賈欣欣

(杭州電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，浙江杭州 310018)

因果關(guān)系作為事物之間發(fā)展變化的重要聯(lián)系，揭示了事物發(fā)展變化過程中的本質(zhì)特征。因果關(guān)系是科學(xué)探索的基本內(nèi)容之一，無論是自然現(xiàn)象、社會(huì)關(guān)系還是科學(xué)理論中均存在著因果關(guān)系。

因果關(guān)系的研究方法中一個(gè)運(yùn)用廣泛的分析方法是格蘭杰因果關(guān)系(Granger Causality)。近年來，隨著格蘭杰因果關(guān)系應(yīng)用的不斷發(fā)展，其成為生命科學(xué)領(lǐng)域特別是計(jì)算神經(jīng)科學(xué)應(yīng)用方面的重要研究方法。

1 格蘭杰因果關(guān)系及研究現(xiàn)狀

在神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域，國內(nèi)外對(duì)格蘭杰因果關(guān)系的研究主要集中在時(shí)域格蘭杰因果關(guān)系分析、頻域格蘭杰因果關(guān)系分析及非線性格蘭杰因果關(guān)系3個(gè)方面。

1．1 格蘭杰因果關(guān)系

格蘭杰因果關(guān)系起源于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，近年來在生命科學(xué)領(lǐng)域特別是神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域有所發(fā)展，成為揭示時(shí)間序列之間因果影響的主要方法之一。格蘭杰因果關(guān)系的思想最初源于數(shù)學(xué)家維納(Wiener)在1956年提出的關(guān)于兩個(gè)時(shí)間信號(hào)之間的因果性，其核心思想是對(duì)一個(gè)變量的預(yù)測在加入另一個(gè)變量后更準(zhǔn)確，則后者稱為前者的原因［1］。1969年，格蘭杰基于維納時(shí)間信號(hào)因果性的想法［2］，提出了經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的隨機(jī)過程因果性，用于分析經(jīng)濟(jì)變量之間的格蘭杰因果關(guān)系，這就是著名的時(shí)域格蘭杰因果關(guān)系。

對(duì)于兩個(gè)時(shí)間序列X、Y，其之間的格蘭杰因果關(guān)系可具體表述為:若根據(jù)X的過去值對(duì)X的當(dāng)前時(shí)刻值進(jìn)行預(yù)測時(shí)產(chǎn)生的預(yù)測誤差的方差，大于根據(jù)時(shí)間序列X、Y的過去值預(yù)測X的當(dāng)前值時(shí)產(chǎn)生的預(yù)測誤差的方差，則Y對(duì)X有格蘭杰因果影響［2－3］。

假設(shè)Xt、Yt為兩個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，且其均值為0，其中 t=1，2，…，N，二者的線性自回歸模型可表示如下［4］

其中，a1j、d1j表示自回歸模型的擬合系數(shù);ε1t、η1t為預(yù)測誤差;∑1、Γ1表示 ε1t、η1t的方差。二者的聯(lián)合回歸模型可描述如下

其中，a2j、b2j、c2j和 d2j表示聯(lián)合回歸模型的擬合系數(shù)，預(yù)測誤差ε2t、η2t與時(shí)間無關(guān)，其同期協(xié)方差矩陣為

其中，∑2=var(ε2t)、Γ2=var(η2t)、γ2=cov(ε2t，η2t)，此時(shí)估計(jì)Xt、Yt當(dāng)前時(shí)刻值產(chǎn)生的預(yù)測誤差取決于兩者過去時(shí)刻的值。

對(duì)于式(1)和式(2)中的第一個(gè)方程，方差∑1的值代表根據(jù)Xt自身過去時(shí)刻的值對(duì)當(dāng)前時(shí)刻值進(jìn)行預(yù)測的準(zhǔn)確度，方差∑2的值表示根據(jù)Xt、Yt的過去時(shí)刻值對(duì)Xt當(dāng)前時(shí)刻值的預(yù)測準(zhǔn)確度。如果在某種統(tǒng)計(jì)意義上＜∑

1，那么就稱Yt對(duì)Xt有因果影響。若=∑2，即加入Yt值后無法提高模型的預(yù)測精度，則稱Yt對(duì)Xt沒有因果影響。這種因果關(guān)系就叫做格蘭杰因果關(guān)系，Yt對(duì)Xt的格蘭杰因果關(guān)系定義如下

當(dāng) FY→X＞0 時(shí)，Yt對(duì) Xt存在因果關(guān)系;當(dāng) FY→X=0時(shí)，Yt對(duì)Xt不存在因果關(guān)系。類似的，Xt對(duì)Yt的格蘭杰因果關(guān)系為

