黃志遠(yuǎn)，邱浩波，蔡習(xí)文

(華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

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IDIRECT-HDMR高維近似模型方法及工程應(yīng)用

黃志遠(yuǎn)，邱浩波，蔡習(xí)文

(華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

摘要：元建模常用于近似求解輸入與輸出間的映射關(guān)系。隨著維度的增加，其計(jì)算成本將呈指數(shù)增長(zhǎng)，使得常用的回歸方法難以獲得高精度的近似模型。提出一種基于改進(jìn)分割矩形IDIRECT(improved dividing rectangles)采樣的高維模型表示HDMR(high-dimensional model representation)方法，稱為IDIRECT-HDMR。該方法將高維問題轉(zhuǎn)化為一系列低維問題求和，從而用較少的樣本點(diǎn)獲得較高精度的近似模型。采用多維度的數(shù)值算例驗(yàn)證IDIRECT-HDMR的可行性并將其應(yīng)用于工程實(shí)例。

關(guān)鍵詞：元建模；分割矩形；高維模型

0引言

近年來，元建模技術(shù)廣泛運(yùn)用于工程優(yōu)化的近似求解問題。常用的近似建模方法有：多項(xiàng)式回歸PR(polynomial regression)[1]、克里金插值(Kriging)[2]、徑向基函數(shù)RBF(radial basis function)[3]、最小移動(dòng)二乘法MLS(moving least square)[4]等。這些方法在提高建模效率以及模型精度上有了一定的發(fā)展，但實(shí)踐證明僅適用于低維問題，對(duì)于高維問題，要保證模型精度，其計(jì)算成本將隨維度的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)。

文中提出了一種基于IDIRECT采樣的高維模型表示方法，IDIRECT-HDMR。這種方法結(jié)合了HDMR的層次結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)以及IDIRECT的智能采樣策略，從而利用少量的樣本點(diǎn)構(gòu)建出高精度的近似模型。

1基本理論

1.1HDMR

(1)

(2)

(3)

(4)

…

(5)

當(dāng)式(1)中的所有組成函數(shù)構(gòu)建完成，則用這個(gè)HDMR表達(dá)式取代原物理模型。式中每一項(xiàng)都有鮮明的數(shù)學(xué)含義，如果輸入變量間沒有任何相關(guān)關(guān)系，那么表達(dá)式中只含零階項(xiàng)和一階項(xiàng)。實(shí)驗(yàn)證明，高階項(xiàng)對(duì)輸出函數(shù)的影響是有限的，在大多數(shù)工程問題中，這種影響可以忽略不計(jì)，HDMR展開到二階項(xiàng)時(shí)就足夠反映出原物理模型。

1.2IDIRECT采樣方法

DIRECT[9]算法主要用于求解帶邊界約束的最優(yōu)問題，它能權(quán)衡全局與局部的尋優(yōu)關(guān)系，且收斂速度快、魯棒性強(qiáng)。當(dāng)最優(yōu)點(diǎn)確定后，就可以在它附近區(qū)域構(gòu)建HDMR近似模型，這將有效地縮減原設(shè)計(jì)空間。不失一般性，DIRECT通常將設(shè)計(jì)空間歸一化為單位超立方：

(6)

c1表示這個(gè)超立方中心。對(duì)點(diǎn)ci±δei,i=1,2,…,d進(jìn)行采樣，其中δ等于立方體邊長(zhǎng)的1/3，ei是第i個(gè)歐幾里德向量。得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的評(píng)價(jià)函數(shù)值并取最優(yōu)值wi：

(7)

然后將wi所在的區(qū)域劃分為三等份，ci±δei則成為新的超矩形中心，重復(fù)這個(gè)過程直到滿足收斂準(zhǔn)則。

雖然DIRECT采樣方法能有效地縮減樣本空間，但將其引入函數(shù)逼近問題時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)難以避免的誤差，即求得的近似模型在邊界區(qū)域的逼近能力較差。為了獲得精度更高的回歸模型，本文改進(jìn)了DIRECT的采樣策略。

