?

一類二階四元數(shù)方陣保左譜的線性映射表示*

袁庚

(青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，山東青島266061)

摘要：設(shè)Q表示四元數(shù)集合，Mn(Q)表示n×n四元數(shù)矩陣的集合.對于四元數(shù)右線性映射Φ(A)=UAU-1或Φ(A)=UATU-1： M2(Q)→M2(Q)，若σl[ Φ (A) ] =σl(A)，則四元數(shù)酉陣U是實數(shù)矩陣.

關(guān)鍵詞：四元數(shù)方陣；保左譜；線性映射

引言

設(shè)R，C分別表示實數(shù)域與復(fù)數(shù)域，Q表示具有形式q=q0+ q1i + q2j + q3k∈Q的所有四元數(shù)集合，其中i2= j2= k2=-1，ij =-ji=k，jk =-kj=i，ki =-ik=j.對任意的q=q0+ q1i + q2j + q3k，=q0-q1i-q2j-q3k稱為q的共軛，記為.

設(shè)K=R，C或Q，元素屬于K的n×n階矩陣的全體記為Mn(K).對于A∈Mn(Q)，用、AT、A*分別表示四元數(shù)矩陣A的共軛矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣、共軛轉(zhuǎn)置矩陣.若A*= A則稱A為四元數(shù)自共軛矩陣；若AA*= A*A=I，則稱A為四元數(shù)酉矩陣.用Un(Q)表示n階四元數(shù)酉陣的全體，SCn(Q)表示n階四元數(shù)自共軛矩陣的全體，GLn(Q)表示n階四元數(shù)可逆矩陣的全體，CM2(C)為所有元素為復(fù)數(shù)的2×2階矩陣.

對于A∈Mn(Q)，若存在μ∈Q與n維非零列矢量X使得AX=Xμ，稱μ為A的左特征值.稱A的左特征值的集合為A的左譜，記為σl(A).

Wood［1］利用代數(shù)拓撲的方法證明四元數(shù)矩陣A∈Mn(Q)時，σl(A)是非空的，并且指出可以通過解二次方程來計算2×2階四元數(shù)矩陣的左特征值.Huang和So［2］利用四元數(shù)二次方程給出了2×2階四元數(shù)矩陣左特征值的計算過程，同時刻畫了2×2階四元數(shù)矩陣的左譜.Zhang［3］給出下面例子說明四元數(shù)矩陣的左譜不是相似不變的.

A∈Mn(Q)，α1，α2∈Q，ζ1，ζ2∈Qn，

A(α1ζ1+α2ζ2)=Aα1ζ1+ Aα2ζ2

一般不再成立.但是

A(ζ1+ζ2)=Aζ1+ Aζ2，ζ1，ζ2∈Qn； A(ζq)=(Aζ) q，ζ∈Qn，q∈Q

總是成立的，滿足

A(ζ1+ζ2)=Aζ1+ Aζ2，ζ1，ζ2∈Qn與A(ζq)=(Aζ) q，ζ∈Qn，q∈Q

的矩陣A稱為四元數(shù)的右線性映射.

在過去的30年里，很多作者討論了線性保的問題以及線性保有關(guān)的問題，關(guān)于這方面的內(nèi)容請參考文獻［4～7］.注意到四元數(shù)矩陣A的左譜不是酉不變的，而四元數(shù)矩陣作為線性變換的運算也不同于實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上矩陣的運算，本文主要討論了一類四元數(shù)線性變換保左譜的具體形式.下面定理是本文的主要結(jié)果.

定理1設(shè)A∈M2(Q)，U∈U2(Q)，若四元數(shù)右線性映射Φ(A)=UAU*或Φ(A)=UATU*： M2(Q) →M2(Q)滿足σl[ Φ (A) ] =σl(A)，則四元數(shù)酉陣U是實矩陣.

1　定理1的證明

1.1輔助引理

引理1[2 ]設(shè)，如果bc=0則σl(A) ={ a，d } ；如果bc≠0，則：

σl(A) ={ a + bλ：λ2+ b-1(a-d)λ-b-1b =0}

引理2[2 ]設(shè)，則σl(A)是無限的當且僅當bc≠0，b-1(a-d)∈R，b-1c∈R，且.特別的，如果σl(A)是無限的.

