(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江 杭州310018)

0 引 言

文獻(xiàn)[1]提出了酉預(yù)編碼的正交空時(shí)分組碼(Orthogonal Space-Time Block Coding，OSTBC)有限反饋系統(tǒng)?；诖讼到y(tǒng)，文獻(xiàn)[2]根據(jù)預(yù)編碼設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[3]提出了新的預(yù)編碼設(shè)計(jì)方案，具有更低誤碼率和快速選碼特點(diǎn)。但上述碼本的設(shè)計(jì)都是在信道為獨(dú)立同分布情況下進(jìn)行的。在實(shí)際多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)通信環(huán)境中，天線(xiàn)收發(fā)兩端往往會(huì)有很大的相關(guān)性，針對(duì)空間相關(guān)MIMO信道，利用發(fā)送相關(guān)矩陣對(duì)獨(dú)立同分布信道下的碼本進(jìn)行修正，所得碼本具有不錯(cuò)的性能[4-5]。本文考慮酉預(yù)編碼OSTBC有限反饋系統(tǒng)，首先推導(dǎo)了接收端信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)平均失真的上界，得到了預(yù)編碼矩陣的結(jié)構(gòu)，然后利用發(fā)送相關(guān)矩陣的平方根對(duì)碼本進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，設(shè)計(jì)了適用于空間相關(guān)MIMO信道下的新碼本，同時(shí)設(shè)計(jì)一種快速選碼方案。新碼本不僅進(jìn)一步提高了誤碼率性能，而且在快速選碼方案下，選碼復(fù)雜度有了很大的降低。

1 系統(tǒng)模型

酉預(yù)編碼OSTBC有限反饋系統(tǒng)框圖如圖1所示。假設(shè)MIMO系統(tǒng)有Nr根接收天線(xiàn)，Nt根發(fā)射天線(xiàn)。H是有發(fā)送相關(guān)和接收相關(guān)的平坦衰落信道。相關(guān)模型采用Kronecker模型[6]，表示為:

式中，Rt為發(fā)送相關(guān)矩陣，Rr為接收相關(guān)矩陣，G為獨(dú)立同分布的復(fù)高斯隨機(jī)變量矩陣。

預(yù)編碼矩陣Pi是由接收端依據(jù)當(dāng)前的信道實(shí)現(xiàn)而選出的最佳碼字，并將碼字序號(hào)i 反饋回發(fā)送端。假定波束矢量上等功率分配，那么與一個(gè)OSTBC 符號(hào)矩陣對(duì)應(yīng)的接收信號(hào)可表示為:

式中，ρ為信噪比;X=[x1，x2，…，xT]是一個(gè)M×T 維的空時(shí)碼矩陣，向量xt表示t時(shí)刻O(píng)STBC編碼器輸出;W是Nr×T 維的噪聲矩陣，其每一個(gè)元素均是零均值、單位方差的復(fù)高斯白噪聲。

為了表述方便，本文將后面的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行說(shuō)明。(·)H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，表示絕對(duì)值，表示向量的Euclidean 范數(shù)，表示矩陣的Frobenius 范數(shù)。EH[·]表示對(duì)H的期望值，arg max(arg min)表示使表達(dá)式取得最大值(最小值)的任意變量，Ⅰk表示k×k的單位矩陣。

圖1 酉預(yù)編碼OSTBC有限反饋系統(tǒng)框圖

2 空間相關(guān)信道下預(yù)編碼的碼本設(shè)計(jì)

2.1 多層碼字的結(jié)構(gòu)

