林丹玲

（韓山師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學系，廣東 潮州， 521041）

考慮廣義Emden－Fowler中立型時滯微分方程

其中：z（t）＝x（t）＋p（t）x（τ（t）），α，β1，β2是常數(shù)，r（t）∈C1（［t0，∞），R），p（t），q1（t），q2（t），τ（t），σ1（t），σ2（t）∈C（［t0，∞），R），且有下列條件成立：

中立型時滯微分方程出現(xiàn)在高速計算機無損傳輸網(wǎng)絡的數(shù)學模型中，且在彈性桿的振動質(zhì)量、神經(jīng)力學系統(tǒng)中的慣性以及自動控制理論研究中均有廣泛應用［1－2］.因此，中立型微分方程（1）受到廣泛關注.但是，目前關于方程（1）的振動性研究還局限于它的特例情形，例如，最近的文獻可以參看文［3－14］及其引文.其中文［3］考慮了方程（1）當α＝1，q2（t）＝0的情形，即方程

作者建立了方程（2）的Philos型的振動準則.最近，文［6］對p（t）＝0，q2（t）＝0的情形，即對方程

給出了若干振動準則，改進了已有文獻的結果.

論文目的是研究一般形式的Emden－Fowler中立型時滯微分方程（1）.作者利用廣義Riccati變換和Young不等式，給出中立型微分方程（1）的若干新的振動準則.

中立型方程（1）的解稱為振動的，如果x（t）既不最終為正，也不最終為負.否則稱為非振動的.方程（1）稱為振動的，如果它的所有解都是振動的.

注：論文中的函數(shù)不等式，若不作特別說明，都是對一切充分大的t成立.

1 主要結果

引理1 設x（t）是方程（1）的最終正解，則存在t1≥t0，使得z（t）＞0，z′（t）＞0，z″（t）≤0，t≥t1.

證明 因x（t）是方程（1）的最終正解，由條件（H1）和（H3），有（r（t）｜z′（t）｜α－1z′（t））′≤0.因此函數(shù)r（t）｜z′（t）｜α－1z′（t）單調(diào)減少且最終定號.故z′（t）最終定號.即z′（t）＞0或z′（t）＜0.現(xiàn)斷言z′（t）＞0.否則如果z′（t）≤0，則存在t1≥t0，使得

故存在常數(shù)M＞0，使得

亦即

對上式積分，有

上式中令t→∞，注意到（H2），得到矛盾.因此z′（t）＞0.由方程（1）得到（r（t）（z′（t））α）′≤0.注意到r′（t）≥0，z′（t）＞0.因此由上式得z″（t）≤0.

引理2 設x（t）是方程（1）的最終正解，且下列兩式之一成立：

則z（t）＞tz′（t）且

證明 設x（t）是方程（1）的最終正解，由引理1知z′（t）＞0，因此有x（t）＞（1－p）z（t）.則由方程（1）產(chǎn)生

定義函數(shù)

則

故φ（t）單調(diào)增加且最終定號.故z′（t）最終定號.斷言φ（t）＞0.否則如果φ（t）≤0，有

聯(lián)合（6）和（7），得到

則有

對上式積分，有

上式中令t→∞，利用（4），得到矛盾.同樣，利用（5），也可得到矛盾.因此，斷言φ（t）＞0成立.證畢.

引理3［15－16］設則

引理4 設A＞0，B≥0，α＞0，x∈R，則

定理1 設（4）或（5）成立，且存在ρ（t）∈C1（［t0，∞），R＋），使得

其中

則方程（1）振動.

證明 設方程（1）存在非振動解x（t），不妨設x（t）最終為正，由引理1，有z（t）＞0，z′（t）＞0，t≥t1.令

則

利用（6），（11），有

由引理3，可得

因此，（12）成為

聯(lián)合（10），（13）和（14），得到

利用引理4，有

積分（16）產(chǎn)生

令t→∞，注意到（9），有W（t）→－∞，此與W（t）＞0矛盾.因此，方程（1）沒有最終正解.類似地，也不可能有最終負解.故方程（1）振動.定理1證畢.

推論1 設（4）或（5）成立，若

則方程（1）振動.

證明 只需在定理1中取ρ（t）＝1即可.

下面的定理是方程（1）的Kamenev型的振動準則.

