朱家明，劉紅杉，朱運(yùn)良，程瑤瑤，于靜

(1．安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠233030;2．安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)會計(jì)學(xué)院，安徽 蚌埠233030)

股票間的相關(guān)性對于風(fēng)險(xiǎn)管理、投資決策具有重要影響．對于股票相關(guān)性的研究，現(xiàn)代金融理論主要基于經(jīng)濟(jì)基本面進(jìn)行解釋，即認(rèn)為相關(guān)性來源于影響資產(chǎn)現(xiàn)金流和影響資產(chǎn)折現(xiàn)率的基本面因素．股票市場作為復(fù)雜系統(tǒng)日益受到人們的關(guān)注，近年來，經(jīng)濟(jì)、數(shù)學(xué)、社會等領(lǐng)域的學(xué)者都開始用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及其相關(guān)概念來研究股票市場，進(jìn)而研究股票間相關(guān)性．

1 數(shù)據(jù)的獲取及假設(shè)

數(shù)據(jù)來源于安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)2014暑期數(shù)學(xué)建模模擬題［1］．為了便于解決問題，提出了以下假設(shè):1)股票數(shù)據(jù)可以簡單地看成時(shí)間序列數(shù)據(jù)，節(jié)假日的休市也不對股票序列的順序產(chǎn)生影響;2)文中股票的變動只與自身和相關(guān)股票有關(guān);3)以收益率為股票間相關(guān)性的度量指標(biāo)能夠很好的反映出股票間的相關(guān)性;4)Netdraw作圖能夠很好的反映變量組合間的關(guān)系．

2 補(bǔ)齊部分股票缺失的數(shù)據(jù)

2．1 研究準(zhǔn)備

研究數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，考慮現(xiàn)金紅利再投資的周個(gè)股回報(bào)率數(shù)據(jù)的缺少是由于缺少上周收盤價(jià)Pi(t－1)的數(shù)據(jù)，它與本周開盤價(jià)Qi(t)數(shù)值非常接近．首先把每只股票上周的收盤價(jià)Pi(t－1)減去本周的開盤價(jià)Qi(t)，將差值求和取平均，最后利用本周開盤價(jià)Qi(t)加上差值平均值來近似代替上周收盤價(jià)Pi(t－1)，即:

2．2 研究方法及結(jié)論

對于每只股票，考慮現(xiàn)金紅利再投資的周個(gè)股回報(bào)率ai和不考慮現(xiàn)金紅利再投資的周個(gè)股回報(bào)率bi相等，利用公式:，便可得到缺失的數(shù)據(jù)(見表1)．

表1 缺失的數(shù)據(jù)填充表

3 以收益率為指標(biāo)度量股票間相關(guān)性

3．1 研究思路

現(xiàn)代投資組合理論中，人們用股票的預(yù)期收益率來描述預(yù)期收益，用收益率方差來度量風(fēng)險(xiǎn)，且線性相關(guān)系數(shù)越小，投資組合風(fēng)險(xiǎn)就越小，即收益率與股票的相關(guān)性大小關(guān)系密切，因此，選擇股票收益率作為股票間相關(guān)性度量指標(biāo)．

選取股票的收益率為度量指標(biāo)，利用時(shí)間序列相關(guān)性知識，得出股票的相關(guān)系數(shù)矩陣［2］．

3．2 研究方法

選取第16周～第25周的沒有缺失數(shù)據(jù)的所有股票來進(jìn)行研究．利用公式計(jì)算股票收益率．

其中Pi(t)是股票i在第t周的周收盤價(jià)，Qi(t)是股票i在第t周的周開盤價(jià)，Ri(t)是股票i在第t周的周收益率．

cov(R1，R2)表示向量R1和R2間的協(xié)方差，σ1和σ2分別表示R1和R2間的標(biāo)準(zhǔn)方差，假設(shè)各數(shù)據(jù)的概率相等且為，則:

