□沈占立

用類比思維學(xué)習(xí)線段和角

□沈占立

傳說魯班的妻子看到一個小孩將一大片荷葉放在頭上避雨，便心生靈感，類比發(fā)明了斗笠和雨傘.同樣，線段和角也有很多類似的地方，同學(xué)們比對來學(xué)習(xí)，效果更好.

一、計數(shù)規(guī)律相同

1.線段的計數(shù)

線段的計數(shù)方法可采用“左端點(diǎn)順次數(shù)線段法”，即將每個點(diǎn)作為左端點(diǎn)，順次數(shù)出線段，再求和.如圖1，以A點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：AB、AC、AD；以B點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：BC、BD；以C點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：CD，共計線段的條數(shù)為3＋2＋1＝6.用此方法數(shù)不重不漏，是一種簡單、快捷的方法.

一般地，當(dāng)一條直線上有n個點(diǎn)或一條線段上有n個點(diǎn)（包括兩個端點(diǎn)）時，可確定的線段條數(shù)為

圖1

圖2

2.角的計數(shù)

角的計數(shù)方法與線段的計數(shù)方法極其類似，可先以某一射線為始邊，按一定的順序數(shù)出角的個數(shù)，然后依次以后面的射線為始邊數(shù)出角的個數(shù)，再求和.如圖2，按逆時針方向，以O(shè)A為始邊的角有∠AOB∠AOC、∠AOD；以O(shè)B為始邊的角有∠BOC、∠BOD；以O(shè)C為始邊的角有∠COD，角的個數(shù)共計為3＋2＋1＝6

一般地，從O點(diǎn)出發(fā)引出n條射線或一個角的內(nèi)部有n－2條射線時，可確定的角的個數(shù)為

二、中間部分類似

1.線段中點(diǎn)間的距離

如圖3，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，D、E分別為線段AP、BP的中點(diǎn). AB＝a，則有

證明：

圖3

圖4

2.角平分線間的夾角

如圖4，OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，OD、OE分別是∠AOC、∠COB的角平分線.則有

例1如圖5，P為線段AB上任意一點(diǎn)，D為線段AP上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，E為線段PB上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，AB＝15，求DE長.

圖5

分析：P是動點(diǎn)，所以不能分別求出DP、EP的值，需將DE轉(zhuǎn)化成與已知線段AB相關(guān)聯(lián)的量.DE＝點(diǎn)評：本題中線段的有關(guān)計算體現(xiàn)了整體的數(shù)學(xué)思想，這種思想在線段和角的計算中要經(jīng)常用到，同學(xué)們要切實掌握.

例2從∠AOB的頂點(diǎn)O處引一條射線OC，OE、OF分別為∠AOC、∠COB的角平分線，∠AOB＝90°.

（1）如圖6，射線OC在∠AOB內(nèi)部時，求∠EOF的度數(shù)；

（2）射線OC在∠AOB外部時，如圖7，求∠EOF的度數(shù).

圖6

圖7

分析：將∠EOF分割成∠EOC和∠FOC，再利用角平分線定義將它們與∠AOC、∠BOC聯(lián)系起來.

點(diǎn)評：本題中利用拆分、整合的思想是關(guān)鍵，先化整為零，再化零為整，目標(biāo)明確向已知條件靠攏.