陳劍軍

摘要：一元函數(shù)積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其中的第一類換元法和分部積分法是要求掌握的內(nèi)容。學(xué)生在應(yīng)用這兩種方法進行計算時，往往覺得要用到兩種技巧來實現(xiàn)、缺乏統(tǒng)一的模式一以貫之。這和教材的設(shè)計有很大關(guān)系：多數(shù)教材都是割裂處理這兩個方法。為此提出將這兩種方法統(tǒng)一到一個基本的技巧—湊微分。教學(xué)實踐表明：熟練應(yīng)用湊微分的常見關(guān)系式，可以明顯提高學(xué)生用這兩種方法計算積分的能力。

關(guān)鍵詞：湊微分；第一類換元法；分部積分法

中圖分類號：G642.41 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）48-0214-02

一、引言

一元函數(shù)積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)二重積分的基礎(chǔ)。在積分計算中，湊微分方法既是重點，也是難點，特別是對于被積函數(shù)比較復(fù)雜的情況湊微分更是困難。對要求學(xué)生掌握的內(nèi)容，教材常見的安排順序是：一元函數(shù)的不定積分（不定積分的概念和性質(zhì)、第一類換元積分法—也叫湊微分法、第二類換元積分法、分部積分法等）、一元函數(shù)的定積分（定積分的概念和性質(zhì)、微積分基本公式、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分部積分法等）；也有的教材（如：復(fù)旦大學(xué)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)》）做如下不同的安排：定積分的概念和性質(zhì)、微積分基本定理、不定積分的概念和性質(zhì)、不定積分的第一類換元法及第二類換元法、定積分的計算，等等[1，2]。（一般來說，上述內(nèi)容是要求學(xué)生掌握的[3]。）無論哪種安排順序，學(xué)生往往感覺計算很繁雜，往往覺得第一類換元法和分部積分法是割裂的兩種方法，缺乏一個明晰的思路統(tǒng)一貫穿下列問題：不定積分的換元和分部積分法、定積分的換元和分部積分法。為了使學(xué)生更好地掌握這些計算，提出以湊微分的思想為基礎(chǔ)，統(tǒng)一第一類換元法和分部積分法：學(xué)生只要熟悉湊微分的關(guān)系式，就能較熟練地進行基本的積分計算。

二、第一類換元積分法“湊微分”關(guān)鍵探析

由于積分是微分的逆運算，沒有固定的公式和模式可以簡單套用，往往需要對積分式子進行適當(dāng)?shù)淖冃魏蛽Q元才能夠利用積分公式計算出來，所以，初學(xué)者在學(xué)習(xí)的過程中往往要多次嘗試，頗費時間。第一換元積分法（也叫湊微分法）是一種重要的基本積分方法，它的關(guān)鍵步驟是“湊微分”。其公式如下（為簡練計，略去公式的條件部分，下文同）：

這時后者一般不難計算。應(yīng)用該公式有兩個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)是第一步的湊微分，第二個環(huán)節(jié)是第三步的計算：學(xué)生往往在用了分部積分公式后不知如何繼續(xù)。一般的規(guī)律是將u（x）的微分計算出來，這樣可以簡化積分的計算。至于第一個環(huán)節(jié)，也是遇到與第一類換元積分相類似的問題：在待計算的積分中，被積函數(shù)是一個整體，不會標(biāo)志出哪個是u（x），哪個是v（x）.學(xué)生要掌握該公式，必須要能主動、比較熟練地將整個被積函數(shù)看成u（x）v'（x）的形式，也就是能看出將被積函數(shù)中哪個部分拿出來湊微分，這里所需要的技巧和湊微分法是一致的。如此講授分部積分法，不僅可以減少學(xué)生需要掌握的技巧，而且較目前教材處理的方法更加簡明。

四、結(jié)束語

不難看出，經(jīng)過處理，湊微分的技巧可以統(tǒng)一應(yīng)對第一類換元法和分部積分法的計算，能降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。教學(xué)實踐表明：學(xué)生認(rèn)為課堂教學(xué)所講授的方法較教材更加容易掌握，作業(yè)和測試也說明了這一點。因此，文中所提出的方法可資借鑒。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]黃立宏.高等數(shù)學(xué)[M].第三版.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

[3]http：//math.fudan.edu.cn/gdsx/jxdg.html.endprint