阮長(zhǎng)久

電磁感應(yīng)是中學(xué)物理的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，不少問(wèn)題涉及到力和運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量和能量、電路和安培力等多方面的知識(shí)，綜合性強(qiáng)，也是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，往往是以“壓軸題”形式出現(xiàn).學(xué)生覺(jué)得電磁感應(yīng)問(wèn)題比較多且復(fù)雜，對(duì)解決這種問(wèn)題沒(méi)有形成自己的核心競(jìng)爭(zhēng)力，得分很不理想，要提高學(xué)生的電磁感應(yīng)題目的得分，對(duì)電磁感應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行歸類就很重要，本篇文章就對(duì)輻射狀磁場(chǎng)的電磁感應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行歸納分析，希望通過(guò)這種做法，能對(duì)學(xué)生解決這類問(wèn)題有幫助.

1.線圈與磁場(chǎng)平行

磁感線分布：磁感線呈輻射狀，線圈平面與磁場(chǎng)平行，且線圈所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等.

命題特點(diǎn) 將法拉第電磁感應(yīng)定律與物體平衡條件、能量守恒定律相聯(lián)系.

例題1 如圖1所示，一個(gè)很長(zhǎng)的豎直放置的圓柱形磁鐵，產(chǎn)生一個(gè)中心輻射的磁場(chǎng)（磁場(chǎng)水平向外），其大小為B=K/r（其中r為輻

圖1

射半徑），設(shè)一個(gè)與磁鐵同軸的圓形鋁環(huán)，半徑為R（大于圓柱形磁鐵的半徑），而彎成鋁環(huán)的鋁絲其橫截面積為S，圓環(huán)通過(guò)磁場(chǎng)由靜止開(kāi)始下落，下落過(guò)程中圓環(huán)平面始終水平，已知鋁絲電阻率為ρ，密度為ρ0，試求：

（1）圓環(huán)下落的速度為v時(shí)的電功率；

（2）圓環(huán)下落的最終速度；

（3）當(dāng)下落高度h時(shí)速度最大，從開(kāi)始下落到此時(shí)圓環(huán)消耗的電能.

分析 存在困難：在計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)，學(xué)生往往以為因線圈平面與磁場(chǎng)平行，故穿過(guò)線圈的磁通量始終為零，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零，從而難以找到解題的突破口.

突破方法 運(yùn)用等效方法，將圓形線圈等效為長(zhǎng)為2πr的直導(dǎo)線在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場(chǎng)中做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，則由E=Blv可求得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；另外也可以用E=ΔΦ/Δt進(jìn)行求解，此時(shí)需將ΔΦ理解為線圈在Δt時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積ΔS與B的乘積，即ΔΦ=2πBrvΔt，則可解得E=ΔΦ/Δt=2πBrv

求解過(guò)程： （1）由題意知圓環(huán)所在處在磁感應(yīng)強(qiáng)度B= k R

圓環(huán)的有效切割長(zhǎng)度為其周長(zhǎng)即l=2πR

圓環(huán)的電阻R電=ρ l S =ρ 2πR S

當(dāng)環(huán)速度為v時(shí)，切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E=Blv=2kπv

電流I= E R電 = kvS ρR

故圓環(huán)速度為v時(shí)電功率P=I2R

聯(lián)立以上各式解得P= 2πk2v2S ρR

（2）當(dāng)圓環(huán)加速度為零時(shí)，有最大速度vm

此時(shí)F安=BIl= 2πk2vmS ρR

由平衡條件mg=F安，又m=ρ0S×2πR

聯(lián)立解得vm= ρρ0R2g k2

（3）由能量守恒定律mgh= 1 2 mv2m+Q，解得Q=mgh- k R mv2m=2πρ0RS·[gh- 1 2 （ ρρ0R2 k2 ）2]

2.線圈與磁場(chǎng)垂直

磁感線分布：磁感線呈輻射狀，線圈平面與磁場(chǎng)垂直，且線圈中與磁場(chǎng)垂直的兩條邊所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等.

命題特點(diǎn)：將法拉第電磁感應(yīng)定律與物體平衡條件、能量守恒定律相聯(lián)系.