由于DIRECT采樣過程不選擇邊界點(diǎn)，而邊界區(qū)域的樣本點(diǎn)通常又影響著建模精度，因此，主要的改進(jìn)策略為：當(dāng)原方法對(duì)超立方中心采樣取值后，不直接對(duì)點(diǎn)ci±δei,i=1,2,…,d進(jìn)行采樣，而是先對(duì)各維度的邊界點(diǎn)采樣取值，然后再通過評(píng)價(jià)函數(shù)進(jìn)行后續(xù)的劃分采樣。圖1表示了一個(gè)二維問題，采用IDIRECT的劃分策略。圖中每一行代表一個(gè)新的迭代過程，第一列到第二列的轉(zhuǎn)變表示潛在最優(yōu)超矩形的識(shí)別。第二列的陰影區(qū)域表示對(duì)潛在最優(yōu)超矩形的選擇。第三列指潛在最優(yōu)超矩形劃分結(jié)束的狀態(tài)。

圖1　IDIRECT的劃分策略

1.3IDIRECT-HDMR近似模型方法

在對(duì)原模型函數(shù)逼近時(shí)，底層函數(shù)的特性通常是未知的，尤其是黑箱求解問題。IDIRECT-HDMR可以通過較少的樣本點(diǎn)獲得原模型輸入與輸出間的映射關(guān)系。其具體求解步驟為：

影響建模的計(jì)算成本主要有三個(gè)因素：維度、變量的取值范圍以及收斂準(zhǔn)則。當(dāng)其他條件不變，僅考慮維度變化時(shí)，IDIRECT-HDMR展開到l階的計(jì)算成本為：

(8)

式中，s是每個(gè)維度的采樣個(gè)數(shù)。計(jì)算成本隨著維度d的增加呈多項(xiàng)式增加。而常用的近似方法采用全因子設(shè)計(jì)時(shí)，其計(jì)算成本達(dá)到sd。因此，IDIRECT-HDMR大大降低了建模成本，若其表達(dá)式僅展開到二階項(xiàng)時(shí)，建模效率將進(jìn)一步得到提高。

2算例分析2.1評(píng)價(jià)指標(biāo)

(9)

(10)

RMAE=

(11)

這是評(píng)價(jià)近似模型局部精度的重要指標(biāo)，它描述了設(shè)計(jì)空間某一局部區(qū)域的誤差，且RMAE越小越好。

2.2函數(shù)算例

如表1所示，使用4個(gè)典型的測(cè)試算例，其中包括兩個(gè)低維函數(shù)(二維與三維)和兩個(gè)高維函數(shù)(十維)。采用IDIRECT-HDMR構(gòu)建它們的近似模型，通過3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)驗(yàn)證模型的函數(shù)逼近能力。取測(cè)試樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為1000，測(cè)試結(jié)果如表2所示，NOP表示構(gòu)建模型所需的樣本點(diǎn)數(shù)。

表1　測(cè)試函數(shù)

表2　測(cè)試函數(shù)評(píng)價(jià)結(jié)果

表2數(shù)據(jù)可知，無論高維還是低維的測(cè)試函數(shù)，IDIRECT-HDMR構(gòu)造的近似模型都有很高的函數(shù)逼近能力，且所需的樣本點(diǎn)也較少。針對(duì)以上算例，學(xué)者Simpson[10]采用傳統(tǒng)的近似方法進(jìn)行了回歸驗(yàn)證，圖2給出了各評(píng)價(jià)指標(biāo)的平均值，3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)均明顯比本文提出的近似方法所得的結(jié)果差。因此， IDIRECT-HDMR相對(duì)其他近似方法而言，能更精確地求解高維模型的函數(shù)逼近問題。

圖2　各種近似模型評(píng)價(jià)指標(biāo)的柱狀圖

2.3工程算例

圖3是一個(gè)立柱的三維模型，立柱左側(cè)有一引導(dǎo)橫梁上下移動(dòng)的導(dǎo)軌。機(jī)床加工過程會(huì)使導(dǎo)軌發(fā)生撓度變形，導(dǎo)致橫梁不能沿垂直方向運(yùn)行，影響機(jī)床的加工精度。因此，在對(duì)機(jī)床進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)前，必須找到立柱各尺寸參數(shù)與導(dǎo)軌撓度變形間的映射關(guān)系。選用立柱的8個(gè)尺寸參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，導(dǎo)軌的撓度變形為響應(yīng)。

