張學成，厲澤林，許照新

（吉林大學 機械科學與工程學院，長春 130025）

蝸桿傳動中，錐蝸桿傳動具有顯著的優(yōu)點，因而自其誕生以來即受到普遍重視［1，2］，并推廣應用。雙導程直線接觸偏執(zhí)蝸桿傳動是一種新型的錐蝸桿傳動方式［3-5］，蝸輪蝸桿傳動的嚙入和嚙出分別是基于具有漸開線齒形、齒面瞬時接觸狀態(tài)為直線接觸的外嚙合和內(nèi)嚙合空間相錯軸螺旋齒輪傳動的原理，蝸輪和蝸桿的內(nèi)外嚙合齒面是分別由各自兩個同軸的基圓柱形成的螺旋漸開面。蝸輪和蝸桿的內(nèi)外嚙合齒面的基圓柱均擁有公切面，具有雙導程特征的蝸桿置于齒輪的端面一側(cè)，且從齒輪的端面嚙入嚙出。研究結(jié)果表明，雙導程直線接觸偏執(zhí)蝸桿傳動除了具有傳統(tǒng)錐蝸桿傳動的優(yōu)點之外，其顯著特點是蝸桿傳動原理十分簡單，嚙合傳動具有漸開線齒形螺旋齒輪傳動的所有特征，設計過程與方法簡單。然而，蝸桿的加工制造需要單側(cè)齒面分別加工［3］，加工和檢驗較普通蝸桿難度大、效率低。本文提出雙導程直線接觸偏執(zhí)蝸桿傳動中蝸桿齒面的工程替代方法，將蝸桿轉(zhuǎn)換成齒面為阿基米德螺旋面的錐形螺桿。錐蝸桿沿分度錐母線的導程相等，可以用錐螺紋制作工藝方法加工制造。同時提出和分析配對蝸輪蝸桿傳動副嚙合傳動的接觸問題。

1 雙導程偏置蝸桿傳動蝸桿齒面與齒形分析

雙導程直線接觸偏置蝸桿傳動副中的蝸桿，其兩側(cè)齒面分別是兩個基圓柱半徑為rb2和、螺旋升角分別為和的漸開螺旋面和，如圖1所示。

圖1 蝸桿兩側(cè)齒面-漸開螺旋面

建立直角坐標系OXYZ，Σ2的方程式［6］可以表示為：

式中，rb2是基圓半徑，θ和φ是兩個參數(shù)，φ是常數(shù)時表示曲面上的不同螺旋線，θ是常數(shù)時表示不同位置的漸開線，它們的螺距同為p，且

圖2 漸開螺旋面∑2截形

以半徑為rb2的基圓柱切平面Q截Σ2，兩個面的交線為Q面內(nèi)一夾角為βb1的等距平行直線族，平行直線的軸向距離即為蝸桿外嚙合側(cè)齒面的螺距p，如圖2。式（1）中令y=rb2，即可以得到直線方程

以過軸線、與Q面平行的平面Γ截Σ2，兩個面的交線為Γ面內(nèi)一簇等距的平行曲線，如圖2所示。式（1）中令y=0，即可以得到曲線方程

在軸截面Γ內(nèi)作直線X1=R1和X2=R2，它們與曲線的交點設為（z1，x1）、（z2，x2），連接兩點作曲線的割線L’—L’，得直線方程

令 x1=R1=qrb2，x2=R2=nrb2，將它們分別帶入式（4），可解得z1、z2，于是可得

其斜率

在 x=R1到 x=R2范圍內(nèi)，根據(jù)幾何關(guān)系，略去高階小數(shù)，以割線替代截交曲線的誤差，依據(jù)公式（4）（5）（7）計算取為

圖3 漸開螺旋面截形

在軸截面Γ內(nèi)作直線x1=R1和x2=R2，它們與曲線的交點連接直線為曲線的割線

依據(jù)式（9）、（10）、（11）計算

在當誤差δ和δ1足夠小時，軸截面內(nèi)的齒形可近似為直線。

2 蝸桿傳動副接觸狀態(tài)與誤差分析

若以該阿基米德螺旋面的錐螺桿替代雙導程偏置蝸桿傳動的蝸桿，應在雙導程偏置蝸桿傳動中的Q和Q’截面內(nèi)，蝸桿的齒面截形為直線，且與斜率為tgβb1的理論直線重合。

令 y=rb2，即以Q面截阿基米德螺旋面，得交線方程

上式整理得

取截交線上的兩個點（x1，z1），（x2，z2）作割線，以此直線作為蝸桿的齒面截形，當該直線與理論直線吻合程度足夠高時，直線的斜率（設為tgβb1）與理論直線的斜率tgβb1應基本相同；又當以割線代替直線的誤差很小時，則該阿基米德錐蝸桿可以替代理論上的漸開螺旋面蝸桿。此時，仍可以看作是雙導程偏置蝸桿傳動，因蝸桿通常外形是錐形的，所以稱作準雙導程錐蝸桿傳動。

截交線的割線方程

其中，

割線斜率

參照式（8），以割線替代截交曲線的計算誤差取為

割線斜率與理論直線斜率的差值取為

截交線的割線方程

其中，

計算其割線替代截交線的計算誤差和割線斜率與理論直線斜率的差值，計算公式分別為

由上述分析，以阿基米德螺旋面替代漸開螺旋面，在Q和Q’截面內(nèi)，蝸桿與蝸輪齒面為近似直線接觸。以蝸桿截面內(nèi)的曲線的與理論直線比較，誤差在一般的機械加工精度范圍以內(nèi)。因此可以認為，以阿基米德蝸桿替代雙導程漸開螺旋面蝸桿，構(gòu)成準雙導程錐蝸桿傳動，可以實現(xiàn)正確的傳動關(guān)系。

