徐自立，孫振營，王 術(shù)

（1．北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京100124；2．中州大學(xué)信息工程學(xué)院，河南鄭州450044）

具有Dirichlet邊界條件的非等熵MHD方程組的小馬赫數(shù)極限

徐自立1，2，孫振營2，王 術(shù)1

（1．北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京100124；2．中州大學(xué)信息工程學(xué)院，河南鄭州450044）

研究了在半平面上速度場和磁場都具有Dirichlet條件的非等熵的MHD方程組的不可壓極限．在具有好始值的前提下，在小時(shí)間區(qū)間上建立了不依賴于小馬赫數(shù)ε∈（0，1）的一致估計(jì)，其中也包括了在邊界上法線方向上的速度的高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)．

小馬赫數(shù)；Dirichlet條件；非等熵；MHD方程組

在描述流體在磁場中運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)的磁流體力學(xué)偏微分方程組（簡稱MHD方程組）中，當(dāng)小馬赫數(shù)趨于0時(shí)，從物理意義上看，這時(shí)攜帶著流體中勢(shì)能部分的高速聲波就能夠產(chǎn)生．如果是周期流體，這些聲波將會(huì)一直存在并且頻率不斷增加．而從數(shù)學(xué)的角度來看，這就意味著可壓的MHD方程組的解收斂到不可壓的MHD方程組的解．小馬赫數(shù)問題因其物理背景的重要性、復(fù)雜性、其數(shù)學(xué)方面的挑戰(zhàn)性，吸引了許多知名數(shù)學(xué)家的研究興趣，同時(shí)也取得了很多好的結(jié)果［1－4］．

當(dāng)κ＝0時(shí)，MHD方程組在全空間上的局部光滑解的小馬赫數(shù)極限問題被Fan［5］等嚴(yán)格證明，Jiang［6－7］等研究了具有熱傳導(dǎo)系數(shù)時(shí)在全空間或者環(huán)上的局部光滑解的小馬赫極限，但是都沒有涉及有邊界的情況．而具有物理意義的邊界問題，Dou和Ju［8］證明了速度場具有非光滑邊界條件而磁場具有物理上完美傳導(dǎo)邊界條件的等熵MHD方程組的小馬赫數(shù)極限問題．

本文研究的是在二維半平面上速度場和磁場都具有Dirichlet邊界條件的情形時(shí)小馬赫數(shù)極限．實(shí)際上本文作者［9］已經(jīng)證明MHD方程組光滑解的整體存在性和唯一性，并證明了在速度場滿足Navier光滑邊界條件且具有好始值時(shí)的小馬赫數(shù)極限．與文獻(xiàn)［9］中速度場滿足Navier光滑邊界而磁場滿足完美傳導(dǎo)邊界條件的情形相比較，本文的能量一致性估計(jì)將變得更加復(fù)雜．特別地，對(duì)于邊界上的估計(jì)將要分為切線和法線兩個(gè)方向的估計(jì)才能獲得．

1 主要結(jié)果

令p＝1＋q，重寫MHD方程組的模型如下：

其中ρ，u和H分別表示流體的密度、速度和磁場，p：＝（γ－1）ρe表示壓力．

方程組（5）～（8）的初值條件為：

邊值條件為：

curlH＝?1H2－?2H1，邊界?Ω＝（x1，0）的外法向量記作n：＝（n1，n2）＝（0，－1）．

本文的主要結(jié)果如下：

定理1．1 已知Ω?R R2是一個(gè)具有邊界｛（x1，x2）｜x2＝0｝的上半平面，且ν＝μ＋λ≥0．如果存在一個(gè)不依賴ε∈（0，1］的正常數(shù)C0，并且在（5）中的初始值

則初邊值問題（1）～（6）在C（［0，T0］；H2（Ω））中存在一個(gè)唯一解（ρε，uε，qε，Hε），其中T0也是一個(gè)不依賴ε∈（0，1］的正常數(shù)．此外，（ρε，uε，qε，Hε）滿足

