馮回祥

小學(xué)數(shù)學(xué)教師為什么要學(xué)點(diǎn)邏輯知識(shí)？因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維教學(xué)，其關(guān)鍵就是讓學(xué)生掌握概念、判斷和推理的方法，提高學(xué)生的思維能力。作為教師，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問題不僅要知其然，還要知其所以然，這也是對(duì)教師的專業(yè)要求。同時(shí)，學(xué)習(xí)邏輯是信息時(shí)代的需要，面對(duì)各種各樣的信息，需要人們正確地進(jìn)行判斷和推理，作出決策。最后，良好的邏輯思維是形成批判性思維的核心基礎(chǔ)。如果一個(gè)人的邏輯思維較差，要他具備批判性思維那是不現(xiàn)實(shí)的。因此，要培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，教師自己必須具備批判性思維的素養(yǎng)，那么掌握一定的邏輯知識(shí)就成為了必然。

普通邏輯學(xué)涉及到的內(nèi)容和方法較為廣泛，需要系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際需要，筆者認(rèn)為，在以下幾個(gè)方面要重點(diǎn)學(xué)習(xí)。比如了解什么是邏輯學(xué)，什么是思維。其中比較重要的是了解思維最基本的三種形式：概念、批判和推理。

第一，了解什么是概念。概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式。

屬性，分本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。本質(zhì)屬性是指能與其他事物相區(qū)別的屬性；非本質(zhì)屬性不是事物獨(dú)有的屬性。例如，“有一個(gè)公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形”是“角”這個(gè)事物獨(dú)有的屬性，即“角”的本質(zhì)屬性。由這個(gè)屬性可以把“角”和其他圖形區(qū)別開。但“位置的不同”卻不是“角”所獨(dú)有的，是“角”的非本質(zhì)屬性。

概念的內(nèi)涵與外延。內(nèi)涵是指一個(gè)概念所概括的思維對(duì)象本質(zhì)屬性的總和。外延是指一個(gè)概念所概括的思維對(duì)象的數(shù)量或范圍，它是一些具體的事物。例如：“商品”這一概念的內(nèi)涵是，為了交換而生產(chǎn)的勞動(dòng)產(chǎn)品。而這個(gè)概念的外延是市場(chǎng)上的汽車、房子、食品等等。又如：“質(zhì)數(shù)”的概念的內(nèi)涵是，“只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)”，它的外延是2，3，5，7等一切具體的質(zhì)數(shù)。概念的內(nèi)涵與外延是概念質(zhì)和量的兩個(gè)方面。了解概念的內(nèi)涵與外延，對(duì)于人們正確地理解概念、準(zhǔn)確地運(yùn)用概念，具有重要意義。若我們掌握了某一概念的內(nèi)涵與外延，則這個(gè)概念就是明確的；反之，就是對(duì)這一概念沒有掌握或沒有完全掌握。因此，掌握一個(gè)概念的內(nèi)涵與外延的程度是衡量我們對(duì)概念明確到什么程度的標(biāo)準(zhǔn)。由于概念的種類較多，概念間也存在著許多關(guān)系，需要我們慢慢去了解。

怎樣給概念下定義，下定義時(shí)必須遵守哪些規(guī)則？

一是定義的內(nèi)涵。定義是通過(guò)簡(jiǎn)明的陳述以揭示概念內(nèi)涵或外延的邏輯方法，也就是通過(guò)指出概念所反映事物的本質(zhì)屬性來(lái)明確概念的邏輯方法。

例如：（1）一個(gè)數(shù)中每一個(gè)數(shù)字所占的位置叫做數(shù)位。

（2）“≥”叫做大于或等于號(hào)。

定義由被定義項(xiàng)、定義項(xiàng)和定義的聯(lián)項(xiàng)三部分組成。

被定義項(xiàng)，是需要加以說(shuō)明的概念。如上例中“數(shù)位”和“≥”。

定義項(xiàng)，是用來(lái)明確被定義項(xiàng)的概念。如上例中“一個(gè)數(shù)中每一個(gè)數(shù)字所占的位置”和“大于和等于的符號(hào)”。

