PTW整環(huán)的t-全變換與t-平坦擴(kuò)環(huán)

萬吉湘1，徐龍玉2

(1.綿陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，四川綿陽621000;2.西南科技大學(xué)理學(xué)院，四川綿陽621010)

摘要：利用素理想在星型算子研究中的特殊性，引入t-全變換的概念，對PTW整環(huán)進(jìn)行了討論，證明了R是PTW的SM整環(huán)，則Rtg=K.給出了PTW整環(huán)與其t-平坦擴(kuò)環(huán)也是PTW整環(huán)的等價描述，進(jìn)一步對PTW整環(huán)進(jìn)行了探討.

關(guān)鍵詞：PTW整環(huán)； t-全變換；t-平坦擴(kuò)環(huán)

收稿日期：2015-05-20

基金項目：綿陽師范學(xué)院2014年度自然科學(xué)重點項目“乘法理想理論中的Gorenstein同調(diào)法”(2014A04)

作者簡介：萬吉湘(1981—)，女，四川瀘州人.講師，主要從事交換代數(shù)與同調(diào)代數(shù)研究.

中圖分類號：O153.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

本文恒設(shè)R是整環(huán)，K為其商域，R的擴(kuò)環(huán)T是指T為R-模，且R?T?K.對于K中的任意R模A，令

F(R)上的映射I→I,I→Iv,I→It,I→Iw分別稱為R的d-,v-,t-,w-算子.

在前人的研究中，素理想的特殊性在星型算子的研究中沒有得到體現(xiàn).2006年，文[1-3]中提出了PTW整環(huán)的概念，即R是PTW整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的任何素w-理想是t-理想，并說明了PTW是TW整環(huán)的推廣.本文在此基礎(chǔ)上對PTW整環(huán)做進(jìn)一步的研究，討論PTW整環(huán)R與其t-全變換、t-平坦擴(kuò)環(huán)之間的關(guān)系.

定義3[5]所謂t-平坦擴(kuò)環(huán)T是指T是整環(huán)R的擴(kuò)環(huán)，且對T中任意極大t-理想Q，TQ=RQ∩R.

在[5]中指出T是R的t-平坦擴(kuò)環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)存在廣義乘法集Σ，使得T=RΣ，且對任意A∈Σ，(AT)t1=T.

定理1若R是Mori整環(huán)，則Rwg不是平坦R-模.

證明：R是Mori整環(huán)，由[4]，Rwg是Mori整環(huán).對R中任意極大w-理想A，我們說(ARwg)-1=Rwg.事實上，Rwg?(ARwg)-1顯然.現(xiàn)證(ARwg)-1?Rwg.令x∈(ARwg)-1，則xARwg?Rwg，從而xA?Rwg.由R是Mori整環(huán)，存在有限生成理想B?A，使得Bv=Av，故xB?Rwg.由于B有限生成，故存在極大w-理想C1,…,Cn，使得xAC1…Cn?xAvC1…Cn=xBvC1…Cn?(xBC1…Cn)v?R.從而x∈Rwg.故Rwg=(ARwg)-1.

若Rwg是平坦R-模，A為R的極大w-理想，從而是t-理想，則ARwg是Rwg的t-理想.下面我們證ARwg是極大w-理想.若否，則存在Rwg的極大w-理想Q，使得ARwg?Q，從而Qv1=Rwg.Rwg是Mori整環(huán)，則Q是v-理想，故矛盾.因此ARwg是極大w-理想，從而與(ARwg)-1=Rwg矛盾.故Rwg不是平坦R-模.

注：根據(jù)定理1進(jìn)一步設(shè)R是SM整環(huán)，R是PTW整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)若擴(kuò)環(huán)T是平坦R-模，且T?Rwg，則T是PTW整環(huán).

證明：由定義3即得.

定理2Rtg是R的w-擴(kuò)環(huán).

證明：令x∈(Rtg)w，則存在J∈GV(R)，使得Jx?Rtg.J有限生成，于是存在素t-理想M1,…,Mk，使得M1…MkJx?R.由Jw=R，我們有M1…Mkx?(M1…Mkx)w?R.故x∈Rtg，從而Rtg=(Rtg)w，Rtg是R的w-擴(kuò)環(huán).

引理1[6]設(shè)R是SM整環(huán)，I是R的w-理想，則I上只有有限個極小素理想，且都可以表示為(I：x)，其中x∈R-I.

定理3R是PTW的SM整環(huán)，則Rtg=K.

((M1…Mk)n)w=((I1…Ik)n)w?Iw=I，

因此(M1…Mk)n?I=(R:x)，x∈Rtg，從而Rtg=K.

推論2R是SM整環(huán)，w-dim(R)=1，則Rtg=K.

定理4R為v-凝聚整環(huán)，則以下等價.

(1) R是PTW整環(huán).

(2)若t-平坦擴(kuò)環(huán)T為v-凝聚整環(huán)，則T也是PTW整環(huán).

(3)若t-平坦擴(kuò)環(huán)T是平坦R-模，則T是PTW整環(huán).

證明：根據(jù)定理3以及t-平坦擴(kuò)環(huán)的定義即可證得.

參考文獻(xiàn)：

[1] 萬吉湘, 王芳貴.PTW整環(huán)的刻畫[J].四川師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版, 2006(4):392-396 .

[2] 萬吉湘, 王芳貴. PT整環(huán)的研究[J].四川師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版, 2010(1):27-31.

[3] 萬吉湘, 王芳貴. 關(guān)于PTW整環(huán)的多項式環(huán)[J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版, 2010(11):15-17 .

[4] M．H．Park．OnoverringsofStrongMoridomains[J]．Pure． Appl．Algebra, 2002(1):79-85．

[5] D.J.Kwak，Y.S.Park.Ont-flatoverrings[J].Chinese Journal of Mathematics, 1995(1) :17-24.

[6] Wang Fanggui, R.L.McCasland.OnStrongMoridomains[J].J.Pure.Appl.Algebra, 1999(6):155-165.

[責(zé)任編輯范藻]

The t-global Transform and t-flat Overring of PTW Domain

WAN Jixiang1，XU Longyu2

(1. Mathematics and Computer Science School of Mianyang Normal University, Mianyang Sichuan 621000;

2. Science College of Southwest University of Science and Technology, Mianyang Sichuan 621010, China)

Abstract:In this paper, by the particularity of prime ideal in study of star operator, the concept of t-global transform is imported to further discuss PTW domain. We prove that if R is SM domain of PTW, then Rtg=K. Moreover, we show when a ring is PTW domain if and only if its t-flat overring is also PTW domain. So the theories about PTW domain are enriched consumedly.

Key words:PTW domain; t-global transform; t-flat overring