這里C＝C（δ0，C0）是一個(gè)不依賴ε∈（0，1］的正常數(shù)．另外，當(dāng)ε→0時(shí)，（ρε，uε，Hε）在Sobolev空間收斂到（ρ，u，H），且存在一個(gè)函數(shù)P（x，t），使得在C（0，T0；H2（Ω）3×H1（Ω））中，（ρ，u，P，H）為下面非齊次不可壓具有初邊值問題的MHD方程組的解：

（ρ0，u0，H0）在Ω內(nèi)，這里（ρ0，u0，H0）為在H2（Ω）中的弱極限，同時(shí)在Ω中幾乎處處有

這里先給出定理，后面將給出證明．

2 “線性化”及其定理

由于問題（1）～（6）是非線性的，我們給定一個(gè)確定的v滿足和u相同的初邊值條件，通過下面的方程（7）可以解出密度ρ，而通過方程（10）可以解出磁場H，所以此時(shí)方程（8）表面上不是線性的，但由于解出密度ρ和磁場H后，本質(zhì)上是線性，故我們稱之為“本質(zhì)線性化”；下面我們將方程組（1）～（6）“本質(zhì)線性化”為：

在這里我們利用等式

這樣，為了證明定理1．1，我們要先給出下面的定理：

則對(duì)于某個(gè)T＞0，初邊值問題（7）～（12）具有唯一解

在Ω×（0，T）中滿足ρε＞0和下面的正則性：

下面的命題對(duì)于證明定理1．1．和定理2．1非常重要：

命題2．1 如果初始值（ρ0，u0，q0，H0）對(duì)于某個(gè)不依賴于ε∈（0，1］的正常數(shù)C0，G0≤C0，并且假設(shè)（ρ，u，q，H）是定理2．1的唯一局部解．則這里存在不依賴ε∈（0，1］的正常數(shù)T0（G），C（C0）和G，使得

此外，如果G是固定的，則T0＝T，這里的C依賴于G和ρ．

為了證明命題2．1，我們有下面一些引理來分別對(duì)k≥2，H和（u，q）的低階和高階導(dǎo)數(shù)來分別進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)．

3 先驗(yàn)估計(jì)

3．1 ρ的估計(jì)

對(duì)于任意的整數(shù)k≥2，我們對(duì)式（7）兩邊乘以－ρ－k并且分部積分，得出

這里存在的C不依賴于k．然后利用Gronwall不等式并讓k→＋∞，我們能得到

然后再得出ρ的H2估計(jì)，最后我們有下面的定理：

引理3．1 存在一個(gè)正的連續(xù)函數(shù)F（·，·），正常數(shù)T1：＝min（T，（1＋G2）－1）和C，對(duì)于任意的t∈［0，T1］和0≤ε≤1，使得

以后的Fi（·，·）（i＝1，2，…）是不依賴ε和正常數(shù)η，δ的連續(xù)函數(shù)．

3．2 對(duì)H的估計(jì)

由于在邊界上H＝0，我們只能得出H的低階估計(jì)，而其高階估計(jì)將和速度場u的高階估計(jì)放在一起用相同的方法進(jìn)行估計(jì)．

引理3．2 存在一個(gè)正常數(shù)T1和C，使得對(duì)于任意的t∈［0，T1］，有

此外，對(duì)任意t∈［0，T］和正的連續(xù)函數(shù)F（·，·）有，

證明 首先，對(duì)方程（10）兩邊點(diǎn)乘H并在Ω上積分，能得到

利用條件（12），Young不等式以及插值不等式，能得到

對(duì)于t∈［0，T2］，這里

T2：＝min（T，（1＋G4）－1）．下面，記curlH為φ，由（10）容易知道φ滿足下面的方程

在上式兩邊同乘以φ然后在區(qū)域Ω上積分，利用邊界條件（12），得出

對(duì)式（17）兩邊同乘以Ht并積分，能得到

再利用Gronwall不等式和定義2．1和（13）得出

3．3 （u，q）的L2估計(jì)

我們很容易得出（u，q）的L2估計(jì)：

引理3．3 存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)F0（·），是的對(duì)于任意t∈［0，T2］，這里的T2：＝min（T，（1＋G4）－1），有

此外，存在一個(gè)正的連續(xù)函數(shù)F（·，·），是的對(duì)于任意的t∈［0，T2］，將F0（G0）更換成F2（G0，G）上面的估計(jì)照樣成立．