定理2 設除（9）外定理1的全部假設成立，若當n＞1時，有

則方程（1）振動.其中：Q（t）由（10）定義.

證明 如同定理1的證明中一樣，設方程（1）有非振動解x（t），不妨設x（t）＞0，x（τ（t））＞0，x（σ1（t））＞0和x（σ2（t））＞0，t≥t1，故有z（t）＞0.令W（t）的定義同（11），則W（t）＞0，t≥t1.且（16）成立.由（16）得到

注意到

有

其中

因此

則

上式與條件（18）矛盾.定理2證畢.

下面利用Philos型的積分平均條件給出方程（1）的新的振動準則.為此引進函數(shù)類P.令

函數(shù)H∈C（D，R）稱為屬于P類，記作H∈P，如果

（i）H（t，t）＝0，t≥t0；H（t，s）＞0，（t，s）∈D0；

（ii）H在D0上對第二個變量有連續(xù)非正的偏導數(shù)，且存在h∈C（D0，R）和ρ∈C1（［t0，∞），R＋），使得

定理3 設（4）或（5）成立，且存在ρ（t）∈C1（［t0，∞），R＋）和H∈P，使得

其中：h（t，s）由（19）定義.則方程（1）振動.

證明 設方程（1）有非振動解x（t），不妨設x（t）最終為正，故存在t1≥t0，使當t≥t1時，有x（t）＞0，x（τ（t））＞0，x（σ1（t））＞0，x（σ2（t））＞0.當x（t）最終為負時可以類似地處理，刪去.定義函數(shù)W（t）如同（11），故有W（t）＞0，t≥t1.因此有（15）成立.

記

則由（15）得到

對上式利用引理4且注意到A（s）的定義，有

因此

上式與條件（20）矛盾.定理3證畢.

注：定理3推廣了文［3］和文［6］及其引文中的相關結果.上述文獻中的定理均不適用于論文的例子.

［1］Hale J K.Theory of functional differential equations［M］.New York：Springer，1977.

［2］Driver D R.A mixed neutral systems［J］.Nonlinear Anal，1984，8：155－158.

［3］Erbe L，Hassan T S，Peterson A.Oscillation of second order neutral delay differential equations［J］.Adv Dynamical Systems Appl，2008，3（1）：53－71.

［4］Han Z，Li T，Sun S，et al.Remarks on the paper［J］.Comput Math Appl，2010，215（11）：3998－4007.

［5］Han Z，Li T，Sun S，et al.On the oscillation of second order neutral delay differential equations［J］.Adv Differ Equ，2010（1）：1－8.

［6］Liu H，Meng F，Liu P.Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden－Fowler equation［J］.Appl Math Comput，2012，219（5）：2739－2748.

［7］Liu L H，Bai Y Z.New oscillation criteria for second order nonlinear neutral delay differential equations［J］.J Comput Appl Math，2009，231（2）：657－663.

［8］Saker S H，Manojlovic J V.Oscillation criteria for second order superlinear neutral delay differential equations［J］.Electron J Qual Theory Differ Equ，2004，10：1－22.

［9］Sun Y G，Meng F W.Note on the paper of Dzurina and Stavroulakis［J］.Appl Math Comput，2006，174（2）：1634－1641.

［10］蘇清華，沈雪梅.一類脈沖隨機微分系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性［J］.信陽師范學院學報：自然科學版，2014，27（3）：323－327.

［11］Sun Y G，Meng F W.Oscillation of second order delay differential equations with mixed nonlinearities［J］.Appl Math Comput，2009，207（1）：135－139.

［12］Tiryaki A.Oscillation criteria for a certain second order nonlinear differential equations with deviating arguments［J］.Electron J Qual Theory Differ Equ，2009，61：1－11.

［13］Xu R，Meng F W.Some new oscillation criteria for second order quasi－linear neutral delay differential equations［J］.Appl Math Comput，2006，182（1）：797－803.

［14］Xu R，Meng F W.Oscillation criteria for second order quasi－linear neutral delay differential equations［J］.Appl Math Comput，2007，192（1）：216－222.

［15］Hardy G，Littlewood J E，Polya G.Inequalities［M］.2nd ed.Cambridge：Cambridge University Press，1988.

［16］林丹玲，俞元洪.偶階中立型分布時滯不等式最終正解的不存在性［J］.安徽大學學報：自然科學版，2009，33（5）：5－9.