王學(xué)品

(合肥鐵路工程學(xué)校,安徽合肥 230000)

基爾霍夫定律

王學(xué)品

(合肥鐵路工程學(xué)校,安徽合肥 230000)

基爾霍夫定律 (Kirchhoff laws) 闡明集總參數(shù)電路中流入和流出結(jié)點(diǎn)的各電流間以及沿回路的各段電壓間的約束關(guān)系的定律,是 1845年由德國物理學(xué)家 G·R·基爾霍夫提出。本文對基爾霍定律及其應(yīng)用進(jìn)行了一定的探索?；鶢柣舴蚨墒请娐返幕径?是分析計(jì)算電路的重要工具。本文闡述如何正確利用基爾霍夫定律對電路進(jìn)行分析計(jì)算。

結(jié)點(diǎn) 支路 回路 網(wǎng)孔

1　基爾霍夫定律

(1)基爾霍夫定律是闡明集總參數(shù)電路中流入和流出節(jié)點(diǎn)的各電流間以及沿回路的各段電壓間的約束關(guān)系的定律。1845年由德國物理學(xué)家G.R.基爾霍夫提出。集總參數(shù)電路指電路本身的最大線性尺寸遠(yuǎn)小于電路中電流或電壓的波長的電路，反之則為分布參數(shù)電路?；鶢柣舴蚨砂娏鞫珊碗妷憾伞?2)基爾霍夫定律的內(nèi)容:一個(gè)輻射體向周圍發(fā)射輻射能時(shí)，同時(shí)也吸收周圍輻射體所發(fā)射的能量。在平衡輻射狀態(tài)下，該物體的發(fā)射總能量等于它的吸收總能量。輻射體在溫度T、波長為λ的總能量與吸收本領(lǐng)的比值等于處在平衡輻射態(tài)時(shí)吸收總能量，它與物體的性質(zhì)無關(guān)，而是波長和溫度的普適函數(shù)。(3)基爾霍夫定律的結(jié)論:一個(gè)發(fā)射本領(lǐng)大的輻射體，它的吸收本領(lǐng)也一定大。當(dāng)吸收系數(shù)為1時(shí)，表示物體吸收了全部發(fā)射到它上面輻射能量，是一個(gè)理想的輻射體。只有黑體才能夠在任何溫度下及在任何波長上吸收本領(lǐng)恒為1 。一般輻射體的吸收本領(lǐng)總是小于黑體的，即吸收系數(shù)小于1。

圖1　

圖2　

圖3　

圖4　

圖5　

圖6　

圖7　

2　在基爾霍夫定律中的幾個(gè)概念

(1)支路:一個(gè)二端元件視為一條支路，其電流和電壓分別稱為支路電流和支路電壓。下圖1所示電路共有6條支路。

(2)結(jié)點(diǎn):電路元件的連接點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。圖2所示 電路中，a、b、c點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)，d點(diǎn)和e點(diǎn)間由理想導(dǎo)線相連，應(yīng)視為一個(gè)結(jié)點(diǎn)。該電路共有4個(gè)結(jié)點(diǎn)。

(3)回路:由支路組成的閉合路徑稱為回路圖3。

(4)網(wǎng)孔:將電路畫在平面上內(nèi)部不含有支路的回路，稱為網(wǎng)孔。圖4電路中的{1，2}、{2，3，4}和{4，5，6}回路都是網(wǎng)孔。

3　基爾霍夫定律的內(nèi)容

3.1基爾霍夫電流定律(KCL)

基爾霍夫電流定律又稱節(jié)點(diǎn)電流定律(KCL) 任一集總參數(shù)電路中的任一節(jié)點(diǎn)，在任一瞬間流出(流入)該節(jié)點(diǎn)的所有電流的代數(shù)和恒為零，即就參考方向而言，流出節(jié)點(diǎn)的電流在式中取正號，流入節(jié)點(diǎn)的電流取負(fù)號?；鶢柣舴螂娏鞫墒请娏鬟B續(xù)性和電荷守恒定律在電路中的體現(xiàn)。它可以推廣應(yīng)用于電路的任一假想閉合面。

即對任一節(jié)點(diǎn)有:∑i=0 。

3.2基爾霍夫電壓定律(KVL)

基爾霍夫電壓定律(KVL)任一集總參數(shù)電路中的任一回路，在任一瞬間沿此回路的各段電壓的代數(shù)和恒為零，即電壓的參考方向與回路的繞行方向相同時(shí)，該電壓在式中取正號，否則取負(fù)號?；鶢柣舴螂妷憾墒请娢粏沃敌院湍芰渴睾愣稍陔娐分械捏w現(xiàn)。它可推廣應(yīng)用于假想的回路中。

即對任一閉合回路有:∑u=0。

4　基爾霍夫定律的應(yīng)用

KVL可以從由支路組成的回路，推廣到任一閉合的結(jié)點(diǎn)序列，即在任一時(shí)刻，沿任一閉合結(jié)點(diǎn)序列的各段電壓(不一定是支路電壓)的代數(shù)和等于零。對圖5電路中閉合結(jié)點(diǎn)序列abca和abda列出的KVL方程分別為:

