（江蘇省儀征市第二中學(xué)211400）

高中數(shù)列教學(xué)的數(shù)學(xué)思想

曹國弘（江蘇省儀征市第二中學(xué)211400）

當(dāng)前高中學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)敬而遠(yuǎn)之，教師仍舊采用傳統(tǒng)教學(xué)方法，在教學(xué)過程中未從學(xué)生角度考慮，時常一意孤行，按照自己的方式展開教學(xué)。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是重難點(diǎn)之一，學(xué)生在數(shù)列的學(xué)習(xí)中往往難以跟上教師的進(jìn)度，對一些數(shù)列問題理解不夠，久而久之便失去學(xué)習(xí)信心。教師在教學(xué)中應(yīng)該從數(shù)學(xué)思想的高度教導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生掌握正確的數(shù)學(xué)思想方法。

一、數(shù)列中的函數(shù)思想及其應(yīng)用

從函數(shù)定義來看，數(shù)列本身就是一種特殊的函數(shù)，因此解決數(shù)列問題其本質(zhì)就是利用相關(guān)的函數(shù)思想探究問題。函數(shù)講究的是整體思想，即從整體的角度看待問題，放開眼光，尤其是一些題意不明、難以直觀找到解題方法的難題，很多學(xué)生在解題中常常摸不著頭腦，不知從何下手。多數(shù)原因是學(xué)生過于注重某個細(xì)節(jié)，未從整體上看待問題，對很多公式的運(yùn)用缺乏靈活性。為了提高學(xué)生對數(shù)列知識的認(rèn)識，掌握整體看待問題的能力，我在此，利用相關(guān)數(shù)學(xué)函數(shù)思想進(jìn)行問題的解答。對于等差數(shù)列的求和公式Sn=na1+n（n-1）d／2=An2+ Bn，觀察該公式發(fā)現(xiàn)，其符合二次函數(shù)形式，因此，對等差數(shù)列的求和公式可利用二次函數(shù)思想進(jìn)行探究。例如，在某個等差數(shù)列數(shù)列中，其前n項之和為Sn=m，前m項之和為Sm=n（其中m和n不相等），在此條件上求前Sm＋n。該題中，根據(jù)求和公式可知Sm＋n=a1（m＋n）+（m＋n-1）（m＋n）d／2=（m＋n）（a1+（m＋n-1）d／2），從該公式中可以看出，欲知Sm＋n只需要求解a1+（m+n-1）d／2，根據(jù)題意通過Sn及Sm構(gòu)造出a1+（m＋n-1）d／2，并進(jìn)行計算。在此基礎(chǔ)上利用整體思想及函數(shù)思想，結(jié)合等差數(shù)列中前n項之和的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)公式可知其在圖像中必經(jīng)過（0,0）點(diǎn)，并以此為突破點(diǎn)可以找到幾種解題方法，如假設(shè)該數(shù)列的公差為d，由題意可列出

兩式相減可得出Sm-Sn=ma1+m（m-1）d／2-na1+n（n-1）d／2=（m－n）a1+（m＋n-1）（m＋n）d／2，由于m與n不等，因此（m－n）a1+（m＋n-1）（m＋n）d／2=-1，所以Sm＋n=a1（m＋n）+（m＋n-1）（m＋n）d／2=（m＋n）（a1+（m＋n-1）d／2）=-（m＋n）

二、遞推思想在高中數(shù)列中的應(yīng)用

遞推思想是數(shù)學(xué)中常用的思想方法之一，用于解答一些較為復(fù)雜的通項問題，遞推中包含兩種常用的數(shù)學(xué)方法，一種是累加法，另一種是累積法。

累加法，顧名思義，就是將是數(shù)列中的各項累計求和，并從中找到一些解決問題的突破口，簡化解題步驟。在數(shù)列中，如果該通項滿足an-an-1=f（n）（其中f（n）可以進(jìn)行裂項）時就能夠采用累加的方式進(jìn)行求解。例如，在一數(shù)列｛an｝中，首項a1=1，當(dāng)n大于等于2時，an=an-1+ 1／n（n+1），求該數(shù)列的通項公式。

該題中，當(dāng)n大于等于2時，an=an-1+1／n（n+ 1），由此可知an－an-1=1／n（n+1）=1／n-1／（n+1），利用累加思想求解可得出an=（an－an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）=（1／n-1／（n+1））+（1／（n-1）-1／n）+…+（1／3-1／4）+（1／2-1／3）+1=1／（n+1）+1／2=3／2-1／（n+1）

累積法與累加法思想類似，即當(dāng)an／an-1=g（n）具有某種關(guān)系時就能利用an=an／an-1＊an-1／an-2＊…a3／a2＊a2／a1＊a1來求出an。