當(dāng) FX→Y＞0 時(shí)，Xt對(duì) Yt存在因果關(guān)系;當(dāng) FX→Y=0時(shí)，Xt對(duì)Yt不存在因果關(guān)系。

1．2 時(shí)域格蘭杰因果關(guān)系在神經(jīng)科學(xué)的發(fā)展

因果關(guān)系分析方法在神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用始于上世紀(jì)80年代，幾十年來，對(duì)具有復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不同大腦區(qū)域之間因果關(guān)系的研究已經(jīng)取得了一定的成果。Freiwald等［5］(1999)通過格蘭杰因果關(guān)系揭示獼猴顳下皮層神經(jīng)組織之間存在單向和雙向的因果影響。Hesse等［6］(2003)研究了格蘭杰因果關(guān)系的自適應(yīng)估計(jì)，并根據(jù)時(shí)變格蘭杰因果性分析了來自斯特魯(stroop)任務(wù)的腦電圖(EEG)數(shù)據(jù)，分析發(fā)現(xiàn)沖突情形會(huì)產(chǎn)生從后皮質(zhì)位置向前皮質(zhì)位置相互作用的密網(wǎng)，這一帶有方向性的相互作用網(wǎng)主要在刺激后400 ms開始，并持續(xù)到任務(wù)結(jié)束。Roebroeck等［7］(2005)基于格蘭杰因果關(guān)系映射的方法，利用功能磁共振成像(fMRI)數(shù)據(jù)來探索神經(jīng)元群之間有效連接的直接影響，通過視覺運(yùn)動(dòng)任務(wù)仿真實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)神經(jīng)元群體之間存在定向因果影響關(guān)系。Oya等［8］(2007)使用格蘭杰因果關(guān)系分析聽覺事件相關(guān)電位(ERP)的相互作用，采用神經(jīng)外科病人大腦皮層的兩個(gè)生理上和功能上互相相連的聽覺區(qū)域的直接記錄，通過聲音刺激的顱內(nèi)誘發(fā)電位來展示人類聽覺皮質(zhì)區(qū)區(qū)域之間的因果互動(dòng)關(guān)系。Gow等［9］(2008)將格蘭杰分析應(yīng)用到有約束的核磁共振成像腦磁圖和腦電圖數(shù)據(jù)中，以探索詞匯表達(dá)對(duì)模糊語音感知的影響，通過對(duì)文字、非文字和發(fā)音含糊不清的條目的反應(yīng)，揭示出從后上顳回到整個(gè)腹側(cè)通路處都表現(xiàn)出一致的直接影響。

1．3 頻域格蘭杰因果關(guān)系在神經(jīng)科學(xué)的發(fā)展

事實(shí)上，時(shí)域格蘭杰因果關(guān)系的頻域分解可以在震蕩的神經(jīng)活動(dòng)中檢測因果影響。對(duì)于神經(jīng)數(shù)據(jù)，不同頻率段經(jīng)常表現(xiàn)出不同的特征，上述時(shí)域的格蘭杰因果關(guān)系方法被推廣到頻域上，發(fā)展出頻域格蘭杰因果關(guān)系或幾種形式的類似于頻率格蘭杰的因果關(guān)系方法［10－12］。

Geweke［13－14］(1982)對(duì)多元自回歸過程進(jìn)行分解得到格蘭杰因果關(guān)系的頻域表示，即頻域格蘭杰因果關(guān)系，使格蘭杰因果關(guān)系的定義更加直觀。Bernasconi和Konig［15］(1999)運(yùn)用Geweke的譜分析方法來檢測貓視覺皮層不同區(qū)域之間的因果互動(dòng)。Brovelli等［16］(2004)通過對(duì)按壓杠桿的清醒著的猴子運(yùn)用譜格蘭杰因果關(guān)系方法，來確定β頻率段為15～30 Hz時(shí)，從初級(jí)軀體感覺皮層到運(yùn)動(dòng)皮層的因果影響。Saito和Harashima［17］(1981)介紹定向相干性(DC)方法，研究兩個(gè)變量的自回歸模型中成對(duì)數(shù)據(jù)通道之間的相關(guān)性，并隨后將其應(yīng)用于臨床問題。Wang和 Takigawa［18］(1992)根據(jù)DC方法研究大腦兩個(gè)半球之間的相互關(guān)系。Kaminski和 Blinowska［19］(1991)基于頻域傳遞函數(shù)矩陣，提出定向傳遞函數(shù)(DTF)法，用于進(jìn)行多元數(shù)據(jù)集中任意給定的成對(duì)通道間的因果影響方向性分析。Baccal和 Sameshima［20］(2001)在頻域介紹偏定向相關(guān)性(PDC)分析方法，討論P(yáng)DC的應(yīng)用，并與其他根據(jù)神經(jīng)生理學(xué)信號(hào)確定大腦結(jié)構(gòu)關(guān)系的方法進(jìn)行比較。Sato等［21］(2009)將 PDC用于功能性磁共振成像，基于不同的頻域特征來區(qū)分生理和非生理元素。Yamashita等［22］(2005)運(yùn)用相對(duì)功率貢獻(xiàn)(RPC)來評(píng)估血氧信號(hào)在不同分段頻率下的定向連接。Kaminski和 Liang［23］(2005)在 θ波帶頻率介于 3．7 ～5．6 Hz之間時(shí)，采用短時(shí)DTF來顯示海馬對(duì)前腦的主要影響關(guān)系。Korzeniewska等［24］(2008)采用短時(shí) DTF，揭示在高頻下參與錄制語言任務(wù)的不同大腦區(qū)域的頻率依賴相互作用。