3 錐蝸桿與蝸輪幾何參數(shù)設計與建模分析

圖4 兩個齒面軸截面Γ內(nèi)的齒形的擬合直線

以兩個齒面軸截面Γ內(nèi)的齒形的擬合直線作為等效齒形，可得幾何圖形如圖4。圖中，兩簇等距平行直線的傾角分別為和，在軸向方向的距離分別為兩個漸開螺旋面的螺距 p和p′，根據(jù)幾何關(guān)系，可推得，兩簇等距平行直線的交點連線與軸線O的夾角θ定義為蝸桿的錐角，兩條虛線之間即為蝸桿的軸截面內(nèi)蝸桿牙齒的最大區(qū)域。定義兩條虛線的中線為蝸桿的分度圓錐母線，在此線上，齒厚與齒間槽相等。由此形成一個錐形螺桿，它等效于雙導程偏置蝸桿。

設蝸桿的錐面螺旋線螺距 pz，蝸桿的齒頂高ha、齒根高hf，齒厚s，分度錐小端直徑dm。

根據(jù)幾何關(guān)系可得

參照文獻［3］確定蝸桿的其它參數(shù)和蝸輪參數(shù)，依據(jù)參數(shù)做蝸輪蝸桿的模型如圖5所示，分別作Q截面、Q’截面、蝸輪任意軸斷面圖，Q截面、Q’截面內(nèi)蝸輪和蝸桿基本上為線接觸，蝸輪任意軸斷面內(nèi)只有在與Q、Q’截面相交處有接觸點，說明沒有干涉現(xiàn)象。這樣，以阿基米德蝸桿替代雙導程蝸桿，使傳動仍然符合空間相錯軸螺旋齒輪傳動原理，瞬時嚙合狀態(tài)為在兩個基圓柱公切面內(nèi)形成近似直線接觸。顯然，由于蝸桿構(gòu)型的簡化，使傳動副的加工制造更為簡單，因而工程實施更為簡便。

圖5 蝸輪蝸桿模型

圖6 蝸輪蝸桿傳動示例

制作上述參數(shù)的蝸桿傳動副，根據(jù)展成切削加工原理，運用滾削方法加工蝸輪。構(gòu)成傳動副如圖6所示。

制作的蝸桿傳動副樣件，進行空載傳動試驗，符合傳動的基本要求，未見傳動異?，F(xiàn)象。關(guān)于這種蝸桿的傳動性能方面，仍然需要進一步研究。

4 結(jié)論

數(shù)學理論分析表明，阿基米德螺旋面替代漸開螺旋面是可能的，這種蝸桿傳動副的蝸桿是一阿基米德螺旋面錐螺桿。蝸輪和蝸桿構(gòu)成的傳動仍遵循雙導程偏置蝸桿傳動原理，定義為準雙導程錐蝸桿傳動。產(chǎn)生的齒廓誤差與蝸桿直徑和基圓柱直徑的比值成反比。當蝸桿直徑與基圓柱直徑的比值大于5時，誤差可以忽略。

準雙導程錐蝸桿傳動中，利用阿基米德螺旋面替代蝸桿的漸開螺旋面，將蝸桿變成一等螺距錐螺桿，在工程上是可行的，具有設計加工制造簡單、容易的顯著優(yōu)點。在設計出蝸桿幾何形狀后，可以方便地利用錐螺紋加工方法制作蝸桿；像普通蝸輪加工方法一樣可以簡單地利用滾削方法加工蝸輪。

理論和傳動試驗表明，文中建立的蝸輪蝸桿設計方法和步驟簡潔方便，是正確的，也是有效和實用的。

運用工程近似方法設計制作蝸桿傳動副，勢必使傳動將偏離理論上的內(nèi)外嚙合傳動規(guī)則，其可能造成的不利因素有待進一步研究。

［1］Dennis T.Dudley’s Gear Handbook［M］.New York：2nd edn，McGraw-Hill New York，1991：36-104.

［2］傅則紹，趙松年.新型蝸桿傳動［M］.西安：陜西科學技術(shù)出版社，1999：34-72.

［3］張學成，聶建輝.雙導程直線接觸偏置蝸桿傳動I—傳動原理［J］.北京工業(yè)大學學報：自然科學版，2011，37（2）：161-165.

［4］張學成，聶建輝.雙導程直線接觸偏置蝸桿傳動II—齒面切削加工方法［J］.北京工業(yè)大學學報：自然科學版，2011，37（4）：494-500.

［5］張學成，聶建輝.雙導程直線接觸偏置蝸桿傳動III—幾何參數(shù)設計［J］.北京工業(yè)大學學報：自然科學版，2011，37（11）：1613-1626.

［6］數(shù)學手冊編寫組.數(shù)學手冊［M］.北京：人民教育出版社，1979：70-92.

［7］陳東元.飛刀滾切蝸輪［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1981：10-18.

［8］劉志學.圓柱齒輪加工基礎(chǔ)知識［M］.云南：云南人民出版社，1979：40-55.