:

其中:

2.4 法向加速度邊界

法向加速度邊界由臨界馬赫數(shù)約束、迎角約束和法向過(guò)載約束共同確定。

2.4.1 臨界馬赫數(shù)約束

式(12)將臨界馬赫數(shù)約束轉(zhuǎn)化為最大地速約束。為了滿(mǎn)足該約束，當(dāng)V逐漸接近Vmax，則需逐漸減小至零。由于法向過(guò)載越大則越小，因此該約束對(duì)應(yīng)著法向過(guò)載下邊界，其表達(dá)式如下:

式中:KD為D=－mg sinγ對(duì)應(yīng)的升阻比;k1為制導(dǎo)指令光滑因子:

式中:ΔV2為速度常數(shù)。

2.4.2 迎角約束

最大迎角約束和最小迎角約束分別對(duì)應(yīng)著法向加速度的上邊界和下邊界，如下所示:

式中:Lαmin和Lαmax分別為αmin和αmax對(duì)應(yīng)的升力。

2.4.3 過(guò)載約束

過(guò)載約束對(duì)應(yīng)著法向加速度的上邊界:

2.4.4 法向加速度邊界

總的來(lái)說(shuō)，法向加速度邊界為:

式中:aup和alow分別為下滑段法向加速度的上邊界和下邊界。

2.5 下滑段制導(dǎo)指令

綜上可得，多約束條件下的下滑段制導(dǎo)指令為:

式中:an為下滑段法向加速度。

3 仿真校驗(yàn)

3.1 模型建立

為了校驗(yàn)上述下滑段制導(dǎo)策略的性能，選用戰(zhàn)斧巡航導(dǎo)彈作為仿真模型，具體參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

此外，導(dǎo)彈的氣動(dòng)數(shù)據(jù)采用Datcom估算，擬合如下:

其中:

3.2 下滑段多約束制導(dǎo)策略仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文給出的下滑多約束制導(dǎo)策略的性能，將制導(dǎo)結(jié)果與打靶法優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，其中打靶法的目標(biāo)函數(shù)與式(17)相同。仿真條件見(jiàn)表2，結(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4 目標(biāo)函數(shù)曲線Fig.4 Target function histories

由圖4可以看出，由打靶法獲得的最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)終值為15.03 m2/s4，而由制導(dǎo)策略得到的目標(biāo)函數(shù)終值為15.35 m2/s4，兩者僅相差2%。

圖5 法向加速度曲線Fig.5 Normal acceleration histories

由圖5可以看出，本文制導(dǎo)策略的加速度曲線與優(yōu)化曲線基本重合，但存在一個(gè)凸起，這是由于該處的空速接近臨界馬赫數(shù)，制導(dǎo)指令中考慮了速度限制的影響。

圖6 狀態(tài)和迎角曲線Fig.6 States and angle of attack histories

由圖6可以看出，制導(dǎo)策略獲得的高度、彈道傾角、空速與迎角曲線均與打靶法的結(jié)果較為接近，均滿(mǎn)足終端約束要求。

3.3 綜合拉偏打靶

設(shè)飛行任務(wù)和拉偏參數(shù)如表3所示。

表3 拉偏設(shè)置Table 3 Disturbance conditions

分別采用本文制導(dǎo)策略和PID跟蹤制導(dǎo)策略(打靶法優(yōu)化結(jié)果)對(duì)滑翔段彈道進(jìn)行1 000次打靶，得到的結(jié)果如圖7～圖10所示。圖中，左子圖為本文制導(dǎo)策略結(jié)果，右子圖為打靶法結(jié)果。

圖7 終端迎角和馬赫數(shù)散布Fig.7 Final angles of attack and airspeed Mach

由圖7可以看出，本文制導(dǎo)策略獲得的終端迎角和空速馬赫數(shù)均滿(mǎn)足點(diǎn)火窗口要求，并且散布相對(duì)較小;而跟蹤制導(dǎo)策略則有可能不滿(mǎn)足點(diǎn)火窗口要求，并且散布相對(duì)較大。

圖8 終端高度和彈道傾角誤差Fig.8 Final height errors and ballistic bank errors

由圖8可以看出，本文制導(dǎo)策略的終端高度和彈道傾角精度要優(yōu)于跟蹤制導(dǎo)策略。

圖9 最大迎角和空速馬赫數(shù)散布Fig.9 Maximum angle of attack and airspeed Mach

由圖9可以看出，兩種制導(dǎo)策略均存在不滿(mǎn)足過(guò)程約束的情況，但本文制導(dǎo)策略97.6%的概率滿(mǎn)足過(guò)程約束要求，而跟蹤制導(dǎo)策略只有84.0%的概率滿(mǎn)足過(guò)程約束要求。

圖10進(jìn)一步分析了風(fēng)干擾對(duì)迎角和空速的影響?？梢钥闯?，風(fēng)干擾的附加迎角Δαw可達(dá)4°，馬赫數(shù)增量ΔMaa可達(dá)0.1，這也是存在較多不滿(mǎn)足過(guò)程約束算例的主要原因。

圖10 風(fēng)干擾對(duì)迎角和空速的影響Fig.10 Impact of wind interference on angle of attack and airspeed

總的來(lái)說(shuō)，相對(duì)于跟蹤制導(dǎo)策略，本文制導(dǎo)策略具有抵抗拉偏能力強(qiáng)、魯棒性好的特點(diǎn)。

3.4 可投放區(qū)

利用本文提出的ALCM下滑段多約束制導(dǎo)策略，進(jìn)一步求解可投放區(qū)，得到的結(jié)果如圖11和圖12所示。

圖11 低空點(diǎn)火可投放區(qū)Fig.11 Acceptable launching region of low altitude

圖12 高空點(diǎn)火可投放區(qū)Fig.12 Acceptable launching region of high altitude

由圖可知:可投放區(qū)的下界由點(diǎn)火空速?zèng)Q定，可投放區(qū)的上界在低空點(diǎn)火時(shí)由飛行時(shí)間約束決定，高空點(diǎn)火時(shí)由飛行時(shí)間及臨界馬赫數(shù)約束共同決定;拉偏會(huì)減小可投放區(qū)，并且高空點(diǎn)火的影響要大于低空點(diǎn)火;高速投放比低速投放具有更寬的允許投放高度范圍。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種ALCM下滑段多約束制導(dǎo)策略。在空速不可測(cè)的情況下，提出通過(guò)風(fēng)廓線和地速估算空速的方法，能夠有效降低風(fēng)干擾帶來(lái)的終端空速散布，從而滿(mǎn)足ALCM點(diǎn)火窗口要求。將臨界馬赫數(shù)約束、迎角約束和過(guò)載約束轉(zhuǎn)化為法向加速度邊界，實(shí)現(xiàn)了對(duì)過(guò)程約束的閉環(huán)考慮。獲得了下滑段最優(yōu)法向加速度，能夠同時(shí)滿(mǎn)足終端高度、彈道傾角、地速和迎角約束。仿真驗(yàn)證表明，該制導(dǎo)策略獲得的結(jié)果與打靶法優(yōu)化結(jié)果類(lèi)似。在氣動(dòng)力拉偏、大氣密度拉偏和風(fēng)干擾的情況下，與傳統(tǒng)的PID跟蹤法相比，具有更高的制導(dǎo)精度和更好的魯棒性。利用該制導(dǎo)策略，給出了ALCM的可投放區(qū)，并分析了拉偏對(duì)可投放區(qū)的影響，為實(shí)際應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

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