高考改革與數(shù)學(xué)高效復(fù)習(xí)策略

苗金利

(北京市第四中學(xué)，北京100088)

黨的十八大以來，新一輪的高考改革正在逐步落實(shí)，繼《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的頒布之后，高中新的課程標(biāo)準(zhǔn)制定即將完成，高考制度的改革逐步深入，2014年底以來教育部出臺(tái)了系列高考及高校招生(含各高校自主招生方法)改革指導(dǎo)文件，包括今年將增加3個(gè)省份在高考中使用國家統(tǒng)一試卷,明年再擴(kuò)大7個(gè)省份．屆時(shí)，將有25個(gè)省份在高考中使用由國家考試中心統(tǒng)一命題制作的試卷．

最近頒布的2015年全國統(tǒng)一高考《數(shù)學(xué)考試大綱》，規(guī)定數(shù)學(xué)學(xué)科高考考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及分析問題和解決問題的能力．重視知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程考查，強(qiáng)化運(yùn)算過程、運(yùn)算結(jié)果的重要性，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的考查．考查要求數(shù)學(xué)學(xué)科要注重基本的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能的考查； 突出主干知識(shí)，考查基本的數(shù)學(xué)思想、方法，強(qiáng)調(diào)通性通法，淡化特殊技巧；注意數(shù)學(xué)應(yīng)用，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法，結(jié)合數(shù)據(jù)分析、圖像解析等內(nèi)容，解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決生產(chǎn)生活中的數(shù)學(xué)問題．

高考《數(shù)學(xué)考試大綱》確立，數(shù)學(xué)試卷由容易題、中等難度題和難題組成．結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》，從高考題目的簡單容易題、中檔綜合題、高難“數(shù)學(xué)”題所占比例是3∶5∶2．從中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、能力、操作來講基礎(chǔ)性、綜合性和抽象拓展性在試卷中所占比例也是3∶5∶2．

作為高考指導(dǎo)教師要注重教育培養(yǎng)學(xué)生能以平和的心態(tài)參加考試，不要把高考數(shù)學(xué)妖魔化．同時(shí)，考試中合理支配考試時(shí)間，以實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，體現(xiàn)鍥而不舍的精神．教學(xué)中要講“數(shù)學(xué)”：提煉數(shù)學(xué)最本質(zhì)的精髓，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，答題目標(biāo)是：3分基礎(chǔ)，一分不丟；重“認(rèn)知”：經(jīng)典問題洞察題眼，分析解法，熟練掌握知識(shí)內(nèi)容，答題目標(biāo)是：5分綜合，分分必得；求“發(fā)展”：例題習(xí)題后面要舉一反三，拓展反思，靈活應(yīng)對各類型知識(shí)和題目的考查，答題目標(biāo)是：2分拓展，分步得分，力爭全拿．

針對高考改革和高考數(shù)學(xué)試題新的特點(diǎn)，高三指導(dǎo)教師對2015年高考數(shù)學(xué)試卷的結(jié)構(gòu)、考試的內(nèi)容及要求等方面也應(yīng)有宏觀的認(rèn)識(shí)，同時(shí)在高三后期復(fù)習(xí)中要特別關(guān)注以下幾個(gè)方面：

1.高考的指導(dǎo)思想和目標(biāo)

注重考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本操作、基本思想方法．重視考生的“終身學(xué)習(xí)和發(fā)展”，即考查學(xué)生在中學(xué)所受到的數(shù)學(xué)教育，考查學(xué)生在大學(xué)需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力．試卷力爭成為學(xué)生能夠展示自己風(fēng)采的舞臺(tái)．

2.試題“穩(wěn)中有新”，凸顯課程改革理念的精髓

2015年高考數(shù)學(xué)試題，會(huì)在過去兩年數(shù)學(xué)試題改革的基礎(chǔ)上，在很大程度繼續(xù)讓我們感受到課程改革的氣息，新課程的理念和評價(jià)思路滲透在試題中，考查目標(biāo)更是與新課程的教學(xué)要求有比較緊密的體現(xiàn)，能夠讓人明顯感覺到高考與課標(biāo)要求之間的對接與配合，試題體現(xiàn)出穩(wěn)定之中有新意、有亮點(diǎn)、有變化的共同特點(diǎn)．

