葉廣新

2015年高考理綜全國卷1第35題，是有關(guān)3個(gè)物體相繼碰撞的物理部分壓軸題，它涉及中學(xué)物理主干知識“動量守恒”、“機(jī)械能守恒”，且需要運(yùn)用不等式、判別式、二次函數(shù)及其圖象等數(shù)學(xué)知識求解，是注重物理情景巧用物理規(guī)律妙用數(shù)學(xué)方法去解決實(shí)際問題的好題，既體現(xiàn)新課標(biāo)思想、又錘煉物理思維，是一道數(shù)理結(jié)合且具有較高選拔功能的創(chuàng)新題.若對原題稍稍進(jìn)行拓展，則會出現(xiàn)更上一層樓的景象.

原題（2015全國卷1）如圖1，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間.A的質(zhì)量為m，B、C的質(zhì)量都為M，三者均處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)使A以某一速度向右運(yùn)動，求m和M之間應(yīng)滿足什么條件，才能使A只與B、C各發(fā)生一次碰撞.設(shè)物體間的碰撞都是彈性的.

拓展題如圖1，在足夠長的光滑水平面上，物體A、B、C位于同一直線上，A位于B、C之間.A的質(zhì)量為m，B、C的質(zhì)量都為M，三者均處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)使A以某一速度向右運(yùn)動，求A與B、C發(fā)生碰撞的可能次數(shù)，并求出相應(yīng)碰撞中m和M之間所滿足的條件.設(shè)物體間的碰撞都是彈性的.

分析與解A向右運(yùn)動與C發(fā)生第一次碰撞，碰撞過程中，系統(tǒng)的動量守恒、機(jī)械能守恒.設(shè)速度方向向右為正，開始時(shí)A的速度為v0，第一次碰撞后C的速度為vC1，A的速度為vA1.由動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得：

mv0=mvA1+MvC1 ①

12mv20=12mv2A1+12Mv2C1 ②

聯(lián)立①、②得：

vA1=m-Mm+Mv0③

vC1=2mm+Mv0 ④

由③式可知，若m>M，則第一次碰撞后，vA1為正值，表示A與C速度同向（向右），再將vA1的值與vC1相比較，易判斷A的速度小于C的速度，故A不可能與B發(fā)生碰撞；若m=M，則有vA1=0，vC1=v0，表示A與C第一次碰撞后A停止，C以A碰前的速度向右運(yùn)動，同樣A不可能與B發(fā)生碰撞.

結(jié)論一當(dāng)m≥M時(shí)，A與C碰撞1次，A與B碰撞零次.

當(dāng)m

vA2=m-Mm+MvA1=（m-Mm+M）2v0 ⑤

vB1=2mm+MvA1=2mm+M·m-Mm+Mv0 ⑥

當(dāng)vA2≤vC1時(shí)，A趕不上C，A與C不可能發(fā)生第二次碰撞，即：

（m-Mm+M）2v0≤2mm+Mv0

整理得：m2+4Mm-M2≥0

解得：（5-2）M≤m （質(zhì)量不可能為負(fù)值，所以另一解已舍去）

結(jié)合上述A與B碰撞的必要條件m

（5-2）M≤m

結(jié)論二當(dāng)（5-2）M≤m

要使A與C發(fā)生第二次碰撞，則必須滿足vA2>vC1，即：

（m-Mm+M）2v0>2mm+Mv0

整理得： m2+4Mm-M2<0

解得：-（5-2）M

考慮到質(zhì)量不可能為負(fù)值，故將⑦式修改為：

0

（這是A與C發(fā)生第二次碰撞的條件） A與C發(fā)生第二次碰撞后，設(shè)A的速度為vA3，C的速度為vC2，則有：

vA3=m-Mm+MvA2=（m-Mm+M）3v0

vC2=2mm+MvA2=2mm+M（m-Mm+M）2v0

要使A與B發(fā)生第二次碰撞，必須滿足vA3>vB1，即：

（m-Mm+M）3v0>2mm+M·m-Mm+Mv0

整理得： m2+4Mm-M2>0，解得：m>（5-2）M ⑨

（另一解為負(fù)值不合題意，已舍去）

只有滿足A與C第二次碰撞之后，才可能發(fā)生A與B的第二次碰撞.⑨式表示A與B發(fā)生第二次碰撞的條件，但這一條件跟⑧式（A與C發(fā)生第二次碰撞的條件）相矛盾，說明A與B不可能發(fā)生第二次碰撞.

結(jié)論三當(dāng)0

（收稿日期：2015-06-20）