余建淳

摘要：如果不深思、不深刻鉆研教材，不刨根問(wèn)底地探尋知識(shí)的來(lái)龍去脈，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師也容易犯“科學(xué)性”的錯(cuò)誤。在一次“中小學(xué)課堂教學(xué)有效銜接主題研討活動(dòng)”中，我便犯了這樣的錯(cuò)誤。筆者研究的內(nèi)容是五年級(jí)上冊(cè)的《可能性——游戲公平》。該內(nèi)容要求學(xué)生能計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性大小；經(jīng)歷具體的活動(dòng)，體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性、游戲規(guī)則的公平性。筆者想通過(guò)本次研究，讓學(xué)生知道游戲規(guī)則的公平性是建立在每個(gè)人獲勝的可能性相等的基礎(chǔ)上。

關(guān)鍵詞：可能性；公平性；科學(xué)性

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1674-9324（2015）13-0224-02

【案例回放】

（課的最后一個(gè)環(huán)節(jié)：自主創(chuàng)作）

（一）出示情境：四人玩游戲

師：“現(xiàn)在4位小朋友玩游戲，在商量誰(shuí)先走?！?/p>

“如果現(xiàn)在以轉(zhuǎn)盤(pán)為例，你能給他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)公平的方案嗎？”

（出示轉(zhuǎn)盤(pán)）

（二）學(xué)生進(jìn)入電腦自主創(chuàng)作系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案

（說(shuō)明：同桌兩人一臺(tái)電腦，電腦中有學(xué)生自主學(xué)習(xí)的課件。這環(huán)節(jié)中學(xué)生可以自主把一個(gè)圓等分若干份，可以進(jìn)入畫(huà)圖軟件涂色）

（三）匯報(bào)方案

（一般的學(xué)生都是設(shè)計(jì)成4的倍數(shù)，其中有位同學(xué)將轉(zhuǎn)盤(pán)設(shè)計(jì)成了9份）

展示方案（見(jiàn)圖）。

這時(shí)有個(gè)學(xué)生站起來(lái)說(shuō)：“老師，她這個(gè)方案不公平的，這里一共9份。”

其他學(xué)生也竊竊私語(yǔ)、紛紛交流。

“那我們請(qǐng)這位學(xué)生自己介紹一下方案，好不好？”

（這個(gè)想法也是我事先沒(méi)預(yù)設(shè)到的，不知道學(xué)生怎么想，先采用緩兵之計(jì)）

這位學(xué)生說(shuō)：“老師，我是把它平均分9份，這樣的話四個(gè)人分別選紅、黃、黑、綠四種顏色，每個(gè)人轉(zhuǎn)到的可能性都是2/9，如果轉(zhuǎn)到藍(lán)色重新轉(zhuǎn)?！?/p>

師：“哦，她是這樣想的，哪位同學(xué)明白他的意思？”

生2：“她的意思是平均分成9份，如果轉(zhuǎn)到藍(lán)色重新轉(zhuǎn)一次。”

老師：“那你們看這個(gè)方案公平嗎？”

生3：“我覺(jué)得是公平的，因?yàn)槊咳诉x中的可能性一樣。”（大部分同學(xué)紛紛點(diǎn)頭表示贊同）

生4：“我覺(jué)得不公平，因?yàn)槟莻€(gè)人轉(zhuǎn)到藍(lán)色重來(lái)的話，他就多一次機(jī)會(huì)了?！?/p>

（這時(shí)又有部分同學(xué)立場(chǎng)發(fā)生變化了，也認(rèn)為不公平了）

生5：“老師，我有不同意見(jiàn)。你看，如果一開(kāi)始轉(zhuǎn)到紅色，他的可能性是2/9；如果他第一次轉(zhuǎn)到藍(lán)色，第二次選中的話，他的可能性就變成了3/9了，所以不公平?！?/p>

生6：“對(duì)對(duì)，如果他一直轉(zhuǎn)到藍(lán)色，總是重來(lái)，那他的機(jī)會(huì)很多，所以不公平。”

這時(shí)我提醒大家：“通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，大家認(rèn)為在什么情況下就會(huì)公平？”

生：“只要大家發(fā)生的可能性一樣就可以了?！?/p>

這時(shí)另外一個(gè)學(xué)（下稱生B）說(shuō)：“我認(rèn)為是公平的，因?yàn)樗膫€(gè)人一共8份，每人都有2份，藍(lán)色不用管，那么每個(gè)人選中的可能性都是2/8，所以是公平的?！?/p>

師：“每個(gè)人選中的可能性一樣不一樣？他認(rèn)為每人可能性是2/8？”（時(shí)間關(guān)系，學(xué)生在迷糊中認(rèn)同可能性一樣）

生：“是2/9?！?/p>

師：“那我們看，黃色選中的可能性是多少？紅色、黑色、綠色呢？”