在知識(shí)與能力、過程與方法及情感態(tài)度價(jià)值觀等不同維度的考查上，全國各命題單位組都在尋求新思路、新視角以及新的呈現(xiàn)形式方面下功夫．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科的試題均會(huì)有“新味”．

在平時(shí)備考過程中應(yīng)多聯(lián)系生活、聯(lián)系生產(chǎn)、聯(lián)系科技，聯(lián)系社會(huì)，體現(xiàn)“學(xué)以致用”的新課程價(jià)值觀．

例1(2014北京理8)學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀” “合格”“不合格”．若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”．如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有()．

A．2人B．3人C．4人D．5人

解：法一：邏輯映射

甲乙丙012

兩兩相交(不能有平行，否則出現(xiàn)“高于”)

唯一連法，再多時(shí)，無法連接．

故選B．

法二：數(shù)獨(dú)

甲乙丙數(shù)優(yōu)合不語不合優(yōu)

例2(2014全國Ⅰ卷理14)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個(gè)城市．

由此可判斷乙去過的城市為().

解：A

甲乙丙A√√√B×C√×

①若a>0,b>0，則ln+(ab)=bln+a；

②若a>0,b>0，則ln+(ab)=ln+a+ln+b；

④若a>0,b>0，則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2．

其中的真命題有__________.(寫出所有真命題的編號(hào))

解析：

①若a>0,b>0，則ln+(ab)=bln+a；

當(dāng)a≥1,b>0,ab≥1?ln+ab=lnab=blna=bln+a；

當(dāng)00,0

所以①正確．

②若a>0,b>0，則ln+(ab)=ln+a+ln+b．

由于?ab<1,a>1,0

所以②錯(cuò)誤．

同理可以判定③④正確．

答案①③④．

3.基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本操作、基本思想方法的運(yùn)用仍為2015年高考考查的立足點(diǎn)

數(shù)學(xué)試題整體上從選材、設(shè)問到答案，既具有人文性、教育性、開放性的一面，同時(shí)又十分關(guān)注學(xué)科素養(yǎng)的考查．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算水平與數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用水平是數(shù)學(xué)學(xué)科的主要素養(yǎng)水平的體現(xiàn)．

強(qiáng)調(diào)主干知識(shí)、重點(diǎn)知識(shí)考查的覆蓋，理科確立了52個(gè)(文科41個(gè))重要考點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)理解運(yùn)用中的遷移、轉(zhuǎn)化和應(yīng)變能力，強(qiáng)調(diào)文、理科數(shù)學(xué)運(yùn)用能力的特點(diǎn)、差異以及一定程度上的跨學(xué)科綜合運(yùn)用能力，仍會(huì)成為各地特色的能力考查方式．

各命題單位數(shù)學(xué)試題會(huì)注重常規(guī)與樸素；命題人不以學(xué)生為敵，不再以分出層次為目的，刻意追求區(qū)分度，要讓數(shù)學(xué)試卷成為學(xué)生展示自己才華的舞臺(tái)．高考難度繼續(xù)保持較低標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)然這并不意味降低數(shù)學(xué)要求，而是對基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本操作、基本思想方法的落實(shí)上要求更高，從學(xué)生考試丟分情況看，審題錯(cuò)誤、操作失誤、基本知識(shí)不落實(shí)三項(xiàng)丟分總和大約估計(jì)會(huì)占考生總丟分的40%以上，問題還是相當(dāng)嚴(yán)重的。比如2014年高考，北京四中的朱子林同學(xué)，用一個(gè)小時(shí)答完全部試題，而此時(shí)大部分同考場考生剛剛開始答解答題第一個(gè)大題，答題慢的主要原因就是四基不落實(shí)，答題慢的后果是做不完題，結(jié)果是考試100分鐘后就心慌意亂，不能踏實(shí)答卷．

例4(2014全國2卷理19)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：

年份2007200820092010201120122013年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9

(Ⅰ)求y關(guān)于t的線性回歸方程；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．

所以

=0.5，

例5(2014北京理16)李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下(假設(shè)各場比賽相互獨(dú)立)：

場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512

(Ⅰ)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；

(Ⅱ)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個(gè)主場和一個(gè)客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率；

解(Ⅰ)根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的場次有5場，分別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4．

所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5．

(Ⅱ)設(shè)事件A為“在隨機(jī)選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，

事件B為“在隨機(jī)選擇的一場客場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，

事件C為“在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場和一個(gè)客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6”．

