李國(guó)安，　李建峰

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波315211)

二元Kundu-Gupta型二點(diǎn)分布參數(shù)的最大似然估計(jì)

李國(guó)安，李建峰

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波315211)

[摘要]討論二元Kundu-Gupta型二點(diǎn)分布的識(shí)別性及參數(shù)估計(jì)，已知可識(shí)最小值的分布時(shí)，則參數(shù)可識(shí)別；由此得到了參數(shù)的最大似然估計(jì)；其中二個(gè)參數(shù)的估計(jì)量是無(wú)偏的，另外一個(gè)參數(shù)的估計(jì)量的期望不存在；模擬結(jié)果顯示：估計(jì)值均穩(wěn)定于真值參數(shù).

[關(guān)鍵詞]二元Kundu-Gupta型二點(diǎn)分布； 識(shí)別性； 最大似然估計(jì)； 無(wú)偏的； 模擬

1引言

眾所周知，二點(diǎn)分布是一個(gè)收益分布，二元二點(diǎn)分布是一個(gè)最為基本的組合收益分布.我們?cè)跐M意度市場(chǎng)調(diào)查研究中，獲得了一個(gè)二元二點(diǎn)分布，從文獻(xiàn)檢索中，發(fā)現(xiàn)也有二元二點(diǎn)分布的相關(guān)文獻(xiàn)[1-3]，其中文獻(xiàn)[1]研究的，是一個(gè)具自然形式的二元二點(diǎn)分布，在本文中，意圖引入文[1]研究的具自然形式的二元二點(diǎn)分布的特殊情形，依文[4]構(gòu)造二元分布的思路，引入了一個(gè)二元Kundu-Gupta型二點(diǎn)分布，然后采用先參數(shù)識(shí)別后參數(shù)估計(jì)的方式，討論了二元Kundu-Gupta型二點(diǎn)分布的識(shí)別性及參數(shù)估計(jì).可以這么說(shuō)：二元二點(diǎn)分布是所有二元分布中最為簡(jiǎn)單的分布，從教學(xué)角度來(lái)看，它是講授二元分布之分布函數(shù)、特征函數(shù)、數(shù)字特征、乃至參數(shù)估計(jì)的一種最簡(jiǎn)單載體；從科研角度來(lái)看，參數(shù)估計(jì)是求解模型的核心問(wèn)題之一，而二點(diǎn)分布對(duì)應(yīng)的模型是績(jī)效模型，即業(yè)績(jī)是否達(dá)到預(yù)期之評(píng)價(jià)模型.對(duì)于二元及多元分布參數(shù)的估計(jì)，類似文獻(xiàn)[5-18]，在已知二元及多元正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)的情形下，還在研究二元及多元正態(tài)分布參數(shù)的識(shí)別性，因?yàn)榉植紖?shù)的識(shí)別性說(shuō)明分布參數(shù)的可估計(jì)性，因此，正常次序是研究分布參數(shù)識(shí)別性在先，研究分布參數(shù)估計(jì)在后.本文采用從參數(shù)的識(shí)別性進(jìn)而求參數(shù)的最大似然估計(jì)路徑，討論這個(gè)二元二點(diǎn)分布的識(shí)別性及參數(shù)估計(jì).在第一節(jié)，討論了二元二點(diǎn)分布的識(shí)別性；在第二節(jié)，討論了二元二點(diǎn)分布的參數(shù)估計(jì).

2二元Kundu-Gupta型二點(diǎn)分布的識(shí)別性

二元Kundu-Gupta型二點(diǎn)分布定義如下：

定義1稱(X,Y)服從二元一般型二點(diǎn)分布，是指存在三個(gè)相互獨(dú)立的三個(gè)隨機(jī)變量U1，U2，U3，其中

U1～B(1,p1)，U2～B(1,p2)，U3～B(1,p3)；

使得

X=max(U1,U3)，Y=max(U2,U3)，0≤p1≤1，0≤p2≤1，0≤p3≤1，

記作

(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3).

記U=max(X,Y)，定義I=1,2,3分別對(duì)應(yīng)于X>Y,Y>X,X=Y時(shí)，

引理1若(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)，則U的分布律為

U~B(1,1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)).

證P(U=0) =P(X=0,Y=0)=P(max(U1,U3)=0,max(U2,U3)=0)

=P(U1=0,U2=0,U3=0)=(1-p1)(1-p2)(1-p3).