文獻(xiàn)[2]中的碼本是為了最小化系統(tǒng)錯(cuò)誤概率而設(shè)計(jì)的。它是把反饋比特分解成M個(gè)比特?cái)?shù)，預(yù)編碼矩陣是按列向量逐列地進(jìn)行構(gòu)造，形成具有M層結(jié)構(gòu)的碼字空間。假設(shè)系統(tǒng)接收端反饋r 比特，使得r=r1+r2+…+rM，令Jm=2rm(1≤m≤M)，系統(tǒng)碼本碼字個(gè)數(shù)為J =2r。根據(jù)預(yù)編碼設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，得到的J1個(gè)Nt維的復(fù)列向量v1，1，v1，2，…，v1，J1，將其作為第一層選碼空間VJ1={v1，1，v1，2，…，v1，J1}。第二層選碼空間為VJ2={v2，j1，1，v2，j1，2，…，v2，j1，J2}(1≤j1≤J1)，其中每J2個(gè)向量都對(duì)應(yīng)著上一層選碼空間中的一個(gè)向量。應(yīng)用預(yù)編碼設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，直到得出第M層的選碼空間VJM={vM，j1，j2，…，1，vM，j1，j2，…，2，…，vM，j1，j2，…，JM}(1≤j1≤J1，1≤j2≤J2，…)。通過(guò)最優(yōu)選碼或快速選碼準(zhǔn)則，在每一層選碼空間中選出最優(yōu)向量，然后組合成最優(yōu)的預(yù)編碼碼字矩陣Fi(1≤i≤J)。

2.2 碼本設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)[4]證明了當(dāng)信道只有接收相關(guān)性，系統(tǒng)仍可用Grassmannian 碼本進(jìn)行預(yù)編碼，但當(dāng)信道還具有發(fā)送相關(guān)性，仍是本文需要解決的問(wèn)題，下面考慮既有發(fā)送相關(guān)性又有接收相關(guān)性的情況。

通過(guò)最小符號(hào)錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則得到的最佳預(yù)編碼碼字矩陣如下:

令m×n維矩陣A的奇異值分解[7]為:

式中，UA、QA、∑A分別是A的左奇異向量矩陣、右奇異向量矩陣、奇異值矩陣;k個(gè)非零奇異值以降序排列為σ1≥…≥σk，k為矩陣A的秩。文獻(xiàn)[1]通過(guò)對(duì)H和P 實(shí)行奇異值分解，得到的上界為的前M列構(gòu)成的矩陣，此時(shí)最優(yōu)預(yù)編碼矩陣為是QH前M列所構(gòu)成的矩陣。

針對(duì)空間相關(guān)的MIMO信道，對(duì)于一個(gè)給定碼本，定義一個(gè)平均失真函數(shù):

為了最小化式(5)，可以最小化式(5)的上界值。其上界值可由下式確定:

1)產(chǎn)生各層碼字空間。如上節(jié)所述，生成適用于獨(dú)立同分布瑞利衰落信道下各層碼字空間，設(shè)在各層碼字空間選擇出來(lái)的列向量所組合成的碼本F={F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)J}，碼本包含J個(gè)碼字;

3)碼本量化。因?yàn)槊總€(gè)碼字為酉矩陣，所以需要對(duì)每個(gè)碼字進(jìn)行酉矩陣化，使每個(gè)碼字滿(mǎn)足= ⅠM，最終得到新碼本為P，P={P1，P2，…，PJ}，其中

2.3 快速選碼準(zhǔn)則

接收端可根據(jù)式(3)確定出適合于當(dāng)前信道實(shí)現(xiàn)的最佳預(yù)編碼碼字矩陣的序號(hào)，并將碼字序號(hào)i 反饋回發(fā)送端。但這種選碼準(zhǔn)則計(jì)算量未免很大。因?yàn)榇a字是逐列地進(jìn)行構(gòu)造，所以預(yù)編碼碼字矩陣也可以逐列地進(jìn)行選擇，因此可以設(shè)計(jì)一種快速選碼方案。

最佳碼字矩陣中第二列向量下標(biāo)i2為:

依此類(lèi)推，直到得出最佳碼字矩陣中的第M列向量的下標(biāo)iM，經(jīng)過(guò)上述M次下標(biāo)確定后，可以直接得到最佳預(yù)編碼碼字矩陣。