圖3　立柱的三維模型

利用Hypermesh網(wǎng)格化分，獲得其有限元模型。并采用OptiStruct求解器對(duì)該模型進(jìn)行有限元分析。由于立柱每一次尺寸參數(shù)的變化都需要重新建模求解，導(dǎo)致每獲取一個(gè)樣本點(diǎn)都要耗費(fèi)大量的時(shí)間，應(yīng)利用盡可能少的樣本點(diǎn)獲得較高精度的近似模型，因此采用IDIRECT-HDMR近似建模方法。并隨機(jī)生成了一組測(cè)試樣本點(diǎn)驗(yàn)證模型的近似精度，結(jié)果如表3所示。

表3　工程算例測(cè)試結(jié)果

表3中，一階擴(kuò)展模型表示IDIRECT-HDMR近似模型僅擴(kuò)展到一階項(xiàng)，即模型只含常數(shù)項(xiàng)和一階項(xiàng)；二階擴(kuò)展模型表示近似模型擴(kuò)展到了二階項(xiàng)。根據(jù)表中結(jié)果可知，采用文中提出的IDIRECT-HDMR方法能夠用少量的樣本點(diǎn)構(gòu)造出高精度的近似模型。因此，在求解此高維工程問題時(shí)，IDIRECT-HDMR有著極高的求解效率和近似精度，并且模型的構(gòu)建過程可以得到各變量間的耦合關(guān)系，這有助于立柱的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。比較一階擴(kuò)展模型和二階擴(kuò)展模型可知，一階擴(kuò)展模型也有相對(duì)較高的精度，且模型的構(gòu)建只需極少的樣本點(diǎn)。因此，在一些對(duì)精度要求不高，但需快速獲取近似模型的工程應(yīng)用中，有時(shí)可以將IDIRECT-HDMR模型只擴(kuò)展到一階項(xiàng)。

4結(jié)語

提出的IDIRECT-HDMR近似模型方法獲得了較高的精度和建模效率，并成功運(yùn)用于工程實(shí)例中。該方法的主要優(yōu)勢(shì)總結(jié)為以下幾點(diǎn)：

1) 采用HDMR結(jié)構(gòu)，將高維問題轉(zhuǎn)化為一系列低維問題求和。隨著維度的增加，計(jì)算成本從指數(shù)增長(zhǎng)降為多項(xiàng)式增長(zhǎng)。

2) 采用IDIRECT采樣方法，提高了模型的收斂速度并控制了采樣數(shù)量。

3) 該方法能夠自主地判斷函數(shù)的線性與否以及各變量間的相關(guān)關(guān)系。

4) 相對(duì)其他的近似方法，IDIRECT-HDMR能更好地保證模型精度與建模效率。

雖然IDIRECT-HDMR近似模型方法在一定程度上解決了高維建模的困難，并獲得了一定的應(yīng)用前景。但是本方法還有較大的發(fā)展空間，例如采樣方法的深入研究；模型擴(kuò)展階數(shù)的合理選擇等。對(duì)于一些復(fù)雜工程算例，如含有噪聲的工程系統(tǒng)，該方法需要進(jìn)一步地完善和發(fā)展。

參考文獻(xiàn):

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[10] Simpson, T.W., Comparative studies of metamodeling techniques under multiple modeling criteria. 2000.

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IDIRECT-HDMR Approximation Model for High Dimensional

Problems and Engineering Application

HUANG Zhi-yuan, QIU Hao-bo, CAI Xi-wen

(School of Mechanical Science and Engineering; Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China)

Abstract:Metamodeling is often used for approximate mapping between the input and output variables. Popular regression methodologies are inapplicable to the accurate metamodels for high dimensional practical problems since the computational time increases exponentially as the number of dimensions rises. This paper proposes a new form of high-dimensional model representation (HDMR) by integrating an intelligent sampling strategy, namely, Improved Dividing Rectangles (IDIRECT), termed IDIRECT-HDMR. In this method, few sample points are used to obtain accurate metamodels by transforming a high dimensional problem into a series of low dimensional problems. Some mathematical test functions with a wide scope of dimensionalities are used to demonstrate the performance of IDIRECT-HDMR, and this method is applied to the practical application example.

Keywords:metamodeling; dividing rectangles; high-dimensional model

基金項(xiàng)目：福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013J01185)；福州大學(xué)人才基金資助項(xiàng)目(XRC-1157)

收稿日期：2014-12-03

中圖分類號(hào)：TP391.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

文章編號(hào)：1671-5276(2015)03-0100-04

作者簡(jiǎn)介：黃志遠(yuǎn)(1989-)，男，江西南昌人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楦呔S模型近似求解策略與結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。