那么，相關(guān)系數(shù)為

3．3 研究結(jié)果

對上述模型，運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行求解［3］，繼而可得到股票的相關(guān)系數(shù)矩陣:

4 基于相關(guān)系數(shù)和最佳閾值的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

4．1 研究思路

由于股票價(jià)格的缺失對于模型求解結(jié)果存在較大的影響，故要對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，選出合適的股票，根據(jù)每只股票的收益率，運(yùn)用Matlab編程可求得股票間的相關(guān)系數(shù)矩陣．其次，在給定閾值0．5的基礎(chǔ)上，選取一系列新的閾值，計(jì)算每個(gè)閾值下所構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的最大連通子圖節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，選取其節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)變化穩(wěn)定時(shí)的閾值作為最佳閾值．最后，基于相關(guān)系數(shù)和最佳閾值來構(gòu)建股票網(wǎng)絡(luò)［4］．

4．2 研究方法

對前面所選取的數(shù)據(jù)，利用(3)式和Matlab編程，可求得解股票的相關(guān)系數(shù)矩陣:

股票代表網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)，如果相關(guān)系數(shù)ρ12≥θ(θ∈［－1，1］)，就認(rèn)為節(jié)點(diǎn)i和j之間有連邊，這里的θ即閾值點(diǎn)．閾值在一定區(qū)間變化時(shí)，網(wǎng)絡(luò)是高度聚類的，具有明顯的拓?fù)湫再|(zhì)．

在給定閾值0．5的基礎(chǔ)上，選取一系列新的閾值點(diǎn)，可求得每個(gè)閾值所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)連接的總邊數(shù)，近而比較不同閾值下的總邊數(shù)變化(見表2)．

表2 不同閾值下所構(gòu)建股票網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)連接的總邊數(shù)變化表

為直觀了解閾值與股票數(shù)的相關(guān)關(guān)系，對表2利用Excel作圖(見圖1)．

圖1 不同閾值與所構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)連接的總邊數(shù)變化折線圖

從圖1可以看出，閾值在0．6以后，所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)連接的總邊數(shù)變化較平穩(wěn)，并且可以看出閾值在0．657之前，最大連通子圖的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)變化較快，到0．6時(shí)變化開始變得平緩．發(fā)現(xiàn)閾值為0．6時(shí)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)較穩(wěn)定，因此選取0．6為最佳閾值．由此運(yùn)用軟件Netdraw可繪出基于相關(guān)系數(shù)和最佳閾值構(gòu)建的股票網(wǎng)絡(luò)(見圖2)．

圖2 基于相關(guān)系數(shù)和最佳閾值構(gòu)建的股票網(wǎng)絡(luò)

4．3 結(jié)果分析

當(dāng)某些股票連接較多的節(jié)點(diǎn)時(shí)，這些股票的波動會直接影響著其他較多股票的走勢．這些反映整體價(jià)格走勢的點(diǎn)代表，相互連接程度高，股價(jià)的波動較容易在市場中傳播．與其他股票交往頻繁、聯(lián)系緊密的節(jié)點(diǎn)，本文稱作股票網(wǎng)絡(luò)的核心節(jié)點(diǎn);當(dāng)某些股票的相鄰股票節(jié)點(diǎn)數(shù)為2～4個(gè)時(shí)，它們沿分支方向調(diào)整和傳遞波動的信息，本文稱作股票網(wǎng)絡(luò)的中間節(jié)點(diǎn);當(dāng)某些股票只有一條邊與其他節(jié)點(diǎn)連接時(shí)，則說明它與其他的股票交往較少，相關(guān)度不大，本文稱作邊界節(jié)點(diǎn)．

5 基于系統(tǒng)聚類法劃分中國股票市場類型

5．1 研究思路

系統(tǒng)聚類法［5］基本思想是:聚類開始時(shí)將n個(gè)樣品(或p個(gè)變量)各自歸為一類，并規(guī)定樣品(或變量)之間的距離和類與類之間的距離，然后將距離最近的兩類合并成一個(gè)新類，計(jì)算新類與其他類之間的距離，重復(fù)進(jìn)行兩個(gè)最近類的合并，每次減少一類，直至所有的樣品(或變量)合并為一類，最后形成一個(gè)親疏關(guān)系圖譜(見圖3)．