1．4 非線性格蘭杰因果關(guān)系的發(fā)展

格蘭杰因果關(guān)系用于分析線性時(shí)間序列，弱非線性信號(hào)也可通過近似成線性信號(hào)進(jìn)行討論。研究表明，健康人的腦電信號(hào)表現(xiàn)出弱非線性的特征，但是在大腦受損等情況下，腦電信號(hào)則為非線性序列。因此，如何正確揭示非線性信號(hào)之間的因果性對(duì)研究大腦的信息流向極為重要［25］。

Marinazzo等［26］(2006)提出基于徑向基函數(shù)的非線性格蘭杰因果關(guān)系，并通過兩個(gè)實(shí)例說明該方法的有效性。Marinazzo等［27］(2008)還通過運(yùn)用幾何中希爾伯特空間重構(gòu)理論，提出處理過濾因果關(guān)系的策略，建立處理非線性因果關(guān)系的內(nèi)核方法。Sugihara等［28］(2012)基于沒有噪聲項(xiàng)的非線性動(dòng)態(tài)回歸模型，提出交叉收斂映射(CCM)方法作為格蘭杰因果關(guān)系分析方法的補(bǔ)充。

2 格蘭杰因果關(guān)系的局限

雖格蘭杰因果關(guān)系在眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，但該分析方法依然在許多方面受到研究人員的詬病，爭論的焦點(diǎn)就在于格蘭杰因果關(guān)系是否能揭示真實(shí)的因果關(guān)系，且格蘭杰本人也表示格蘭杰因果關(guān)系不一定能代表真正的因果關(guān)系。格蘭杰因果關(guān)系及其他基于格蘭杰因果關(guān)系的分析方法，在理論上存在如下局限性［29－31］:

在時(shí)間域上，對(duì)兩個(gè)時(shí)間序列而言，經(jīng)典格蘭杰因果關(guān)系與線性回歸模型的隨機(jī)噪聲項(xiàng)有關(guān)，而與兩時(shí)間序列的線性回歸模型的部分系數(shù)無關(guān)。這樣此定義會(huì)丟失線性回歸模型中的一部分重要信息，導(dǎo)致不能準(zhǔn)確反映一個(gè)時(shí)間序列對(duì)另外一個(gè)時(shí)間序列的真實(shí)因果關(guān)系強(qiáng)度，也就是說，格蘭杰因果關(guān)系值的大小不一定代表著真實(shí)因果關(guān)系的強(qiáng)弱，甚至當(dāng)格蘭杰因果關(guān)系值為零時(shí)也并不代表沒有真正的因果關(guān)系。換句話說，無論腦電數(shù)據(jù)是否來自同一個(gè)被試者，不同組對(duì)通道數(shù)據(jù)的格蘭杰因果關(guān)系值不具有可比較性。

