張林森，丁曉紅，熊　敏

(上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 200093)

?

基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法的散熱通道構(gòu)建技術(shù)

張林森，丁曉紅，熊敏

(上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 200093)

摘要:針對高熱流密度問題，基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的基本原理，構(gòu)建高效的散熱通道。以熱耗散最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立傳熱結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型；通過敏度計算，將低效單元逐步轉(zhuǎn)換成低導(dǎo)熱材料；以若干平面和三維薄殼結(jié)構(gòu)的典型算例為對象，得出優(yōu)化結(jié)果，并與密度法所得結(jié)果進(jìn)行對比；結(jié)果表明，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法不僅適用于平面結(jié)構(gòu)，而且適用于三維薄殼結(jié)構(gòu)的散熱通道的構(gòu)建。

關(guān)鍵詞：漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法;散熱通道;拓?fù)鋬?yōu)化

0　引　言

隨著微電子領(lǐng)域?qū)Ξa(chǎn)品性能要求的提高，芯片的集成度不斷增加，電子元器件的熱流密度越來越大，而用于表面對流強化散熱的有效空間越來越小，導(dǎo)致器件內(nèi)部的熱量不能及時排出，引起內(nèi)部的溫度過高，從而帶來了致命的高熱流密度問題。因此，為了有效控制電子元器件的內(nèi)部溫度，需要在器件內(nèi)部填充高導(dǎo)熱材料，構(gòu)建高效的散熱通道，將內(nèi)部熱量導(dǎo)出到器件表面，再通過對流或其它方式將熱量帶走。

構(gòu)建高效散熱通道的方法有：將固體力學(xué)領(lǐng)域的拓?fù)鋬?yōu)化方法SIMP法應(yīng)用到熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計中[1，2]，定義了材料的密度和熱傳導(dǎo)系數(shù)之間的關(guān)系，將材料密度作為設(shè)計變量，利用懲罰因子減少中間密度單元，通過優(yōu)化準(zhǔn)則法得到最優(yōu)結(jié)果；利用SIMP插值的密度法對熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析時[3]，應(yīng)用高階單元來克服數(shù)值不穩(wěn)定性的現(xiàn)象，并進(jìn)一步將設(shè)計域擴展到三維。由Xie和Steven提出的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，通過逐漸去除結(jié)構(gòu)中的低效材料或無效材料，最終使整體結(jié)構(gòu)“進(jìn)化”到最優(yōu)形態(tài)[4-5]。該方法在最小柔順性設(shè)計、特定自振頻率等拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計中獲得了較大成功，優(yōu)化結(jié)果不產(chǎn)生中間密度單元，結(jié)構(gòu)清晰，可同時實現(xiàn)形狀與拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化結(jié)果更易應(yīng)用于工程實際。

因此，本文基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的基本原理，以熱耗散最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立傳熱結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，探討典型邊界問題的平面及三維管壁結(jié)構(gòu)的散熱通道優(yōu)化，通過與密度法所得優(yōu)化結(jié)果的比較，說明此方法的可行性和通用性。

1　傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

圖1 二維熱傳導(dǎo)問題

如圖1所示,在設(shè)計區(qū)域Ωd內(nèi)有生熱率載荷Q,存在邊界條件為T0。傳熱結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題為:高導(dǎo)熱材料如何在區(qū)域Ωd中合理分布,形成高效散熱通道,將區(qū)域內(nèi)的熱量傳遞到邊界。

以熱耗散最小為優(yōu)化目標(biāo)的傳熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

(1)

KT=P

(2)

xi∈0 or 1

式中，xi為離散后的設(shè)計變量；E為熱耗散；K為熱傳導(dǎo)矩陣；T為節(jié)點溫度列陣；vi為第i個單元的體積；P為熱載荷列陣。

求取目標(biāo)函數(shù)的靈敏度：

由式(1)和(2)可得：

(3)

式(3)兩邊對設(shè)計變量xi求偏導(dǎo)得：

(4)

