楊 華

(西安電子科技大學(xué)CAD研究所，陜西西安 710071)

隨著電子科技的發(fā)展，芯片的開關(guān)速度更快、時(shí)鐘頻率更高、集成度更高、封裝體積更小等已成為現(xiàn)代電子產(chǎn)品的主要特征。這樣高性能的電子系統(tǒng)需要高品質(zhì)的電源系統(tǒng)以充分發(fā)揮其潛力。解決這一問(wèn)題的主要途徑是設(shè)計(jì)一個(gè)完美的電源分配網(wǎng)絡(luò)(Power Delivery Network，PDN)［1］為系統(tǒng)提供純凈的電壓和電流。在PDN中去耦電容器的精確建模和選擇合適的電容器組合至關(guān)重要，這已成為近年來(lái)的研究重點(diǎn)。

目前，國(guó)內(nèi)電容器廠商幾乎均未提供電容器的電路仿真模型或者電容的寄生參數(shù)，因此提出一種簡(jiǎn)易快捷的電容器建模方法十分重要。在對(duì)目前電容器建模方法研究的基礎(chǔ)上，本文提出了一種基于S參數(shù)［2］和矢量擬合的電容器精確建模方法。通過(guò)分析矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀(Vector Network Analyzer，VNA)的12項(xiàng)誤差模型，設(shè)計(jì)了一種電容器專用測(cè)試夾具和校準(zhǔn)件，將測(cè)量的電容S參數(shù)通過(guò)矢量擬合法得到電容阻抗傳遞函數(shù)，與官方提供的電容器離散Z參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，證實(shí)了模型的精確性。此精確的電容器模型是PDN去耦電容器選擇算法的基礎(chǔ)。由于多數(shù)選擇去耦電容器的算法得到的去耦方案中電容器種類多、個(gè)數(shù)多、設(shè)計(jì)出的PDN阻抗冗余大且計(jì)算速度慢，針對(duì)上述現(xiàn)狀，本文在Larry Smith提出的頻域目標(biāo)阻抗法(Frequency Domain Target Impedance Method，F(xiàn)DTIM)［3］的基礎(chǔ)上，基于得到的電容器精確模型提出了最大違背點(diǎn)去耦選電容算法，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了此算法設(shè)計(jì)的電容器去耦網(wǎng)絡(luò)使用的電容器種類和數(shù)目較少，PDN阻抗曲線更加貼近目標(biāo)阻抗曲線，運(yùn)行速度較快，能夠降低PDN設(shè)計(jì)的成本，具有較高的實(shí)用價(jià)值。

1 基于矢量擬合法電容器建模

矢量擬合法是一種穩(wěn)定且有效的擬合方法。通過(guò)擬合曲線得到近似的有理函數(shù)，從而可近似計(jì)算頻域響應(yīng)［4］。矢量擬合法的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于每次迭代，求解都是一個(gè)線性方程，且求解的方程結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單［5］。本文選用矢量擬合法主要因其具有以下優(yōu)勢(shì):(1)矢量擬合法采用的是有理函數(shù)匹配，在使用高階匹配時(shí)，數(shù)值問(wèn)題對(duì)其無(wú)影響。(2)應(yīng)用性強(qiáng)，當(dāng)匹配次數(shù)比較高或者所取的初始極點(diǎn)不合理時(shí)，同樣適用。(3)循環(huán)迭代次數(shù)少，收斂快。(4)擬合后的有理函數(shù)具有無(wú)源性，穩(wěn)定性強(qiáng)。(5)便于用計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)。

為便于后續(xù)綜合Spice模型，通過(guò)矢量擬合法將電容器的導(dǎo)納YC參數(shù)按照下式擬合為高階傳遞函數(shù)

其中，j為復(fù)數(shù)虛部符號(hào);ω為角頻率變量;h、d為直接耦合項(xiàng);pn和cn分別為第n個(gè)極點(diǎn)和留數(shù);N表示傳遞函數(shù)的階數(shù)。步驟如下:

(1)確定初始極點(diǎn){p1，…，pN}、階數(shù) N、迭代次數(shù)Diter_num、擬合誤差 Rem。

初始極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)。實(shí)數(shù)極點(diǎn)適用于比較光滑的曲線，共軛復(fù)數(shù)對(duì)極點(diǎn)則常用于比較粗糙、噪聲較多的曲線。在本文中，由于去耦電容器可能存在測(cè)量帶來(lái)的噪聲，選擇共軛復(fù)數(shù)對(duì)極點(diǎn)更適合，極點(diǎn)形式如下:初始極點(diǎn)可是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對(duì)。對(duì)于比較光滑的曲線，一般選取實(shí)數(shù)極點(diǎn);對(duì)于比較粗糙、噪聲較多的曲線，一般選用共軛復(fù)數(shù)對(duì)極點(diǎn)。由于去耦電容器可能存在測(cè)量帶來(lái)的噪聲，選擇共軛復(fù)數(shù)對(duì)極點(diǎn)更適合。初始共軛復(fù)數(shù)對(duì)極點(diǎn)的形式如下