定義1 Φ： M2(Q)→M2(Q)稱為四元數(shù)右線性映射，如果它滿足：

引理3對于任意的A∈CM2(C)，U∈U2(Q)，若四元數(shù)右線性映射Φ(A)=UAU*滿足σl[ Φ (A) ] =σl(A)，則U具有以下形式：

證明當滿足命題條件且Φ(A)=UAU*時，確定U的表示.

因為U∈U2(Q)，設(shè)，由酉陣性質(zhì)可得：

因為Φ(A)=UAU*，取，則：

顯然，σl(A)中的元素是無限的，由σl[ Φ(A)] =σl(A)，若方程有無限解，由引理2，則：

由a-112a21∈R且a21=-a12，a-112=∈R可以得到，即，從而a12∈R.又由，a12∈R，得到a11-a22∈R.

由酉陣性質(zhì)可得：

若假設(shè)s3= 0，則由s1+ s23s2= 0可以得到s1= 0，從而有，這與U是酉陣矛盾，假設(shè)不成立，舍去.

當s3≠0時，由s3(1 + s1s2)=0，得到1 + s1s2= 0；由s1+ s23s2= 0，得到s2s3=±1.

當s2s3= 1時，由s1+ s23s2= 0，得到s1=-s3，繼而得到：

由U是酉陣，得到u211+ s21u211= 1，由1 + s21＞0得到u211＞0，即u11∈R，可以得到U的形式為：

當s2s3=-1時，由s1+ s23s2= 0得到s1= s3，繼而得到：

由U是酉陣，得到-u211-s21u211= 1，由1 + s21＞0，得u211＜0，繼而得到U的形式為：

1.2定理1的證明

令A(yù)=A1+ A2j，A1，A2j∈C，由定義1可以得到：

Φ(A1+ A2j) =Φ(A1) +Φ(A2j) =Φ(A1) +Φ(A2) j

若σl[ Φ (A) ] =σl(A)，由引理3，則：

Φ(A1)=UA1U*；Φ(A2)=UA2U*

顯然Φ(A2) j≠Φ(A2j)，舍去.

類似可證明Φ(A)=UATU*的情況.

2　結(jié)語

本文在M2(Q)→M2(Q)的條件下刻畫了右線性映射Φ保左譜的具體形式，這個結(jié)果，有利于提高復(fù)雜四元數(shù)矩陣左譜的計算效率，同時也有益于更一般四元數(shù)矩陣左譜問題的研究.

參考文獻：

［1］Wood R M W.Quaternionic eigenvalues［J］.Bull，London Math.Soc.，1985，17：137-138.

［2］Huang Liping，Wasin S.On Left Eigenvalues of a Quaternionic Matrix［J］.Linear Algebra and Its Application，2001，323：105-116.

［3］Zhang Fuzhen.Quaternions and Matrices of Quaternions［J］.Linear Algebra and its Applications，1997，251：21-57.

［4］Li C K，Tsing N K.Linear preserver problems： a brief introduction and some special techniques［J］.Lin.Alg.，1994，162-164： 217-235.

［5］Dokovic D Z，Li C.K，Overgroups of some classical linear groups with applications to linear preserver problems［J］.Lin，Alg.，1994，197-198：31-61.

［6］Guterman A，Li C K，Seml P.Some general techniques on linear preserver［J］.Lin.Alg.，2003，315：61-81.

［7］Li C K，Pierce S.Linear preserver problems［J］.Amer.Math.2001，108：591-605.

Linear Maps Preserving Left Spectrum of 2×2Quaternion Matrices

YUAN Geng

(Department of Mathematics，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao 266042，China)

Abstract：Let Q be the set of quaternion numbers and Mn(Q) the set of n×n quaternion matrices.If quaternion right linear Maps Φ(A)=UAU-1or Φ(A)=UATU-1： M2(Q)→M2(Q) preserving Left Spectrum，then quaternion unitary matrix is real.

Key words：quaternion matrices； left spectrum； linear maps

作者簡介：袁庚(1985-)，男，山東曹縣人，在讀碩士研究生，研究方向：代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用.

*收稿日期：2015-03-02

文章編號：1673-2103(2015) 02-0006-04

中圖分類號：O151.24

文獻標志碼：A