由式(2)和K的對稱性可得PT=TTK，結(jié)合式(4)可得

(5)

式(5)為結(jié)構(gòu)總靈敏度。漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法是逐漸去除低效單元，即逐步用低導(dǎo)熱材料填充靈敏度小的單元，從而得到熱傳導(dǎo)的最優(yōu)路徑。則由總體傳熱矩陣可知單元i由高導(dǎo)熱材料轉(zhuǎn)變?yōu)榈蛯?dǎo)熱材料引起目標(biāo)函數(shù)的變化為：

(6)

式中，Ki為偽密度等于1時的單元熱傳導(dǎo)系數(shù)陣；Ti為第i個單元的溫度向量。

2　漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法的熱傳導(dǎo)優(yōu)化流程

漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法的優(yōu)化思想是將設(shè)計域中低效的高導(dǎo)熱材料逐步地由低導(dǎo)熱材料替換，最終實現(xiàn)整體傳熱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。編程實現(xiàn)上述思想,流程圖如圖2所示。

(1)設(shè)定參數(shù)，材料刪除率α，進(jìn)化率b，建立有限元模型，確定邊界條件；

(2)熱分析；

(3)靈敏度分析；

(4)選擇設(shè)計域中的單元，將各單元敏度值與設(shè)計域中敏度最大值相比，若小于刪除率α則對單元i去除或弱化，即將單元i從高導(dǎo)熱材料改為低導(dǎo)熱材料。如果刪除率已經(jīng)達(dá)到上限，則進(jìn)化刪除率a=a+b；

(5)判斷是否達(dá)到收斂，如果達(dá)到收斂則跳出循環(huán)，否則返回步驟(2)，直到達(dá)到收斂條件。

圖2 優(yōu)化程序流程圖

3　數(shù)值算例

3.1　平面?zhèn)鳠峤Y(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題

平面設(shè)計域Ωs為1 m×1 m的正方形，熱源的生熱率為Q=3×106W·m-3，熱沉溫度T0=0 ℃，高導(dǎo)熱材料Kp=200 w/(m·k)，低導(dǎo)熱材料K0=1 w/(m·k)，刪除率a=0.5%，進(jìn)化率b=0.5%，高導(dǎo)熱材料體積約束為50%。

(a)單點熱源

在考慮平面設(shè)計問題中，首先探討單點熱源條件下不同的熱沉情況。其設(shè)計域Ωs內(nèi)中心點加熱，圖3(a)為四邊邊界熱沉，圖4(a)為四角熱沉，其余邊界絕熱。圖3(b)、4(b)為優(yōu)化后結(jié)果，圖中黑色區(qū)域為高導(dǎo)熱材料，白色區(qū)域為低導(dǎo)熱材料。

圖3 中心點發(fā)熱-四邊熱沉

圖4 中心點發(fā)熱-四角熱沉

圖3和圖4分別為中心發(fā)熱-四邊熱沉和中心發(fā)熱-四角熱沉的情況，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法的拓?fù)湫螒B(tài)與密度法拓?fù)湫螒B(tài)基本相同，分別呈“十”字和“X”的形態(tài)，高導(dǎo)熱材料主要分布在熱源與熱沉連接的最短路徑上，結(jié)構(gòu)形態(tài)合理；但漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法的外圍輪廓更清晰，而密度法外圍輪廓存在中間單元。

(b)多點熱源

其次，對平面內(nèi)多點發(fā)熱、不同熱沉的情況進(jìn)行探討。多點熱源位置分布如圖5(a)、6(a)所示，分別為中心點及中心點到各邊距離的中點，共計5個點熱源，圖5(a)為四邊邊界熱沉，圖6(a)為四角熱沉，其余邊界絕熱。圖5(b)、6(b)為優(yōu)化后結(jié)果，圖中黑色為高導(dǎo)熱材料，白色為低導(dǎo)熱材料。