例題2 某同學(xué)設(shè)計(jì)了一種自行車，它能自行發(fā)電供夜晚騎自行車時(shí)照明.自行車車頭燈供電的小型發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖如2甲圖所示.矩形線圈abcd固定在圓柱形鐵芯上，過(guò)ad、bc邊中點(diǎn)，平行于ab、cd的軸oo′固定在鐵芯上，軸的另一端有一半徑為r0摩擦小輪，小輪與自行車車輪的邊緣接觸，當(dāng)車輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，因摩擦而帶動(dòng)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)，從而使線框在磁極間轉(zhuǎn)動(dòng)，如2乙圖所示.在磁極與圓柱狀鐵芯之間形成輻射狀的磁場(chǎng)，ab、cd經(jīng)過(guò)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B，方向始終與兩條邊的運(yùn)動(dòng)方向垂直，俯視圖如2丙圖所示.設(shè)線圈的匝數(shù)為N，ab=L1，bc=L2，自行車前后輪的半徑為R1，大齒輪的齒數(shù)為n1，小齒輪的齒數(shù)為n2.車頭燈的電阻為R，線圈總電阻為r.該同學(xué)以每秒n轉(zhuǎn)的速度踏動(dòng)自行車腳踏板，自行車從靜止開(kāi)始經(jīng)很短的時(shí)間后就能達(dá)到穩(wěn)定速度.自行車與地面，摩擦小輪與后輪之間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng).該同學(xué)的質(zhì)量為m，自行車連同發(fā)電裝置的質(zhì)量為M，設(shè)騎自行車時(shí)所受空氣阻力和地面的阻力的總和f與人車總重力成正比，比例系數(shù)為k.不計(jì)線圈、圓柱形鐵芯、摩擦小輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和所有轉(zhuǎn)軸處摩擦消耗的能量.

（1） 求穩(wěn)定后，摩擦小輪的角速度ω0和車燈回路的電動(dòng)勢(shì)E

（2） 若線圈逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（俯視），畫出（從圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)）流過(guò)車燈的電流隨時(shí)間變化的圖像，規(guī)定a→b→c→d→R→a為電流的正方向，（注意：要有必要的文字和公式說(shuō)明）

（3） 經(jīng)足夠長(zhǎng)時(shí)間T，發(fā)現(xiàn)騎行的路程為S，人在時(shí)間T內(nèi)消耗的體能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能部分的能量如何分配，各項(xiàng)分別是多少？

圖2

分析 存在問(wèn)題：在計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)時(shí)，學(xué)生因沒(méi)有準(zhǔn)確理解法拉第電磁感應(yīng)定律E=ΔΦ/Δt，認(rèn)為此題中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是變化的，故因該同時(shí)存在動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì).在求解過(guò)程中，由于字母很多，學(xué)生一不小心就把符號(hào)帶錯(cuò).

突破方法 首先要準(zhǔn)確理解法拉第電磁感應(yīng)定律E=ΔΦ/Δt，說(shuō)明只有某地的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化時(shí)，才有感生電動(dòng)勢(shì)，在具體求解時(shí)，可以從兩個(gè)角度進(jìn)行分析，一是從切割角度進(jìn)行，這個(gè)線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于左、右兩邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之和，上下兩邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相互抵消；二是從法拉第感應(yīng)定律E=ΔΦ/Δt角度進(jìn)行，此時(shí)需要微元方法，求出在時(shí)間微元Δt的磁通量變化量ΔΦ=NBL2vΔt+NBL2vΔt=2NBL2vΔt，再運(yùn)用E=ΔΦ/Δt可解得E=2NBL2v.

圖3

求解過(guò)程： （1）設(shè)大齒輪、小齒輪的角速度分別為ω1、ω2，大齒輪、小齒輪的半徑分別為r1、r2，由角速度公式ω=v/r得而ω1=2πn.