4.1KVL定律的一個(gè)重要應(yīng)用是

根據(jù)電路中已知的某些支路電壓，求出另外一些支路電壓，即集總參數(shù)電路中任一支路電壓等于與其處于同一回路(或閉合路徑)的其余支路電壓的代數(shù)和，即:

或集總參數(shù)電路中任兩結(jié)點(diǎn)間電壓uab等于從a點(diǎn)到b點(diǎn)的任一路徑上各段電壓的代數(shù)和，即:

由支路組成的回路可以視為閉合結(jié)點(diǎn)序列的特殊情況。沿電路任一閉合路徑(回路或閉合結(jié)點(diǎn)序列)各段電壓代數(shù)和等于零，意味著單位正電荷沿任一閉合路徑移動時(shí)能量不能改變，這表明KVL是能量守恒定律的體現(xiàn)。

綜上所述，可以看到:(1)KCL對電路中任一結(jié)點(diǎn)(或封閉面)的各支路電流施加了線性約束。(2)KVL對電路中任一回路(或閉合結(jié)點(diǎn)序列)的各支路電壓施加了線性約束。(3)KCL和KVL適用于任何集總參數(shù)電路、與電路元件的性質(zhì)無關(guān)。

KCL不僅適用于結(jié)點(diǎn)，也適用于任何假想的封閉面，即流出任一封閉面的全部支路電流的代數(shù)和等于零。例如對圖6 電路中虛線表示的封閉面，寫出的KCL方程為:

4.2KCL定律的一個(gè)重要應(yīng)用是

根據(jù)電路中已知的某些支路電流，求出另外一些支路電流，即集總參數(shù)電路中任一支路電流等于與其連接到同一結(jié)點(diǎn)(或封閉面)的其余支路電流的代數(shù)和，即:

結(jié)點(diǎn)的 KCL方程可以視為封閉面只包圍一個(gè)結(jié)點(diǎn)的特殊情況。根據(jù)封閉面 KCL對支路電流的約束關(guān)系可以得到:流出(或流入)封閉面的某支路電流，等于流入(或流出)該封閉面的其余支路電流的代數(shù)和。由此可以斷言:當(dāng)兩個(gè)單獨(dú)的電路只用一條導(dǎo)線相連接時(shí)(圖7)，此導(dǎo)線中的電流必定為零。在任一時(shí)刻，流入任一結(jié)點(diǎn)(或封閉面)全部支路電流的代數(shù)和等于零，意味著由全部支路電流帶入結(jié)點(diǎn)(或封閉面)內(nèi)的總電荷量為零，這說明KCL是電荷守恒定律的體現(xiàn)。

5　在解題方法上的應(yīng)用

以圖8所示電路為例:來說明基爾霍夫定律在幾種解題方法上的應(yīng)用，此電路有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，三個(gè)網(wǎng)孔，6條支路。

5.1以支路電流為未知量的支路電流法:根據(jù)電路列出方程

I1＋I(xiàn)2＝I4，I3＋I(xiàn)4＝I5，I1＋I(xiàn)6＝I5(電流定律)

E1＝I1×r1＋I(xiàn)4R1＋I(xiàn)5R2

E2－E3＝I2×r2＋I(xiàn)4R1－I3×r3(電壓定律)

E3＝I3×r3＋I(xiàn)5R2＋I(xiàn)6R3

以上為6個(gè)方程，聯(lián)立求解，得出6個(gè)未知電流。

5.2回路電流法:根據(jù)電路列出方程

E1＝IⅠ(r1＋R1＋R2)＋I(xiàn)ⅡR1＋I(xiàn)ⅢR2

E2-E3＝I1R1＋I(xiàn)Ⅱ(r2＋r3＋R1)－IⅡ×r3(電壓定律)

E3＝IⅠR2－IⅡ×r3＋I(xiàn)Ⅲ(r3＋R2＋R3)

以上為3個(gè)方程，聯(lián)立求解，得出三個(gè)電流IⅠ、IⅡ、IⅢ，這三個(gè)電流分別為IⅠ＝I1，IⅡ＝I2，IⅢ＝I6，然后應(yīng)用電流定律可求出另外三個(gè)電流。

5.3節(jié)點(diǎn)電壓定律:根據(jù)電路設(shè)a點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn),列出方程

Uao(1/r1＋1/r2＋1/R1)－Ubo1/R1－Uco1/r1＝E2/r2＋E1/r1

－Uao1/R1＋Ubo(1/R1＋1/R2＋1/r3)－Uco1/R2＝E3/r3(電流定律)

－Uao1/r1－Ubo1/R2＋Uco(1/r1＋1/R2＋1/R3)＝－E1/r1

聯(lián)立求解方程得節(jié)點(diǎn)電壓Uao、Ubo、Uco，然后根據(jù)電壓定律求出各知路電流。

[1]李翰蓀.電路分析基礎(chǔ)[M].北京高等教育出版社,2002(7).

[2]蔣和乾.電工學(xué)[M].北京高等教育出版社,1986(10).

[3]秦曾煌.電工學(xué)[M].北京高等教育出版社,1999(6).

[4]郭碩鴻.電動力學(xué)[M].人民教育出版社,1978(10).