張 彪，周紹生

(1.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州310018;2.杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院，浙江 杭州310018)

0 引 言

作為對傳統(tǒng)模糊集合理論的擴(kuò)展，Zadeh 于1975年提出了二型模糊集合的概念[1]。在最近十年間，二型模糊集合理論與應(yīng)用取得了快速發(fā)展，二型模糊集合是在傳統(tǒng)模糊集合基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)維處理，使一個(gè)單一的模糊變量由兩個(gè)不同層次的隸屬函數(shù)來描述，其推理和設(shè)計(jì)的自由度得到了擴(kuò)展，因此二型模糊集合具有描述多重不確定信息的能力[2]。區(qū)間二型模糊集合將二型模糊集合的次隸屬度賦值為1，大大簡化了二型模糊邏輯運(yùn)算的復(fù)雜性。由于區(qū)間二型模糊集合既具有二型模糊集合描述不確定性問題的優(yōu)勢，同時(shí)又避免了二型模糊集合運(yùn)算過于復(fù)雜的問題，所以目前大多數(shù)基于二型模糊集合理論的應(yīng)用都采用區(qū)間二型模糊系統(tǒng)[3]。近幾年，區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的研究已經(jīng)成為熱點(diǎn)[4-7]。Lam等人利用包含在不確定域中的信息，引入松弛矩陣，得到了區(qū)間二型T-S 模糊系統(tǒng)保守性更小的穩(wěn)定性條件[4]，并研究了在不完全匹配條件下區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題[5];文獻(xiàn)[7]利用區(qū)間二型模糊集合隸屬函數(shù)的特性研究了帶有時(shí)滯的區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。另一方面，隨機(jī)系統(tǒng)的研究受到越來越多人的關(guān)注[8-9]。文獻(xiàn)[8]研究了帶有時(shí)滯的不確定隨機(jī)系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題，文獻(xiàn)[9]研究了一類不確定It^o 隨機(jī)T-S 模糊系統(tǒng)的魯棒隨機(jī)鎮(zhèn)定問題。到目前為止還很少有關(guān)于區(qū)間二型隨機(jī)模糊系統(tǒng)的研究，受此啟發(fā)，本文主要研究了帶有多個(gè)維納過程基于T-S模型的區(qū)間二型隨機(jī)模糊系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題，利用平行分布補(bǔ)償法設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，采用不等式變換技巧和Schur補(bǔ)引理，以線性矩陣不等式形式給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

1 系統(tǒng)描述

區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的優(yōu)勢是它可以直接處理系統(tǒng)中存在的不確定性。從式(4)可以看出，在系統(tǒng)模型中用非線性函數(shù))和來描述系統(tǒng)的不確定信息。同時(shí)式(4)也說明了不確定域中的內(nèi)嵌一型模糊集合的隸屬函數(shù)可以通過和由區(qū)間二型模糊集合的上、下隸屬函數(shù)重構(gòu)得到，在文獻(xiàn)[4]中，作者舉例闡明了這一點(diǎn)。

運(yùn)用平行分布補(bǔ)償原理設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，該控制器的第j個(gè)模糊規(guī)則描述如下:

式中，Kj∈Rm×n，j=1，2，…，p是第j個(gè)控制規(guī)則的反饋增益。區(qū)間二型模糊控制器被表述為:

引理1[9]如果存在一個(gè)正定且有上、下界的函數(shù)V(x，t)∈C2，1(Sh×[t0，∞);R+)，使得

是負(fù)定的，那么隨機(jī)系統(tǒng)(3)是隨機(jī)漸近穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)果

定理1 由式(3)和式(5)構(gòu)成的區(qū)間二型閉環(huán)系統(tǒng)式(6)隨機(jī)漸近穩(wěn)定的充分條件是:存在正定矩陣X ∈Rn×n，矩陣Dj∈Rn×m，使得下面的矩陣不等式成立:

證明 考慮二次型Lyapunov 函數(shù):

式中，P=PT∈Rn×n＞0。記G(x)=[Ci1x Ci2x … Cimx]，W(t)=[ω1(t) ω2(t) … ωm(t)]T，可得:

將式(9)代入式(6)得到:

用對角陣diag{X-1，Ⅰmn，Ⅰmn}分別左乘和右乘不等式(7)兩邊可以推出:

記P=X-1，由Kj=DjX-1，由式(12)可得:

依據(jù)Schur 補(bǔ)引理可以推出不等式(13)式等價(jià)于:

3 數(shù)值實(shí)例

考慮區(qū)間二型隨機(jī)模糊系統(tǒng)式(6)，其中p=m=2，已知下列矩陣

下面給出一些仿真的初始參數(shù):系統(tǒng)初始狀態(tài)為x1(0)=-1.5，x2(0)= 0.8，仿真時(shí)間區(qū)間為t ∈[0，T]，其中T=4。擾動變量步長Δt=Rδt，R=2。圖1和圖2反映的是系統(tǒng)狀態(tài)分別沿著10條和30條Wiener 過程路徑的反應(yīng)曲線及它們沿這些路徑的均值，反映了系統(tǒng)沿著不同個(gè)數(shù)的隨機(jī)樣條下系統(tǒng)的狀態(tài)。

圖1 x1和x2 沿著10條Wiener 過程的響應(yīng)曲線

圖2 x1和x2 沿著30條Wiener 過程的響應(yīng)曲線

4 結(jié)束語

本文主要研究了一類帶有多維納過程的區(qū)間二型隨機(jī)模糊系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題。設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器鎮(zhèn)定系統(tǒng)，利用隨機(jī)Lyapunov 理論，將這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為求解LMI 穩(wěn)定性條件。最后給出一個(gè)仿真實(shí)例來闡釋這一方法的可行性。

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