4.高考題目有的也許會(huì)超出考生預(yù)料，出現(xiàn)部分考生感覺“別扭”

改革在預(yù)料之中，數(shù)學(xué)卷有的命題單位改革的步伐稍大．當(dāng)然，從知識(shí)、能力、方法及創(chuàng)新上也基本是學(xué)生能力范圍之中的．

(Ⅰ)求sin∠BAD；

(Ⅱ)求BD，AC的長．

所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)

=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB

(Ⅱ)在△ABD中，由正弦定理得

在△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB

所以AC=7．

本題考查啟示：幾何性質(zhì)(平面幾何的外角定理)，基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，克服單純靠做題代替復(fù)習(xí)，忽略知識(shí)的提煉．

例7[2014北京理17(1)]如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)．在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H．

(Ⅰ)求證：AB∥FG；

(Ⅱ)若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長．

解：(Ⅰ)在正方形AMDE中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以AB∥DE．

又因?yàn)锳B?平面PDE，

所以AB∥平面PDE．

因?yàn)锳B?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，所以AB∥FG．

(Ⅱ)因?yàn)镻A⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE．

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，

設(shè)平面ABF的法向量為n=(x，y，z)，則

令z=1，則y=-1．所以n=(0，-1，1)．

設(shè)直線BC與平面ABF所成角為α，則

設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(u，v，w)．

即(u，v，w-2)=2(2，1，-2)．所以u=2λ，v=λ，w=2-2λ．

部分考生習(xí)慣了空間向量，本題(1)不好確定坐標(biāo)，不適宜用空間向量解答，使得部分考生耽擱了時(shí)間、影響了情緒．

現(xiàn)行課標(biāo)立體幾何的教學(xué)與考查理念是空間感知，強(qiáng)化運(yùn)算．

5.按部就班，用數(shù)學(xué)最本源的知識(shí)、方法備考2015年高考

高考改革，循序漸進(jìn)，數(shù)學(xué)題目只能部分體現(xiàn)高考發(fā)展的趨勢， “考查考生的創(chuàng)新精神和潛質(zhì)，增強(qiáng)試題的科學(xué)性、公平性和規(guī)范性”．在進(jìn)一步處理好“知識(shí)與能力”考查的同時(shí)，適當(dāng)加大“過程與方法”的考查力度，兼顧“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”的考查，強(qiáng)調(diào)了試卷的選拔和導(dǎo)向功能．

例8(2014北京文8)加工爆米花時(shí)，爆開且不煳的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分)滿足的函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a，b，c是常數(shù))，下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為()．

A.3.50分B.3.75分

C.4.00分D.4.25分

解析：由題意將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得

考查啟示：思路不明確，按部就班就好．

考查啟示：數(shù)形結(jié)合，按部就班觀察得解．

例10(2014全國1理12)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為()．

CD=4，

故選C．

考查啟示：三視圖的最本源方法是，在長方體中用“割除法”還原空間圖形本來面目．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與該圓相切. 求直線的斜率.

x0+y0+c=0.

①

又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故

②

設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y=kx.

考查啟示：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí). 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)這一解析幾何的本質(zhì). 考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.部分考生習(xí)慣了“過去”解析幾何的直曲聯(lián)立韋達(dá)定理，而近年更常見的是“按部就班”，落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法，淡化技巧．在2014年還有北京、浙江等命題單位的解析幾何都是這一考查思路．

筆者建議2015屆的高考指導(dǎo)教師，要關(guān)注平時(shí)練習(xí)中學(xué)生出現(xiàn)的基礎(chǔ)問題，不能歸納為一時(shí)馬虎粗心，要查找深層次的原因，上升到數(shù)學(xué)素養(yǎng)、情商的落實(shí)高度解決問題，查缺補(bǔ)漏，才能在高考中取得優(yōu)異成績．

2015年至2017年是全國大部分省市深化高考制度改革的過渡期，“和諧”穩(wěn)定的高考命題是廣大考生和命題中心及黨和政府的共同心愿．所以2015年高考數(shù)學(xué)學(xué)科與近年比較有如下特點(diǎn): 適度創(chuàng)新，穩(wěn)步過渡；考查本源，發(fā)展思維；依綱靠本，注重四基．