引理2若(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)，則(U,I)的聯(lián)合分布律為

證P(U=0,I=3) =P(X=0,Y=0)=P(max(U1,U3)=0,max(U2,U3)=0)

=P(U1=0,U2=0,U3=0)=(1-p1)(1-p2)(1-p3)；

同理

P(U=1,I=1) =P(X=1,Y=0)=P(max(U1,U3)=1,max(U2,U3)=0)

=P(U1=1,U2=0,U3=0)=p1(1-p2)(1-p3)，

P(U=1,I=2)=P(X=0,Y=1)=P(max(U1,U3)=0,max(U2,U3)=1)

=P(U1=0,U2=1,U3=0)=p2(1-p1)(1-p3)，

P(U=1,I=3)=P(X=1,Y=1)=P(max(U1,U3)=1,max(U2,U3)=1)

=P(U3=1)+P(U1=1,U2=1,U3=0)=p3+p1p2(1-p3).

定理1設(shè)

(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)，(X′,Y′)~BBDG(1,p′1,p′2,p′3)，

若已知U與U′同分布，則所有參數(shù)皆不可識(shí)別.

證由(1-p1)(1-p2)(1-p3)=(1-p′1)(1-p′2)(1-p′3)，得所有參數(shù)皆不可識(shí)別.

定理2設(shè)

(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)，(X′,Y′)~BBDG(1,p′1,p′2,p′3)，

若已知(U,I)與(U′,I′)同分布，則所有參數(shù)皆可識(shí)別.

3二元Kundu-Gupta型二點(diǎn)分布的參數(shù)估計(jì)

這里，從定理2出發(fā)，直接獲得了所有參數(shù)的最大似然估計(jì).

定理3設(shè)(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)是總體，(X1,Y1),…,(Xn,Yn)是來(lái)自總體(X,Y)的容量為n的樣本，記U=max(X,Y)，定義隨機(jī)變量I=1,2,3分別對(duì)應(yīng)于X>Y,Y>X,X=Y時(shí)；記Ui=max(Xi,Yi)，定義隨機(jī)變量Ii=1,2,3分別對(duì)應(yīng)于Xi>Yi,Yi>Xi,Xi=Yi時(shí)，i=1,…,n，若(U,I)具有以下的聯(lián)合分布

(U1,I1),…,(Un,In)是來(lái)自總體(U,I)的容量為n的樣本，則參數(shù)p1，p2，p3的最大似然估計(jì)分別為

這里

證似然函數(shù)為

并有似然方程

得

得

即有

代入

得

定義2稱(U,V)服從二元多項(xiàng)分布，是指它有如下的分布律

其中0

定義3稱(U,V,W)服從三元多項(xiàng)分布，是指它有如下的分布律

k=0,…,n-i-j，j=0,…,n-i，i=0,1,…,n，其中0

記作(U,V,W)~TBD(n,p1,p2,p3).

性質(zhì)1若(U,V)~BBD(n,p1,p2)，則U~B(n,p1)，V~B(n,p2).

性質(zhì)2若(U,V,W)~TBD(n,p1,p2,p3)，則

(U,V)~BBD(n,p1,p2)， (U,W)~BBD(n,p1,p3)，

(V,W)~BBD(n,p2,p3)， U~B(n,p1)，V~B(n,p2)，

W~B(n,p3).

性質(zhì)4若(U,V,W)~TBD(n,p1,p2,p3)，則

不存在.

證因?yàn)閃=0，U≠0，或V≠0時(shí)，出現(xiàn)∞項(xiàng)，不存在.

引理3若(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)，則

證由性質(zhì)3

類似可得

證由性質(zhì)4可得.

模擬分析

分別選取三組參數(shù)進(jìn)行模擬，第一組：p1=0.7,p2=0.2,p3=0.1；第二組：p1=0.3，p2=0.9，p3=0.5；第三組：p1=0.4，p2=0.6，p3=0.8；都得到了估計(jì)值穩(wěn)定于真值參數(shù)的結(jié)果，其中第一組參數(shù)所得的模擬結(jié)果如下：

表1　由來(lái)自二元隨機(jī)變量(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)之隨機(jī)數(shù)的模擬結(jié)果

實(shí)例分析

4結(jié)論

僅是Z的分布已知時(shí)，所有參數(shù)皆不可識(shí)別，當(dāng)(Z,I)的分布已知時(shí)，所有參數(shù)皆可識(shí)別，即所有參數(shù)皆可估計(jì)，由此得到了參數(shù)的最大似然估計(jì)，其中二個(gè)參數(shù)的估計(jì)量是無(wú)偏的，另外一個(gè)參數(shù)的估計(jì)量的期望不存在.模擬結(jié)果顯示：估計(jì)值均穩(wěn)定于參數(shù)真值.