圖3 最短距離法的聚類樹型圖

5．2 研究方法

本文采用最短距離法聚類，步驟如下:

1)將初始的每個(gè)樣品各自作為一類，并規(guī)定樣品之間的距離，本文采用歐氏距離．計(jì)算n個(gè)樣品之間的距離矩陣D(0)，它是一個(gè)對稱矩陣．其中，第i個(gè)樣品Xi和第j個(gè)樣品Xj之間的歐式距離定義為:

2)尋找D(0)中最小元素，設(shè)為DLK，將GK和GL聚成一個(gè)新類，記為GM，即GM= { GK，GL}．

3)計(jì)算新類GM與任一類GJ之間距離的遞推公式為

對距離矩陣D(0)進(jìn)行修改，將GK和GL所在的行和列合并成一個(gè)新行新列，對應(yīng)GM，新行和新列上的新距離由遞推公式計(jì)算，其余行列上的值不變，這樣得到的新距離矩陣記為D(1)．

4)對D(1)重復(fù)上述對D(0)的兩步操作，得到距離矩陣D(2)，如此下去，直至所有元素合并成一類為止．

5．3 結(jié)果分析

運(yùn)行Matlab編程，可求得部分系統(tǒng)聚類分析的結(jié)果(見表3)．

表3 部分聚類分析結(jié)果以及現(xiàn)實(shí)板塊對比表

從表3中可以看出，所求得的股票板塊劃分結(jié)果與現(xiàn)實(shí)的有所不同，主要是由于劃分標(biāo)準(zhǔn)不相同，上表所采取的劃分標(biāo)準(zhǔn)是按股票的收益率，但是已有的結(jié)果是通過股票背后的市場類型來進(jìn)行劃分的．通過劃分的結(jié)果與原來板塊進(jìn)行對比還可以發(fā)現(xiàn)，原來在同一板塊的股票在劃分之后基本上還在同一板塊，這是由于同一板塊的股票具有相似的變化趨勢，原來板塊內(nèi)部股票的收益率也有一定相關(guān)性，這與本文的劃分標(biāo)準(zhǔn)有重合點(diǎn)，這就是劃分后每個(gè)版塊的股票種類沒有很大變化的重要原因．

6 結(jié)論

本文通過綜合運(yùn)用上述相關(guān)性分析、系統(tǒng)聚類分析、網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建等方法，以收益率為指標(biāo)，最終建立了基于相關(guān)系數(shù)和最佳系數(shù)的股票網(wǎng)絡(luò)，為劃分中國股票市場中的板塊提供了可行性方案［6］．本文所建立的股票間相關(guān)性度量指標(biāo)模型簡潔便于理解，為股票之間的相互作用提供了理論基礎(chǔ)，也為股票市場中股票投資組合風(fēng)險(xiǎn)的研究提供一定的研究基礎(chǔ)．

［1］2014 年安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)建模模擬賽 A 題．［EB/OL］．http://zhujm1973．blog．163．com/blog/static/315513552014923288768．

［2］彭宏．股票數(shù)據(jù)流的相關(guān)性計(jì)算方法［J］．華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)．2006，34(1):86－89．

［3］吳禮斌，閆云俠．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模［M］．天津:天津教育出版社，2009．

［4］吳翎燕．基于相關(guān)系數(shù)和最佳閾值的股票網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建［J］．復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2013，10(4):49－55．

［5］謝中華．MATLAB統(tǒng)計(jì)分析與應(yīng)用:40個(gè)案例分析［M］．北京:北京航天航空大學(xué)出版社，2012．

［6］王婷，朱家明，韋銳，等．中國GDP影響因素及可持續(xù)發(fā)展的計(jì)量分析［J］．菏澤學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，36(2):8－15．