3．4 對(duì)（u，q，H）的高階估計(jì)

下面分別進(jìn)行估計(jì)K1，K2，K3，最后得出，對(duì)于任意的t∈（0，T2］和ε∈（0，1］，有

然后，又能得到，對(duì)于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

這里的T3：＝min（T，（1＋G34）－1）．

首先要估計(jì)低階項(xiàng)．采用常規(guī)的穩(wěn)定的Stokes問題的估計(jì)方法［10］（參見Galdi書中第4章內(nèi)容）、利用Sobolev嵌入定理以及引理3．2，對(duì)于特定的函數(shù)F2（G0）＞1和任意的t∈（0，T3］，能夠得出

類似的，我們得（u，q）到的高階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)：

然后結(jié)合式（21），對(duì)于某個(gè)特定的函數(shù)F2（G0）＞1和任意的t∈（0，T3］，推出

然后結(jié)合式（18）、（19）、（20）和（23），得出下面的引理：

引理3．4 存在一個(gè)正常數(shù)C1和T3（G），使得對(duì)于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

我們將采用Valli的思想［11－12］和Jiang［13］的方法，分別對(duì)區(qū)域的內(nèi)部和邊界進(jìn)行估計(jì)．

（1）區(qū)域內(nèi)部估計(jì)

下面先給出內(nèi)部估計(jì)，為了方便，我們采用愛因斯坦求和約定，，并且令χ0是函數(shù)，對(duì)式（8）作用?jk，然后和作內(nèi)積，得

對(duì)式（9）作以上類似的處理，經(jīng)過仔細(xì)計(jì)算，導(dǎo)出：

（2）區(qū)域邊界上切線方向上導(dǎo)數(shù)的估計(jì)

由于在?Ω上，χ0?1u＝0，χ0?11u＝0，其中的?1，?11都是邊界切線方向上的導(dǎo)數(shù)，同樣的，χ0?1v＝0， χ0?11v＝0，這樣，對(duì)式（8）作用?11，再乘以，然后積分，經(jīng)過計(jì)算得出

對(duì)于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

（3）區(qū)域邊界上法線方向上導(dǎo)數(shù)的估計(jì)

首先對(duì)式（8）作用?1，然后兩邊同乘以（divu），最后積分．接著對(duì)式（9）作用?12，然后兩邊同乘以，最后積分．結(jié)合上面兩次積分后的式子，得出：

對(duì)于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

為了封閉對(duì)divu的估計(jì)，對(duì)式（8）作用?2，兩邊同乘以然后積分．對(duì)式（9）作用?22，兩邊同乘以然后積分．結(jié)合上面兩次積分后的式子，得出：

對(duì)于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

為了估計(jì)三階的法向量，繼續(xù)利用上面的Galerkin問題導(dǎo)出：

綜合上面的關(guān)于邊界的估計(jì)，我們得出下面的引理：

引理3．5 存在一個(gè)正函數(shù)F8，正常數(shù)C和T3（G），使得對(duì)于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

綜合引理3．1至引理3．5，我們?cè)俚贸鱿旅娴囊恚?/p>

引理3．6 存在一個(gè)正函數(shù)F9和T3（G），使得對(duì)于任意的t∈（0，T3］和ε∈（0，1］，有

4 命題2．1的證明

取F10（G0）：＝F1（G0）＋F9（G0），這里的F1（·）與F9（·）分別是由引理3．1和引理3．6定義的，利用選擇的G和T0，我們有

對(duì)于任意的0＜ε≤1，能得到

這樣用常規(guī)的方法就能得到命題2．1的證明．接著運(yùn)用Galerkin方法和正則性定理能建立“線性方程組”（7）～（12）的解的局部存在性和整體存在性．