生：“它們都是2/9，所以是公平的?！?/p>

……下課時(shí)間到，在倉(cāng)促之中，匆匆結(jié)束了。觀看結(jié)束后，一位專家（某師范學(xué)院教授，下稱F教授）對(duì)此規(guī)則也提出了否定的看法。F教授說(shuō)：“一個(gè)圓平均分成9份，藍(lán)顏色是1/9，你到了最后的結(jié)論是紅顏色2/9，黃顏色2/9也是公平的。但是有兩三個(gè)同學(xué)站起來(lái)講我搖到藍(lán)色，再搖一次，也就是搖到紅的就算了，搖到藍(lán)的再搖一次，學(xué)生認(rèn)為這樣也是公平的。但是你老師沒(méi)有提出這樣公不公平，拋開(kāi)了藍(lán)顏色1/9。學(xué)生說(shuō)搖到藍(lán)的再搖一次，也是公平的，你沒(méi)有告訴學(xué)生這是不公平的。學(xué)生回去就會(huì)帶著這樣一個(gè)疑問(wèn)或想法，再搖一次也是公平的。其實(shí)再搖一次概率越來(lái)越小，乘法原理?！北緛?lái)對(duì)于學(xué)生這種方案課前我是有預(yù)設(shè)的。經(jīng)驗(yàn)告訴我這個(gè)規(guī)則毫無(wú)疑問(wèn)是公平的，對(duì)學(xué)生提出每個(gè)人獲中的可能性是2/9也沒(méi)有多去思考和研究，所以當(dāng)初也沒(méi)有提出疑問(wèn)，反而對(duì)生B說(shuō)可能性是2/8提出了疑問(wèn)。聽(tīng)了F教授的質(zhì)疑，我當(dāng)時(shí)就簡(jiǎn)直像被當(dāng)頭一棒，犯暈了，有點(diǎn)無(wú)地自容。

【反思診斷】

后來(lái)細(xì)細(xì)回味專家的質(zhì)疑：一是這個(gè)方案不公平；二是轉(zhuǎn)到藍(lán)色1/9再轉(zhuǎn)，選中的概率越來(lái)越小（無(wú)法計(jì)算）。便坐下來(lái)認(rèn)真思考了這兩個(gè)問(wèn)題。

一、方案究竟是否公平？

如果學(xué)生第一轉(zhuǎn)到藍(lán)色再搖一次，是真的不公平嗎？“抓鬮”是否公平這個(gè)看來(lái)再明白不過(guò)的、并且全人類一直都在使用的問(wèn)題，進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂后便糊涂起來(lái)了。

那么我們來(lái)看看生活中的常識(shí)：判斷是否公平，應(yīng)該看每個(gè)人在最初面臨的情況是否一樣。所有人面臨的選擇一樣即公平。比如五個(gè)人摸A、B、C、D、E五張卡片，任何人都有同等的機(jī)會(huì)先摸和后摸，都有等同的摸到和摸不到的可能性，任何人都有挑選卡片的權(quán)利，先摸的不一定贏，后摸的不一定輸。先后順序不影響每個(gè)人的“運(yùn)氣”，因?yàn)椴煌瑫r(shí)是絕對(duì)的，同時(shí)是相對(duì)的！——事實(shí)上，不可能做到“同時(shí)”，就算喊“1-2-3-開(kāi)始”大家齊摸，也不可能做到“真正意義上的同時(shí)”。

再看上述轉(zhuǎn)盤(pán)，顯而易見(jiàn)，對(duì)于4個(gè)同學(xué)來(lái)說(shuō)，每個(gè)人面臨的選擇是相同的，誰(shuí)先誰(shuí)后也不會(huì)影響獲勝的可能性，誰(shuí)都有1/9的可能性轉(zhuǎn)到“再轉(zhuǎn)一次”，毫無(wú)疑問(wèn)是公平的。

那么，為什么學(xué)生認(rèn)為不公平？從他們的直覺(jué)可以看到，最初他們認(rèn)為是公平的，認(rèn)為不公平的原因是“每個(gè)人獲勝的可能性等于2/9，但是先轉(zhuǎn)的同學(xué)的可能性大于2/9，而不等于2/9”。

二、可能性究竟是多少？

通過(guò)運(yùn)用全概率公式計(jì)算，非常驚奇地發(fā)現(xiàn)，這個(gè)可能性竟然恰好等于1/4！正好是生B的直覺(jué)：“我認(rèn)為是公平的，因?yàn)樗膫€(gè)人一共8份，每人都有2份，藍(lán)色不用管，那么每個(gè)人選中的可能性都是2/8”。下面概述思考計(jì)算過(guò)程。

獲勝者獲勝分兩種情況：第一種情況直接轉(zhuǎn)到規(guī)定色，可能性是2/9。第二種情況：第一次轉(zhuǎn)到藍(lán)色，重來(lái)。如果第二次轉(zhuǎn)到了紅色，那么概率由乘法原理得： × 。但第二次又要遇到兩種情形即轉(zhuǎn)到紅色和藍(lán)色，所以又分兩種情況計(jì)算。由乘法原理和加法原理得第二種情形現(xiàn)在概率為：

如果第一、第二次都轉(zhuǎn)到藍(lán)色，那么需要第三次又分兩種情況計(jì)算?？傻玫诙N情形現(xiàn)在概率為 ×（ + （ + ））。依此類推，如果第三次還是轉(zhuǎn)到藍(lán)色，可得第二種情形概率為 ×（ + （ + （ + ）））。繼續(xù)類推，可得獲勝概率等于

+ ×（ + （ + （ + （ + （…）））））= + × + × × + × × × +…+ × × ×… × …（全概率公式）

= ÷（1- ）= = （無(wú)窮等比數(shù)列求和公式）

【反思感悟】

學(xué)生們的直覺(jué)竟完全正確！本應(yīng)該得到老師的歡呼和贊賞！但我當(dāng)時(shí)卻認(rèn)為他是錯(cuò)誤的！我從教十年，至今沾沾自喜地認(rèn)為自己的課堂絕對(duì)不犯科學(xué)性錯(cuò)誤。自以為有了一定教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，很多時(shí)候就憑經(jīng)驗(yàn)來(lái)決定教學(xué)，可今天給我敲響了警鐘：教學(xué)相長(zhǎng)永無(wú)止境。教到老，學(xué)到老，決不是一句空話。endprint