定義聯(lián)項(xiàng)，是用來(lái)聯(lián)合被定義項(xiàng)和定義項(xiàng)的語(yǔ)詞。如上例中的“叫做”。

二是定義的方法。定義的方法有多種，與小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的有：

屬加種差法。在給一些具有屬種關(guān)系的種概念下定義時(shí)，首先指出被定義的概念最鄰近的屬概念是什么，再確定在這個(gè)屬里它與其他種概念的差別（簡(jiǎn)稱“種差”），從而對(duì)概念下定義，通常把這種定義方法叫屬加種差法。其結(jié)構(gòu)是：鄰近的屬概念+種差=被定義概念。例如：兩組對(duì)邊分別平行（種差）的四邊形（屬）叫做平行四邊形（被定義概念）。

屬加種差法所下的定義一般不是唯一的，在同一數(shù)學(xué)體系中一般只能采用一個(gè)定義，其他可以由所給的定義推出，作為性質(zhì)定理處理。

外延定義法。在給一個(gè)已知各個(gè)種概念下定義時(shí)，通常列出這些種概念給這個(gè)屬概念下定義，這種定義方法稱為外延定義。

例如：（1）有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

（2）整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

約定式定義法。根據(jù)數(shù)學(xué)上某種特殊需要，通過(guò)約定的方式來(lái)下定義。例如：為了實(shí)際計(jì)算的需要，規(guī)定a×1=a，a×0=0，0/a=0（a≠0），a/1=a。約定式定義所作的規(guī)定，都不是憑主觀臆造的，而是以符合客觀規(guī)律為基礎(chǔ)的。

三是定義的規(guī)則。給概念下定義有嚴(yán)格規(guī)則，否則就會(huì)犯邏輯錯(cuò)誤。

規(guī)則一，定義應(yīng)當(dāng)是相稱的。這就是說(shuō)定義項(xiàng)的外延與被定義項(xiàng)的外延應(yīng)當(dāng)全同，違反這一規(guī)則就犯了“定義過(guò)寬”或“定義過(guò)窄”的邏輯錯(cuò)誤。例如：（1）無(wú)限小數(shù)是循環(huán)小數(shù)（定義過(guò)寬——定義項(xiàng)的外延大于被定義項(xiàng)的外延）；（2）四邊和四角皆相等的四邊形叫做矩形（定義過(guò)窄——定義項(xiàng)的外延小于被定義項(xiàng)的外延）。

規(guī)則二，定義不應(yīng)當(dāng)是循環(huán)的。這是說(shuō)在給概念下定義時(shí)，不能用被定義項(xiàng)來(lái)說(shuō)明自己。違反這一規(guī)則就犯了“循環(huán)定義”的邏輯錯(cuò)誤。例如：乘法是幾個(gè)數(shù)相乘的方法。

規(guī)則三，定義應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)單明確。這就是說(shuō)定義項(xiàng)應(yīng)當(dāng)明白、確切，不應(yīng)含糊不清，也不能用比喻。違反這一規(guī)則就犯了“定義不清”或“以比喻代定義”的邏輯錯(cuò)誤。例如：（1）正方形是有規(guī)則的四邊形。（2）像足球那樣的幾何體叫球。

規(guī)則四，定義一般不采取否定式。這條規(guī)則的要求是除了給否定概念下定義以外，定義項(xiàng)一般不用否定概念，也不用否定判斷下定義。違反這條規(guī)則就犯了“定義否定”的邏輯錯(cuò)誤。例如：梯形是非兩組對(duì)邊平行的四邊形。

第二，什么是判斷。人們建立了許多概念以后，就可以應(yīng)用這些概念去判定客觀事物的情況。對(duì)客觀事物有所判定的思維形式叫做判斷。判定事物具有某種屬性，是肯定；判斷事物不具有某種屬性，是否定。例如：正方形是特殊的長(zhǎng)方形為肯定；梯形不是平形四邊形是否定。判斷可分為簡(jiǎn)單判斷和復(fù)合判斷兩種。

1.簡(jiǎn)單判斷，是指不包含其他判斷的判斷。這種判斷又分為兩種：（1）性質(zhì)判斷，是判定事物具有或不具有某種性質(zhì)的判斷。例如：“3是奇數(shù)”，“有些自然數(shù)不是偶數(shù)”，“所有分?jǐn)?shù)都能化成小數(shù)”，這都是性質(zhì)判定。（2）關(guān)系判斷，是指判定事物間關(guān)系的判斷。例如：有的角大于直角；[2]大于1 。