5 定理的證明

基于局部存在性定理和整體存在性定理，我們?cè)龠\(yùn)用用經(jīng)典的連續(xù)定理和命題2．1中的一致估計(jì)就能證明出定理2．1．

最后，利用不動(dòng)點(diǎn)定理，“本質(zhì)線性”方程組解的整體存在性定理，以及命題2．1中的一致估計(jì)，我們能容易地證明出定理1．1．

本文解決的是半平面上的Direchlet條件的MHD方程組的不可壓極限問題，情況相對(duì)簡單，如果是有界區(qū)域上的Direchlet邊值問題，我們將不得不采用坐標(biāo)變換的方法處理邊界，情況會(huì)更見復(fù)雜．

另外，我們還可以考慮三維的情形．

［1］ZAJACZKOWSKI W M．On nonstationary motion of a compressible baratropic viscous fluids with boundary slip condition［J］．Journal Application Analysis，1998，4：167－204．

［2］ALAZARD T．Low Mach number limit of the full Navier-Stokes equations［J］．Arch Ration Mech Anal，2006，180：1－73．

［3］BRESCHB D，DESJARDINS B，GRENIER E，et al．Low Mach number limit of viscous polytropic flows：formal asymptotics in the periodic case，Stud［J］．Appl Math，2002，109：125－149．

［4］DANCHIN R．Low Mach number limit for viscous compressible flows［J］．Math Model Numer Anal，2005，39：459－475．

［5］FAN Ji-shan，GAO Hong-jun，GUO Bo-ling．Low Mach number limit of the Compressible magnetohydrodynamic equations with zero thermal conductivity coefficient［J］．Mathematical Methods in the applied sciences，2011，11：2182－2188．

［6］JIANG Song，JU Qiang-chang，LI Fu-cai．Incompressible limit of the compressible magnetohydrodynamic equations with periodic boundary conditions［J］．Comm．Math．Phys．，2010，297：371－400．

［7］JIANG Song，JU Qiang-chang，LI Fu-cai．Low Mach number limit for the multi-dimensional full Magnetohydrodynamic equations［J］．Nonlinearity，2012，25：1351－1365．

［8］DOU Chang-sheng，JU Qiang-chang．Low Mach number limit for the compressible magnetohydrodynamic equation in a bounded domain for all time［J］．Commun．Math．Sci．，2014，12：661－679．

［9］WANG Shu，XU Zi-li．Low Mach number limit of nonisentropic magnetohydrodynamic equations in a bounded domain［J］．Nonlinear Analysis，2014，105：102－119．

［10］GALDI G P．An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations［J］．Vol．I．Linearized Steady Problems，Springer-Verlag，New York，1994．

［11］VALLI A，Periodic and stationary solutions for compressible Navier-Stokes equations via a stability method［J］．Ann．Scuola Norm．Sup．Pisa CI．Sci．1983，10（4）：607－647．

［12］VALLI A，ZAJACZKOWSKI W M，Navier-Stokes equations for the compressible fluids：global existence and qualitative proper-ties of the solutions in the general case［J］．Comm Math Phys，1986，103：259－296．

［13］JIANG Song，OU Yao-bin．Incompressible limit of the non-isentropic Navier-Stokes equations with well-prepared initial data in three-dimensional bounded domains［J］．J Math Pures Appl，2011，96：1－28．

［責(zé)任編輯：王景周］

Low mach number limit of the non-isentropic magnetohydrodynamic equations with the Dirichlet bounded conditions

XU Zili，SUN Zhengying，WANG Shu
（1．College of Applied Sciences，Beijing University of Technology，Beijing 100124；2．College of Information Engineering，Zhong Zhou University，Zhengzhou 450044，China）

The incompressible limit of the non-isentropic magnetohydrodynamic equations with the Dirichlet bounded conditions for velocity and for magnetic field in the half plane was studied．Under the premise of the initial data that is well-prepared，the uniform estimates，which exclude the estimate of high-order derivatives of the velocity in the normal directions to the boundary，are estimated within a short time interval independent of Mach number ε∈（0，1）．

Low Mach number limit；Dirichlet conditions；Non-isentropic；MHD equations

O175．29

A

1000－9965（2015）01－0081－08

10．11778／j．jdxb．2015．01．015

2014－09－21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11371042）；北京市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（1132006）

徐自立（1974－），博士研究生，副教授，研究方向：流體力學(xué)中的偏微分方程方面的研究，Mobile：13783443852，E-mail：xuzili102647＠sina．com