通常取α=β/100。

(2)確定極點(diǎn)。

求出a1，…，aN和 b1，…，bN即可得到，假設(shè){YC(jω1)}，…，YC(jωk)為電容器測(cè)量 k個(gè) Y參數(shù)值，其中{ω1，…，ωk}為k個(gè)Y參數(shù)的測(cè)量角頻率值，定義誤差函數(shù)為

其中，φn(jω)為，為了解決的非線性問(wèn)題，引入新的誤差函數(shù)，第L次迭代誤差為

A為n×m矩陣且列滿秩，掃頻點(diǎn)的數(shù)目n大于系數(shù)個(gè)數(shù)m，為確定方程組，適合用最小二乘法解方程(7)求出{a1，…，aN}和{b1，…，bN}。構(gòu)建函數(shù) BL(jωk)，通過(guò)求解X－1bT矩陣的特征值求得新的極點(diǎn){p'1，…，p'N}，其中X為pn構(gòu)成的對(duì)角矩陣，1為元素為1的列向量，b為bn所構(gòu)成的列向量。

(3)確定留數(shù)。式(6)計(jì)算擬合誤差，如果擬合誤差＞Rem且總迭代次數(shù)小于Diter_num，則跳轉(zhuǎn)(2)進(jìn)行下一次迭代。否則根據(jù)(2)中確定的極點(diǎn){p'1，…，p'N}及Y參數(shù)構(gòu)建線性方程

用最小二乘法［6］解方程求 d和{c1，…，cN}，迭代結(jié)束;流程如圖1所示。

圖1 算法流程圖

按照表1轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的Spice子電路并組合得到對(duì)應(yīng)的 Spice電路［6］。

表1 Spice子電路轉(zhuǎn)換表

續(xù)表1

由式(1)可看出，電容器Spice等效電路是由實(shí)數(shù)d和h對(duì)應(yīng)的低通濾波器、實(shí)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的低通濾波器、共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的帶通濾波器并聯(lián)組成的高階電路，如圖2所示。

圖2 矢量擬合法得到的電容器高階模型

下面通過(guò)兩組電容器的建模實(shí)例驗(yàn)證本文提出的建模方法的有效性。分別對(duì)比基于蒙特卡羅法和矢量擬合法兩種方法建模后得到的等效電路的阻抗幅度、相位和擬合絕對(duì)誤差。

圖3 100 nF MLCC建模等效電路阻抗幅度和相位對(duì)比

圖4 100 nF MLCC建模等效電路與測(cè)量數(shù)據(jù)幅度和相位誤差對(duì)比

圖5 100 nF MLCC建模等效電路與官方數(shù)據(jù)幅度和相位誤差對(duì)比

由上述方法可分別測(cè)量10 nF，1 nF，100 ps的建模等效電路的結(jié)果，兩種算法的建模結(jié)果與測(cè)量數(shù)據(jù)誤差對(duì)比如表2所示。

表2 兩種算法的建模結(jié)果與測(cè)量數(shù)據(jù)誤差對(duì)比

從對(duì)比結(jié)果可看出，矢量擬合法建立的電容模型與蒙特卡羅法建立的模型相比，幅度精度前者約為后者的0.000 1倍，相位精度前者約為后者的100倍。矢量擬合法建模與電容的實(shí)際參數(shù)相比，建模幅度誤差均在3%以下，相位誤差均在5%以下。因此，本文對(duì)電容器進(jìn)行精確建模采用矢量擬合法。

2 基于最大違背點(diǎn)去耦選電容法

傳統(tǒng)目標(biāo)阻抗確定板級(jí)去耦電容網(wǎng)絡(luò)所需步驟如下:(1)確定目標(biāo)阻抗。(2)確定板級(jí)設(shè)計(jì)的截止頻率。(3)添加電容網(wǎng)絡(luò)使PDN阻抗低于目標(biāo)阻抗。

本文使用的是最大違背點(diǎn)去耦選電容的算法。電容器的自諧振頻率SRF［7］和品質(zhì)因數(shù)Q值對(duì)得到一個(gè)平坦的PDN阻抗曲線很重要，因此本文以自諧振頻率和品質(zhì)因數(shù)作為選擇該電容與否的判斷依據(jù)。

將設(shè)計(jì)流程分為兩個(gè)模塊:一是進(jìn)行去耦電容選擇之前的參數(shù)處理模塊，根據(jù)需求設(shè)定截止頻率和最多可使用電容的種類和個(gè)數(shù);二是根據(jù)第一步中確定的截止頻率，在可選的電容中，計(jì)算需要使用的電容容值種類和對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)。

(1)根據(jù)負(fù)載芯片的需求確定供電電壓、紋波容限、最大電流值，并根據(jù)這3個(gè)參數(shù)計(jì)算目標(biāo)阻抗Ztarget(f)。