2.復(fù)合判斷，是包含其他判斷的判斷。這種判斷包含幾種情況：（1）聯(lián)言判斷，是判定幾種事物情況共存的判斷。例如：1既不是質(zhì)數(shù)，又不是合數(shù)。（2）選言判斷，是判定可能有的幾種事物情況的判斷。例如，這個(gè)數(shù)被4除余數(shù)是0，或是1，或是2，或是3；一個(gè)自然數(shù)要么是偶數(shù)，要么是奇數(shù)，（3）假言判斷，是判定一種事物情況為另一種事物情況的條件的判斷。如，如果a×b=1，那么a和b成反比例；只有x≠0時(shí)，才能使1/x有意義。（4）多重復(fù)合判斷，是由復(fù)合判斷組成的判斷。如，7248的末尾數(shù)8能被2整除，而不能被5整除，所以7248是2的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)。

第三，什么是推理。即由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（命題），推出一個(gè)新的判斷（命題）的思維形式。例如：

（1）∵長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5厘米，寬是3厘米。

∴長(zhǎng)方形的面積是5×3=15（平方厘米）。

（2）由3×4=12

33×34=1122

333×334=111222

……

推出一般結(jié)果：

推理包含前提和結(jié)論兩個(gè)部分。前提是已知的判斷，是推理的出發(fā)點(diǎn)和根據(jù)。結(jié)論是由前提而推出新的判斷，是推理的結(jié)果。由于結(jié)論是由前提推斷出來(lái)的新判斷，因此，在推理中有“推出關(guān)系”，沒有推出關(guān)系的一些判斷的堆積，不是推理。例如：（1）偶數(shù)2是質(zhì)數(shù)，所以有的偶數(shù)是質(zhì)數(shù)；（2）5是自然數(shù)，7是自然數(shù)；（3）所有自然數(shù)是整數(shù)，2+5>6，3是質(zhì)數(shù)。其中例（1）有推理關(guān)系，可以組成推理（當(dāng)然是個(gè)錯(cuò)誤的推理），例（2）不具有推理關(guān)系，例（3）幾個(gè)判斷之間沒有邏輯關(guān)系，所以他們不能組成推理。

判斷具有真假性，因此由已知判斷推出的新判斷（即推理）也有真假性。一般來(lái)說(shuō)，“如果前提為真，推理正確，結(jié)論也必然為真；如果前提為真，推理錯(cuò)誤，結(jié)論就可真可假；如果前提為假，推理正確，結(jié)論也可真可假”。從一個(gè)前提出發(fā)，經(jīng)過(guò)某種推理，得出一個(gè)假的判斷，那么可以判斷前提為假，或者推理錯(cuò)誤。例如：

（1）∵有些奇數(shù)是9的倍數(shù)，有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)

∴有些質(zhì)數(shù)是9的倍數(shù)

（2）∵130÷50=13÷5 13÷5=2……3

∴ 130÷50=2……3

例（1）（2）盡管前提都是真實(shí)的，但由于推理不合乎邏輯規(guī)則和邏輯規(guī)律，因此得到的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

推理這種思維形式有重要的作用，它是我們獲取新知識(shí)（間接地）以及說(shuō)明和論證問題的重要手段。

首先，推理是人們根據(jù)已知推未知，擴(kuò)充知識(shí)的重要方法。小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多規(guī)律、性質(zhì)和法則等都是通過(guò)推理的思維形式得到的。例如：如圖，比較[34]、[68]、[912]的大小。

從圖中可以看出：[34]=[68]=[912]

再運(yùn)用這個(gè)判斷進(jìn)行推理，可得：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘或者除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

其次，推理是解答、論證問題的重要手段。

綜上不難看出：概念是組成判斷的要素，判斷則是概念的繼續(xù)和展開，是對(duì)概念的說(shuō)明。判斷是組成推理的成份，沒有判斷，就不會(huì)有推理，就不會(huì)對(duì)事物有所判定，也就談不上認(rèn)識(shí)客觀世界。

學(xué)習(xí)邏輯知識(shí)，掌握邏輯方法，提升自身的綜合素養(yǎng)，是時(shí)代對(duì)我們的要求。高素質(zhì)的教師，是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)的重要基礎(chǔ)，也是提高教育質(zhì)量的基本保障。

（作者單位：華中科技大學(xué)附屬小學(xué)）

責(zé)任編輯 嚴(yán) 芳