三、方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

方程思想是數(shù)學(xué)中常用的解題思想，即利用方程組的形式求解未知量，數(shù)列中的幾個常用量為a1，n，d（q），an，Sn，在實(shí)際求解過程中可利用其中已知的三個量結(jié)合方程求解另外幾個未知量，在這里就可以利用方程思想進(jìn)行數(shù)列知識的求解。例如，在一等差數(shù)列｛an｝中，其公差為一正數(shù)，且a3＊a7=-12,a3+a7=a4+a6=-4,根據(jù)此條件求解該數(shù)列的前n項和。

在該題中由于存在如下關(guān)系：a3＊a7=-12, a3+a7=a4+a6=-4，因此可判斷出a3和a7是x2+4x-12=0的兩個解，由題意知公差d＞0，解此方程可得a3=-6，a7=2，將結(jié)果帶入題意中的兩個關(guān)系式

將得到的結(jié)果帶入等差數(shù)列前n項和公式可得Sn=-10n+n（n-1）。

四、歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法主要指通過個別數(shù)學(xué)案例歸納出通用性的結(jié)論，并通過相關(guān)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行證明。數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用一般步驟為觀察分析、歸納總結(jié)、假設(shè)猜想、證明結(jié)論。例如，在一數(shù)列｛an｝中，an＞0（n＞1），a0=1，an-1=an（4-an）／2，求證an＜an+1＜2。

在該題中，當(dāng)n=1時，a0=1，a1=a0（4-a0）=3／2，a0＜a1＜2，此時正確。

假設(shè)當(dāng)n=k時，ak-1＜ak＜2，當(dāng)n=k+1時，akak+1=ak-1（4-ak-1）／2-ak（4-ak）／2=2（ak-1-ak）-（ak-1-ak）（ak-1+ak）／2=（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）／2

又有ak-1-ak＜0,4-ak-1＞0,所以ak－ak-1＜0,

又ak+1=ak（4-ak）／2=［4-（ak-2）2］＜2

即n=k+1時命題正確，所以對一切n滿足題意條件是均存在an＜an+1＜2。

五、轉(zhuǎn)化思想在數(shù)列中的應(yīng)用

高中生在日常學(xué)習(xí)中遇到的數(shù)列問題比較抽象，在解決一些應(yīng)用題時中常會遇到瓶頸，難以找到突破口，此時可以嘗試采用轉(zhuǎn)化思想，將抽象的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，成為高中生容易理解的形式。然后再使用數(shù)列相關(guān)函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解。例如，某地區(qū)本月突發(fā)流感，本月1號感染人數(shù)為20人，在此基礎(chǔ)上以后每天的感染人數(shù)均增加50人，醫(yī)療機(jī)構(gòu)為控制感染人數(shù)，采取某項有效預(yù)防措施，從本月某天起日感染人數(shù)平均相比前一天下降了30人，截至本月30號（按30天計算），該地區(qū)總計感染人數(shù)為8670例，求該月份哪天感染流感人數(shù)最多，并求出該天具體感染人數(shù)。

通過分析題意可以看出，該題是等差數(shù)列相關(guān)知識的應(yīng)用，從題意中可以看出，本月1號到n號，每日流感感染人數(shù)可以構(gòu)成一項等差數(shù)列，從n+1天開始到該月最后一天，又可構(gòu)成公差不同的等差數(shù)列，假設(shè)第一個數(shù)列為｛an｝,第二個數(shù)列為｛bn｝，通過題意可知，a1=20，d1=50，b1=50n-60，d2=-30。bn=（50n-60）+（n-1）（-30）=20（30-n）-30=570-20n。所根據(jù)總感染人數(shù)可列出：（20+50n-30）n／2+［（50n-60）+（570-20n）］（30-n）／2=8670，通過計算可以得出一個二次函數(shù)n2-61n+588=0，求解該而從方程可以得出n1=12，n2=49，結(jié)合實(shí)際，該月只有30天，因此可解的該月12日感染者數(shù)量最多，人數(shù)為570人。在該題中可以看出，一些實(shí)際中比較復(fù)雜的問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列知識進(jìn)行解答，這不僅是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，還是數(shù)列知識的實(shí)際應(yīng)用，在解決問題的過程中，可以利用適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ约翱茖W(xué)的思想將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列來解決。

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)知識之一，很多數(shù)列題型比較抽象，學(xué)生理解起來具有一定難度，因此在教學(xué)過程中教師應(yīng)該讓學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)思想，利用通用的數(shù)學(xué)思想解決常見的問題，培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。

（責(zé)編 趙建榮）