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關(guān)于任意相依隨機(jī)序列的若干強(qiáng)大數(shù)定律

崔影,程成,范愛華

（安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽馬鞍山243032）

摘要：設(shè)是一列任意相依隨機(jī)變量序列，且。利用慢變化函數(shù)的性質(zhì)以及矩方法，再借助于Borel-Cantelli引理與概率論極限理論中的純分析方法，得到了任意相依但不同分布的隨機(jī)變量序列普遍成立的強(qiáng)大數(shù)定律成立的充分條件，推廣了已有的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：強(qiáng)大數(shù)定律；尾概率一致有界；慢變化函數(shù)

強(qiáng)大數(shù)定律是經(jīng)典極限理論的一個(gè)重要課題，長期以來一直受到研究者關(guān)注。如文獻(xiàn)[1-2]研究關(guān)于獨(dú)立同分布隨機(jī)序列的極限定理。文獻(xiàn)[3]中將信息論中經(jīng)典的關(guān)于獨(dú)立同分布隨機(jī)序列的漸進(jìn)均分性定理以及經(jīng)典的中心極限定理推廣到滑動(dòng)平均的情形。文獻(xiàn)[4]在前人研究的基礎(chǔ)上總結(jié)了關(guān)于獨(dú)立同分布隨機(jī)序列的強(qiáng)大數(shù)定律成立的幾種經(jīng)典結(jié)論。對(duì)獨(dú)立相同分布的隨機(jī)變量序列的極限定理當(dāng)推著名的Kolmogorov[5]以及Marcinkiewicz[6]強(qiáng)大數(shù)定律，對(duì)同分布但未必獨(dú)立的隨機(jī)序列成立的最普遍的結(jié)果是Petrov[7]于1973年得到的。文獻(xiàn)[8]研究了任意隨機(jī)序列的強(qiáng)極限定理，作為推論，得到了一類鞅差序列的強(qiáng)大數(shù)定律，一類隨機(jī)序列公平比的強(qiáng)極限定理，以及任意隨機(jī)序列部分和估計(jì)定理。文獻(xiàn)[9]研究了可交換隨機(jī)變量序列的極限定理，得到了可交換隨機(jī)變量序列的隨機(jī)強(qiáng)大數(shù)律及加權(quán)和定理。文獻(xiàn)[10]研究了任意B值隨機(jī)變量序列的強(qiáng)收斂性，得到了若干強(qiáng)極限定理和強(qiáng)大數(shù)定律。楊光等[11]給出了相依序列無規(guī)則性的若干強(qiáng)極限定理。近期汪忠志等[12]給出了任意相依離散隨機(jī)序列滑動(dòng)平均的強(qiáng)偏差定理。

1預(yù)備知識(shí)

本文利用慢變化函數(shù)的性質(zhì)以及矩方法，再借助于Borel-Cantelli引理與概率論極限理論中的純分析方法，探究任意相依但不同分布的隨機(jī)變量序列普遍成立的強(qiáng)大數(shù)定律成立的若干充分條件，推廣了文獻(xiàn)[13]的結(jié)果。

定義2[14 ]設(shè)是一隨機(jī)變量序列，X0為非負(fù)實(shí)值隨機(jī)變量，稱尾概率一致有界于X0,若存在正常數(shù)C,使得

引理1[14 ]設(shè)X是隨機(jī)變量，且P(| | X≥t)≤P(X0≥t),?t>0，其中X0為非負(fù)實(shí)值隨機(jī)變量。對(duì)?q>0,有

其中I[.]是示性函數(shù)。

2　主要結(jié)論

其中L: [1,∞ )→(0,+∞ )是非減慢變化函數(shù)。若

則

注在證明定理1之前，注意到如果(4)成立，則

成立，從而

由此可以推出

于是由式(4)可得

證明由條件(2)知bn→+∞,又因?yàn)?/p>

由Borel-Cantelli引理知

注意到

又

由Kronecker's引理可知只須證

在引理1中取q=1,t=bn,有

又由

故若證

只須證

由

由式(2)可知,?0

由式(8)，(4)得

從而

對(duì)0

則

證明由式(10)知bn→+∞,令b0=0，類似定理1的證明，只須證明

又有

從而

證明由馬爾可夫不等式，有

于是

根據(jù)定理1，若證

只須證

又

則由

得

從而

則

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯：丁吉海

On Some Strong Law of Large Numbers for Arbitrarily Dependent Random Sequences

CUI Ying, CHENG Cheng, FANAihua

(School of Mathematics & Physics Science and Engineering,Anhui University of Technology, Ma'anshan 243032, China )

Abstract:Letbe a sequence of arbitrarily dependent random variables with. By using the properties of slowly varying function and the method of moment, further by means of Borel-Cantelli lemma and the pure analysis method of probability limit theory, some sufficient conditions on strong law of large numbers for arbitrarily dependent but not identically distributed random variables are obtained, some classical results are generalized.

Key words:strong law of large numbers; uniformly bounded tail probability; slowly vary function

通信作者：范愛華(1964-)，女，安徽安慶人，教授，研究方向?yàn)楦怕收摌O限理論。

作者簡介：崔影(1987-)，女，安徽阜陽人，碩士生，研究方向?yàn)楦怕收摷捌鋺?yīng)用。

基金項(xiàng)目：安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1408085MA04)；安徽工業(yè)大學(xué)青年教師科研基金(QZ201314)；安徽工業(yè)大學(xué)研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目(2013093)

收稿日期：2014-10-27

文章編號(hào)：1671-7872(2015)-03-0293-05

doi：10.3969/j.issn.1671-7872.2015.03.018

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：O211.4；O236