小齒輪與后輪角速度相同，后輪與摩擦小輪的線速度相同，小齒輪和摩擦小輪的角速度與半徑成反比，即

解得線圈的電動(dòng)勢(shì)E= ，

因此E=

（2）電流大小為電流周期

線圈轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的感應(yīng)電流隨時(shí)間的變化圖形如圖3所示

（3）根據(jù)能量情景分布圖可知，人在時(shí)間T內(nèi)消耗的體能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能部分的能量是三部分，一部分是人車的動(dòng)能增加，一部分能量是用來(lái)克服車所受空氣阻力和地面的阻力所做的功，還有一部分能量是各個(gè)電阻產(chǎn)生電熱的.車到達(dá)穩(wěn)定是車速，人車動(dòng)能增加為

用來(lái)克服車所受空氣阻力和地面的阻力所做的功為產(chǎn)生的總電熱為

3.在由線圈與輻射狀磁場(chǎng)相疊加的磁場(chǎng)中的電磁感應(yīng)現(xiàn)象

磁感線分布：磁感線的分布呈曲線狀，明確磁感應(yīng)強(qiáng)調(diào)在x、y方向上的變化規(guī)律，其中一個(gè)方向上的分量隨位移按線性變化，另一個(gè)方向上的分量按類似于的規(guī)律變化.

命題特點(diǎn)：根據(jù)題目所給信息，與物體的平衡條件相結(jié)合.

例題3 如圖，超導(dǎo)圓環(huán)置于永磁體上方，永磁體產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量對(duì)Z軸呈對(duì)稱分布，在任意包含Z軸的平面內(nèi)（Zp平面）有平行于Z軸的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量Bz和平行于p軸的分量Bp，無(wú)垂直于Z 平面的分量，B= B2p+B2z ，設(shè)Z=0平面 （永磁體的上表面）上方，BZ（p，Z）= α 1+z ， Bp（p，Z）=βp，（α，β>0，p= X2+Y2 ）

（1）半徑為b的超導(dǎo)圓環(huán)軸線與Z軸保持重合，在外力支持下靜止在Z=ZO處，t=0時(shí)超導(dǎo)圓環(huán)無(wú)電流流過(guò)，求此時(shí)超導(dǎo)圓環(huán)包圍磁通量φO.

（2）t>0時(shí)，超導(dǎo)圓環(huán)在外力支持下緩緩下移，求圓環(huán)下落到Z處時(shí)的超導(dǎo)電流強(qiáng)度IS（已知超導(dǎo)狀態(tài)下圓環(huán)包圍的磁通量守恒，超導(dǎo)電流IS在超導(dǎo)圓環(huán)中產(chǎn)生的磁通量ΦS=LIS，L是常數(shù)）.

（3）求超導(dǎo)圓環(huán)在磁場(chǎng)中下落到Z處受到的磁懸浮力F（Z）.

（4）為了使超導(dǎo)圓環(huán)懸浮在Z>0處，求超導(dǎo)圓環(huán)質(zhì)量m的最大允許值.

解析 這是一道信息題，它以復(fù)雜的磁場(chǎng)分布及超導(dǎo)性質(zhì)為載體，考察學(xué)生對(duì)信息的提取能力和分析能力，解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是：能通過(guò)題目中過(guò)給的“超導(dǎo)狀態(tài)下圓環(huán)包圍的磁通量守恒”，提取出ΦO=Φ（ZO）+ΦS，這一信息，從而求出感應(yīng)電流I.

求解過(guò)程： （1）據(jù)題意，Z=ZO處，BZO（p，Z）= α 1+ZO ， S=πb2

所以ΦO=BZO， πb2= παb2 1+ZO

（2）題目給出的“超導(dǎo)狀態(tài)下圓環(huán)包圍的磁通量守恒”為破題關(guān)鍵，結(jié)合“超導(dǎo)電流IS在超導(dǎo)圓環(huán)中產(chǎn)生的磁通量ΦS=LIS”的條件

可知ΦO=Φ（ZO）+ΦS， 即 παb2 1+ZO = παb2 1+Z +LIS

IS=- παb2（ZO-Z） （1+Z）（1+ZO）L ，沿Z正方向看電流為逆時(shí)針

（3）超導(dǎo)圓環(huán)在磁場(chǎng)中下落到Z處受到的磁懸浮力F（Z）就是超導(dǎo)圓環(huán)受到的安培力F（Z）=ISβPI=Bb I=2πb

所以I（Z）= 2π2αβb4（ZO-Z） （1+Z）（1+ZO）L

（4）超導(dǎo)圓環(huán)懸浮，即重力與磁懸浮力F平衡，

最大超導(dǎo)圓環(huán)質(zhì)量m，即當(dāng)Z→0時(shí)

mg= 2π2αβb4ZO （1+ZO）L ， 即 m= 2π2αβb4ZO （1+ZO）Lg