在頻率域上，頻域格蘭杰因果關(guān)系的定義是基于線性回歸模型中的傳遞函數(shù)矩陣和隨機(jī)噪聲項(xiàng)。在研究過程中已經(jīng)意識(shí)到，頻域格蘭杰因果關(guān)系不能揭示兩個(gè)時(shí)間序列之間的真正因果關(guān)系。因此，在頻域中各種類似格蘭杰因果關(guān)系的定義被提出，其中最常用的定義有:偏定向相干性、相對(duì)功率貢獻(xiàn)和定向傳遞函數(shù)。頻域格蘭杰因果關(guān)系只能運(yùn)用于兩個(gè)時(shí)間序列，偏定向相干性、相對(duì)功率貢獻(xiàn)和定向傳遞函數(shù)方法可以應(yīng)用于高維時(shí)間序列，但是相對(duì)功率貢獻(xiàn)和定向傳遞函數(shù)不能辨別不同結(jié)構(gòu)之間的直接或間接通路，偏定向相干性又缺少理論基礎(chǔ)。以上頻域格蘭杰因果關(guān)系分析方法或類似頻域格蘭杰因果關(guān)系方法都是基于線性回歸模型的傳遞函數(shù)矩陣或者它的逆矩陣，而傳遞函數(shù)矩陣與線性回歸模型的系數(shù)矩陣是完全不同的，不能真實(shí)反映出某些時(shí)間序列的因果關(guān)系強(qiáng)度。

3 格蘭杰因果關(guān)系在神經(jīng)科學(xué)的應(yīng)用

腦電信號(hào)相互作用的方向揭示了神經(jīng)系統(tǒng)中信息流的路徑，近年來，如何確定神經(jīng)系統(tǒng)中腦電信號(hào)之間相互作用的方向已經(jīng)成為神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。格蘭杰因果關(guān)系特別是頻域格蘭杰因果關(guān)系作為揭示時(shí)間序列之間因果影響的主要方法之一，在生命科學(xué)領(lǐng)域特別是神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。但格蘭杰因果關(guān)系在以下兩個(gè)方面的研究還很有限，還存在很大的應(yīng)用空間。

一方面，在認(rèn)知和神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域，多通道腦電信號(hào)數(shù)據(jù)的記錄和功能成像在研究認(rèn)知和疾病診斷的網(wǎng)絡(luò)機(jī)制中越來越重要，研究人員不僅研究特定大腦區(qū)域的功能，還關(guān)注不同大腦區(qū)域塊之間的因果影響，根據(jù)多個(gè)腦區(qū)或整個(gè)大腦的信息從腦功能整合的角度探究人的大腦活動(dòng)及工作機(jī)理。比如，可能會(huì)對(duì)不同的大腦區(qū)域塊中的因果關(guān)系信息流方向感興趣。即使兩個(gè)單變量信號(hào)之間不存在因果影響，但其所在的信號(hào)塊之間也可能會(huì)存在相互影響。經(jīng)典因果關(guān)系只適用于成對(duì)單變量之間因果關(guān)系分析，或者條件于第3個(gè)變量的因果關(guān)系分析，雖然通過對(duì)成對(duì)因果分析進(jìn)行疊加來實(shí)現(xiàn)多變量之間的因果關(guān)系分析是可能的，但其計(jì)算結(jié)果并不穩(wěn)定。更加有效、理論上也更加可行的方法是，把不同大腦區(qū)域的時(shí)間序列記錄結(jié)合為塊，然后分析不同時(shí)間序列塊之間的因果影響。通過對(duì)經(jīng)典因果關(guān)系進(jìn)行拓展和改進(jìn)，研究塊對(duì)塊因果關(guān)系分析方法，不僅可定性的討論不同的腦區(qū)間是否存在因果影響及作用方向，還可定量給出相互影響程度，更為真實(shí)的揭示大腦內(nèi)部的信息處理機(jī)制。

另一方面，格蘭杰因果關(guān)系基于線性回歸模型，適用于線性信號(hào)之間因果關(guān)系分析和弱非線性信號(hào)之間因果關(guān)系的研究。研究表明，健康人的腦電信號(hào)表現(xiàn)出弱非線性的特征，但在大腦受損等情況下，腦電信號(hào)則為非線性序列。為了將塊對(duì)塊因果關(guān)系分析的理論方法應(yīng)用于實(shí)際問題中，揭示在病理情況下不同大腦區(qū)域塊之間的信息流向，更好地為人類服務(wù)，對(duì)非線性模型進(jìn)行研究有更大的現(xiàn)實(shí)意義。目前的研究中對(duì)非線性模型的研究很有限，針對(duì)非線性模型的因果關(guān)系的研究工作有待進(jìn)一步完善。

4 結(jié)束語

格蘭杰因果關(guān)系特別是頻域格蘭杰因果關(guān)系在神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域已得到了廣泛應(yīng)用，證明了因果關(guān)系分析方法在神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值，但格蘭杰因果關(guān)系先天的缺陷和局限性限制了其進(jìn)一步的應(yīng)用。所以，對(duì)經(jīng)典因果關(guān)系不斷改進(jìn)，提出新的揭示因果關(guān)系的方法，并應(yīng)用于神經(jīng)科學(xué)研究領(lǐng)域中具有重要的理論和實(shí)際意義。

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