3 仿真結(jié)果與分析

系統(tǒng)仿真參數(shù)為:H是3×4 維的空間相關(guān)的衰落信道，相關(guān)模型采用Kronecker模型，天線(xiàn)陣列為歸一化線(xiàn)性陣列，發(fā)射天線(xiàn)間距離為dt=3λ，接收端天線(xiàn)間距離為dr=0.5λ，λ是載波波長(zhǎng)。天線(xiàn)接收端到達(dá)角為0°，發(fā)送端和接收端的角度擴(kuò)展分別為2°和60°。角度功率譜服從拉普拉斯分布。輸入數(shù)據(jù)采用QPSK調(diào)制，OSTBC編碼采用全速率的2×2 維Alamouti 編碼。在不同反饋比特下，新碼本和文獻(xiàn)[2]碼本在空間相關(guān)MIMO信道中的誤碼率性能曲線(xiàn)如圖2、圖3所示。

圖2 反饋6 bit時(shí)不同碼本誤碼率性能對(duì)比

圖3 反饋8 bit時(shí)不同碼本誤碼率性能對(duì)比

在圖2中，反饋比特r=6 且r=r1+r2=3+3。由圖2可知，新碼本在最優(yōu)選碼方案和快速選碼方案下所表現(xiàn)出的性能都優(yōu)于文獻(xiàn)[2]中碼本性能。在圖3中，反饋比特r=8 且r=r1+r2=5+3，新碼本在最優(yōu)選碼方案下的系統(tǒng)性能得到進(jìn)一步的提升。

在圖2中，針對(duì)一個(gè)具體信道實(shí)現(xiàn)H，為了選出最佳預(yù)編碼碼字矩陣，最優(yōu)選碼方案要對(duì)比26=64次，而快速選碼方案只需要進(jìn)行2次選擇，每次需要對(duì)比23=8次，則一共只需進(jìn)行16次選擇，兩者相差3倍。在圖3中，最優(yōu)選碼方案要對(duì)比28=256次，而快速選碼方案只需要進(jìn)行2次選擇，需要對(duì)比25=32和23=8次，則一共只需進(jìn)行40次選擇，兩者相差5.4倍。很顯然，最優(yōu)選碼方案需要計(jì)算J=J1×J2×·…×JM次矩陣HPi的Frobenius 范數(shù)，而快速選碼方案只需要計(jì)算J1+J2+…+JM次兩個(gè)向量的內(nèi)積，因此系統(tǒng)在快速選碼方案下，選碼復(fù)雜度有了很大的降低。

圖4描述了反饋6 bit時(shí)新碼本在僅接收相關(guān)、僅發(fā)送相關(guān)、發(fā)送和接收同時(shí)相關(guān)信道下的誤碼率性能對(duì)比。在信道僅接收相關(guān)時(shí)，系統(tǒng)誤碼率性能優(yōu)于僅發(fā)送相關(guān)、發(fā)送和接收同時(shí)相關(guān)這兩種情況，而在信道僅發(fā)送相關(guān)時(shí)，系統(tǒng)誤碼率性能曲線(xiàn)與發(fā)送和接收同時(shí)相關(guān)情況下的基本重合，這也說(shuō)明了前文所說(shuō)的當(dāng)信道只有接收相關(guān)性時(shí)系統(tǒng)仍可用原有碼本進(jìn)行預(yù)編碼。

圖4 信道在不同相關(guān)情況下新碼本的性能對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)酉預(yù)編碼OSTBC有限反饋系統(tǒng)，本文通過(guò)理論推導(dǎo)，得到了信道具有空間相關(guān)性時(shí)預(yù)編碼矩陣的結(jié)構(gòu)，利用發(fā)送相關(guān)矩陣對(duì)獨(dú)立同分布信道下的酉預(yù)編碼碼本進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作，設(shè)計(jì)出適用于空間相關(guān)信道下的新碼本。同時(shí)設(shè)計(jì)一種快速選碼方案。此新碼本不僅進(jìn)一步提高了誤碼率性能，而且在快速選碼方案下，選碼復(fù)雜度有了很大的降低。

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