(2)確定負(fù)載信號(hào)上升時(shí)間、板級(jí)PDN設(shè)計(jì)截止頻率、PCB電源/地平面、擴(kuò)散電感、BGA過(guò)孔寄生電感等參數(shù)。

(3)導(dǎo)入可用電容庫(kù)，確定電容器最多使用總數(shù)N。

(4)計(jì)算每種電容器的Q值，并按式(8)進(jìn)行歸一化處理

其中，Q為電容器原始Q值;Qmax為所有電容器中最大Q值。

(5)計(jì)算PDN阻抗ZPDN(f)，第一次計(jì)算時(shí)無(wú)需考慮電容器，將ZPDN(f)與Ztarget(f)對(duì)比，如果在感興趣的頻率內(nèi)所有ZPDN(f)值均低于Ztarget(f)，跳轉(zhuǎn)到(9);若否，標(biāo)記不滿足目標(biāo)阻抗且與目標(biāo)阻抗差值最大的頻率點(diǎn)為fmax_against。

(6)去耦電容選取原則是，SRF與fmax_against最接近且Q值較小的電容器，記為Cin，具體計(jì)算方法是

采取上式達(dá)到的目的是，首先，選取的去耦電容的SRF要接近fmax_against，且在SRF接近fmax_against的所有電容中，電容的Qnor最小，這樣可以使PDN阻抗在更寬的范圍內(nèi)被拉低，從而減小使用去耦電容的數(shù)量，且使得到的PDN阻抗曲線貼近目標(biāo)阻抗曲線。

(7)選定可用Cin的后，按式(10)計(jì)算電容器最少使用個(gè)數(shù)。

這里，ESR為電容器的串聯(lián)寄生電阻;Ztarget為頻率fmax_against處的目標(biāo)阻抗。

(8)添加到去耦網(wǎng)絡(luò)中，統(tǒng)計(jì)已使用的所有去耦電容器的數(shù)量，若超過(guò)N，則提示無(wú)解，退出結(jié)束;否則跳轉(zhuǎn)到(5)繼續(xù)執(zhí)行。

(9)此時(shí)，已得到一個(gè)去耦電容器組合方案，但仍需對(duì)去耦電容進(jìn)行去冗余處理。將方案中去耦電容器按照SRF排序分類，將第一種電容器個(gè)數(shù)減一，若ZPDN(f)仍能滿足Ztarget(f)，則實(shí)施此去冗余操作，并繼續(xù)減1，直到ZPDN(f)不能滿足Ztarget(f)，則對(duì)下一種電容進(jìn)行相同操作。依照此算法直到最后一種電容器，程序結(jié)束。

算法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn):

(1)優(yōu)點(diǎn)。由于本文提出的算法精髓是PDN曲線的最大違背點(diǎn)和電容的品質(zhì)因數(shù)，基于最大違背點(diǎn)選則電容使每個(gè)電容的去耦功能被充分利用，考慮電容的品質(zhì)因數(shù)則使得出的PDN曲線更加平滑且與目標(biāo)阻抗貼近，算法冗余度較低;Flat Response［8］和Decade Methods［9］兩種方法均是假設(shè)電容器具有相同的ESL，本算法則沒有此條件限制;比遺傳優(yōu)化選電容算法［10］運(yùn)行速度更快，當(dāng)電容庫(kù)較大時(shí)也能在幾秒內(nèi)完成電容器去耦方案的選擇。

(2)缺點(diǎn)。在算法中未考慮電容器的價(jià)格、安裝成本、等效串聯(lián)電阻等因素，如果加上這些因素的限制，電容方案將更加經(jīng)濟(jì)、有效。

表3 使用不同算法選得的電容去耦方案對(duì)比

3 結(jié)束語(yǔ)

由于矢量擬合法較蒙特卡羅法具有更加精確的優(yōu)點(diǎn)，本文通過(guò)矢量擬合，得到了擬合電容自阻的算法。將電容的器模型的傳遞函數(shù)和其Spice等價(jià)電路阻抗進(jìn)行比較，從而得到Spice等價(jià)電路所需的各個(gè)計(jì)算參數(shù)。通過(guò)對(duì)比所建電容器模型和電容器官方供部分的阻抗參數(shù)，證實(shí)了建模結(jié)果的精度，同時(shí)也說(shuō)明本建模方法能夠用于對(duì)未知阻抗特性的電容器進(jìn)行精確建模。

由于本文提出的算法基于最大違背點(diǎn)和電容的品質(zhì)因數(shù)，充分發(fā)揮了每一個(gè)去耦電容降低PDN阻抗的功效，且能在更寬的頻率范圍內(nèi)降低PDN阻抗，因此減少了使用去耦電容的數(shù)量，且算法簡(jiǎn)單易行，也降低了計(jì)算時(shí)間。設(shè)計(jì)的PDN阻抗曲線平緩、諧振點(diǎn)少、冗余較小。

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