圖5 多點發(fā)熱-四邊熱沉

圖6 多點發(fā)熱-四角熱沉

由圖5(b)所示中心多點發(fā)熱-四邊熱沉的情況，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法優(yōu)化結(jié)果：除中心點外的4個點熱源到邊長最短路徑上充滿材料，且材料主要集中在此處，中心點由中心向集中材料處兩邊相切連接，且中心發(fā)熱點與其余四處材料非連接處呈鏤空形態(tài)。如圖6所示為中心多點發(fā)熱-四角熱沉的情況，優(yōu)化結(jié)果與賀丹[8]在同樣工況下得到的拓?fù)浣Y(jié)果相比，拓?fù)湫螒B(tài)相同，但可以看出本文中的拓?fù)漭喞鄬饣?，這是因為網(wǎng)格劃分相對精細(xì)的原因，同樣也說明漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法中，也不可避免存在網(wǎng)格依賴的現(xiàn)象。

(c)均勻產(chǎn)熱

如圖7、圖8和圖9所示設(shè)計域內(nèi)均勻產(chǎn)熱，分別對應(yīng)于四邊熱沉，四角熱沉和單點熱沉的情況。

圖7 均勻產(chǎn)熱-四邊熱沉

如圖7(b)和(c)所示均勻產(chǎn)熱-四邊熱沉的優(yōu)化結(jié)果，密度法中，低導(dǎo)熱材料部分呈現(xiàn)了一個“X”形狀，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法的低導(dǎo)熱材料不但有“X”形狀，同時出現(xiàn)“十”字的情況。密度法的高導(dǎo)熱材料主要集中在四邊熱沉中心的位置且到四個角點呈遞減分布，相對于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法，其高導(dǎo)熱材料分布出現(xiàn)更細(xì)小的分枝。

如圖8(b)和(c)所示均勻產(chǎn)熱-四角熱沉的優(yōu)化結(jié)果，無論是漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法還是密度法，低導(dǎo)熱材料的分布都有著明顯的“十”字形態(tài)，在漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法中，高導(dǎo)熱材料分布體積約束為50%，高導(dǎo)熱材料主要集中在四角，且分布成了類似于“手”的形狀，密度法中體積約束為30%，高導(dǎo)熱材料形成了形似四棵樹的形狀。

圖8 均勻發(fā)熱-四角熱沉

如圖9(b)和(c)所示均勻產(chǎn)熱-單點熱沉的優(yōu)化結(jié)果，高導(dǎo)熱材料主要集中在熱沉點上，從熱沉點出發(fā)，形成分支形狀，同樣，密度法會得到更為細(xì)小的分支，但同時也會存在中間密度單元。

圖9 均勻發(fā)熱-單點熱沉

由以上結(jié)果可以得出，從單點熱源、多點熱源到均勻產(chǎn)熱，所得到的散熱通道拓?fù)湫螒B(tài)相應(yīng)地越來越復(fù)雜，傳熱分支也越多；不同的熱源和熱沉邊界條件下，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法所得的散熱通道有著清晰的邊界，密度法所得散熱通道存在中間密度單元，但密度法與漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法相比，其形成的散熱通道有著更為細(xì)小的分支，對于降低結(jié)構(gòu)溫度，均勻化溫度梯度，有著更好的效果。

3.2　三維薄壁管傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題

如圖10(a)所示為三維薄壁管狀算例模型，管長l=2 m，外徑R=0.4 m，管壁h=0.05 m，管的外表面有尺寸為s=0.04 m×0.04 m方形熱沉，溫度為T0=0 ℃，管體表面有生熱率Q= 3×106W·m-3，高導(dǎo)熱系數(shù)Kp=80 w/(m·k)，低導(dǎo)熱系數(shù)K0=0.5 w/(m·k)，材料刪除率a=0.1%，進(jìn)化率b=0.1%，體積約束為30%。由于管壁尺寸相對于管徑尺寸小很多，因而采用殼單元。