[參考文獻(xiàn)]

[1]Marshall A W,Olkin I.A Family of Bivariate Distributions Generated by the Bivariate Bernoulli Distribution[J].J.Amer. Statist.Assoc.,1985,80(390)：332-338.

[2]Oluyede B O.A family of bivariate binomial distributions generated by extreme bernoulli distributions[J].Communica- tions in Statistics - Theory and Methods,1994,23(5)：1531-1547.

[3]Islam M A,Alzaid A A Chowdhury R I,Sultan K S.A generalized bivariate Bernoulli model with covariate dependence[J]. Journal of Applied Statistics,2013,40(5)：1064-1075.

[4]Kundu D,Gupta R D.Bivariate generalized exponential distributions[J].Journal of Multivariate Analysis,2009,100：581-593.

[5]Basu A P,Ghosh J K.Identifiability of the multinorma and other distributions under competing risks model[J].Journal of Multivariate Analysis,1978,8(3)：413-429.

[6]Hamdan M A,Nasro M O. Maximum likelihood estimation of the parameters of the bivariate binomial distribution[J].Comm. Statist. A—Theory Methods,1986,15: 747-754.

[7]Kocherlakota S.A note on the bivariate binomial distribution[J].Statist. Probab. Lett,1989, 8: 21-24.

[8]Ong S H.The computer generation of bivariate binomial variables with given marginals and correlation[J].Comm.Statist. B—Simulation Comput,1992,21: 285-299.

[9]Biswas A,Hwang J-S.A new bivariate binomial distribution[J].Statistics & Probability Letters,2002,60: 231-240.

[10]Gilliland D C,Hannan J.Identification of the Ordered Bivariate Normal Distribution by Minimum Variate[J].J. Am. Stat. Assoc. 1980,75:651-654.

[11]Mukherjea A,Stephens R.The problem of identification of parameters by the distribution of the maximum random: Solution for the trivariate normal case[J].Journal of Multivariate Analysis,1990,34(1)：95-115.

[12]Mukherjea A,Stephens R.Identification of parameters by the distribution of the maximum random variable: The general multivariate normal case [J].Probability Theory and Related Fields,1990,34(1)：289-296.

[13]Gong J,Mukherjea A.Solution of a problem on the identification of parameters by the distribution of the maximum random variable: a multivariate normal case[J].J. Theor. Probab.,1991,4(4)：783-790.

[14]Mukherjea A, Stephens R.Identification of the parameters of a trivariate normal vector by the distribution of the minimum[J].Journal of Statistical Planning and Inference,1999,78(1)：23-37.

[15]Dai M,Mukherjea A.Identification of the parameters of a multivariate normal vector by the distribution of the maximum [J].J. Theor. Probab.,2001,14：267-298.

[16]Davis J,Mukherjea A.Identification of parameters by the distribution of the minimum: The tri-variate normal case with negative correlations[J].Journal of Multivariate Analysis,2007,98(6)：1141-1159.

[17]Bi L,Mukherjea A.Identification of parameters and the distribution of the minimum of the tri-variate normal[J].Statistics & Probability Letters,2010,80(23)：1819-1826.

[18]Mukherjea A,Elnaggar M.Solution of the problem of the identified minimum for the tri-variate normal[J].Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.),2012,4(122)：645-660.

Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of Kundu-Gupta Bivariate Bernoulli Distributions

LIGuo-an，LIJian-feng

(Department of Mathematics, Ningbo University, Ningbo 315211，China)

Abstract:Maximum likelihood estimation of the parameters of Kundu-Gupta bivariate bernoulli distributions is considered in this paper, using a way of parameters identifiability to parameter estimation, this paper shows: if two random variable have a Kundu~Gupta’s type bivariate binomial distribution, when the distribution of identified minimum is known, then all of parameters are identified; hence, the maximum likelihood estimator of all of parameters are derived.Two of them are unbiased, the mathematical expectation of another one is not exist. Monte Carlo simulations are also performed to verify the maximum likelihood estimator of all of parameters are stable to truth-value respectively.

Key words:a Kundu-Gupta’s type bivariate bernoulli distribution; identifiability; maximum likelihood estimator; unbiased; simulations

[中圖分類號(hào)]O212.4

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0113-07