圖10 三維薄壁管狀體結(jié)構(gòu)材料分布變化過程

如圖10所示為優(yōu)化過程中高導(dǎo)熱材料體積分?jǐn)?shù)分別為80%、60%、30%時的拓?fù)湫螒B(tài)，可以看出在遠(yuǎn)離熱沉點的位置材料最先去除，高導(dǎo)熱材料主要集中在熱沉點的周圍，呈鋪開的分支狀，拓?fù)湫螒B(tài)清晰，外圍輪廓也無中間密度單元。圖11為迭代過程中體積隨刪除率的變化關(guān)系曲線。圖12(a)為漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法的所得優(yōu)化結(jié)果，與密度法的優(yōu)化結(jié)果相比較，在遠(yuǎn)離熱沉點的位置材料分布越少，分支也越細(xì)小。在中心熱沉處，密度法的高導(dǎo)熱材料對稱斷裂分為兩部分，而漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法的高導(dǎo)熱材料為一個整體?？傊?，通過三維薄壁管狀結(jié)構(gòu)熱通道的優(yōu)化可以看出，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法同樣適用于三維傳熱結(jié)構(gòu)。

圖11 體積比與刪除率的迭代過程

圖12 三維薄壁管狀體結(jié)構(gòu)在漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法與密度法對比

4　結(jié)　論

本文基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，建立了傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型；通過靈敏度分析，分別就平面問題和三維薄殼問題，考慮不同的熱源和熱沉條件，得到優(yōu)化結(jié)果；并與密度法進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法不僅對于二維問題的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)具有有效性，對三維薄殼問題也同樣適用，密度法比漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法形成的散熱通道分支更細(xì)小，即密度法在降低結(jié)構(gòu)溫度和均勻化溫度梯度上，具有更好的效果；但采用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法得到的散熱通道無中間密度單元，具有更好的工程實用性。

參考文獻(xiàn)：

[1]左孔天,陳立平,張云清，等.用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行熱傳導(dǎo)散熱體的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計[J]. 機械工程學(xué)報,2005, 41(4):13-16.

[2]蔣良杰,熊蔡華.基于SIMP方法的散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計[J].機電一體化,2006，(6) : 14-16.

[3]崔天福.基于密度法的傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論研究[D].上海：上海理工大學(xué)，2014.

[4]Xie Y M, Steven G P. Shape and layout optimization via an evolutionary procedure[C]. In: Proceedings of the International Conference on Computational Engineering Science, Hong Kong, 1992.

[5]Xie Y M, Steven G P. A simple evolutionary procedure for structural optimization[J].Computers&Structures, 1993,49: 885-886.

[6]程廣新,孟繼安,過增元.導(dǎo)熱優(yōu)化中的最小傳遞勢容耗散與最小熵產(chǎn)[J].工程熱物理學(xué)報，2005，(06):136-138.

[7]過增元,程廣新,夏再忠.最小熱量傳遞勢容耗散原理及其在導(dǎo)熱優(yōu)化中的應(yīng)用[J].科學(xué)通報，2003，(01):21-25.

[8]賀丹.漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的改進(jìn)策略及應(yīng)用[D].大連:大連理工大學(xué),2008.

研制開發(fā)

Construction Technology of Cooling Channel Based on

Evolutionary Structural Optimization Method

ZHANG Lin-sen，DING Xiao-hong，XIONG Min

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

Abstract:In this paper, evolutionary structural optimization method is applied to high heat flux problem in order to build efficient cooling channels. The optimization model is established with the target of minimizing heat dissipation in design area. During the optimization process, material of the inefficient elements is gradually changed into low thermal conductive material after calculating element sensitivity. Optimization results of some typical examples with plane or three-dimensional thin shell structure are calculated, which are then compared with results from density method. The comparisons show that, evolutionary structural optimization method is not only applicable to cooling channel design of plane structure but also suitable for that of three-dimensional thin shell structure.

Key words:evolutionary structural optimization method; cooling channel; topology optimization

中圖分類號：TK124

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3664(2015)02-0013-04

作者簡介：張林森(1988-)，男，碩士研究生，研究方向：結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(50875174，51175347)，上海市教委科研創(chuàng)新重點項目(13ZZ114)。

收稿日期：2014-12-15