武 亮，王 菁，糜凱華

（昆明理工大學(xué) 電力工程學(xué)院，云南 昆明 650500）

混凝土在細(xì)觀層面上是由砂漿基質(zhì)、粗骨料和兩者間的黏結(jié)界面組成的三相復(fù)合材料.混凝土材料的各組分對(duì)其宏觀力學(xué)性能均有直接影響.全級(jí)配混凝土因骨料粒徑較大，致使其裂縫擴(kuò)展路徑與普通混凝土有較大差異.由于以宏觀混凝土材料進(jìn)行力學(xué)性能試驗(yàn)，需受試驗(yàn)條件、環(huán)境條件及人為因素等影響，所得到的試驗(yàn)結(jié)果離散性較高.為此，諸多研究者提出了多種細(xì)觀模型來研究混凝土材料的力學(xué)特性，如基于有限元理論提出的格構(gòu)模型［1］、MH 細(xì)觀模型［2］、隨機(jī)粒子模型［3］、劉光廷模型［4］以及MFPA 細(xì)觀模型［5］等；基于離散元理論提出的顆粒－界面元模 型［6］和梁－顆粒模型［7］等.這些模型彌補(bǔ)了混凝土宏觀試驗(yàn)分析上的很多缺陷和不足.因此，在細(xì)觀層面上建立全級(jí)配混凝土仿真模型對(duì)其裂縫擴(kuò)展規(guī)律全過程進(jìn)行模擬計(jì)算，特別是對(duì)全級(jí)配混凝土大尺寸試件有重要意義.

隨著大容量高速計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，許多研究者利用各種編程語言和一些商業(yè)軟件完成了混凝土骨料的隨機(jī)投放和數(shù)值模擬.如基于傳統(tǒng)的V－B、C語言和Fortran語言編寫的隨機(jī)骨料程序［8－10］；基于CAD 軟件下開發(fā)的Autolisp語言編寫的混凝土骨料模型［11］和用MATLAB 編寫的混凝土數(shù)值模擬模型［12－14］.然而現(xiàn)有基于MATLAB建立的隨機(jī)骨料模型通用性較差，且隨機(jī)骨料的投放量不能滿足全級(jí)配混凝土的要求，也不能直接導(dǎo)入其他有限元軟件進(jìn)行分析計(jì)算.為此，本研究將有限元軟件COMSOL 與MATLAB 軟件相結(jié)合，利用COMSOL 軟件自帶的功能簡化了全級(jí)配混凝土細(xì)觀幾何模型的生成程序，高效完成了有限元網(wǎng)格模型的自動(dòng)生成.

1 隨機(jī)骨料模型的自動(dòng)生成

1.1 骨料粒徑和投放量的確定

混凝土粗骨料按表面形狀，可分為卵石、碎石和人工破碎卵石.

為了使混凝土細(xì)觀分析能在二維平面上進(jìn)行，Walraven等［15］在球形骨料與等概率空間分布假定的基礎(chǔ)上，建立了混凝土試件空間內(nèi)骨料含量與其內(nèi)截面的骨料面積之間的關(guān)系，即二維截面試件內(nèi)任一點(diǎn)骨料直徑D＜D0（篩孔直徑）的概率Pc為：

式中：Pk為骨料（包括粗骨料和細(xì)骨料）體積占混凝土總體積的百分比；Dmax為最大骨料顆粒粒徑；D 的上標(biāo)均表示指數(shù).

1.2 骨料庫的生成

關(guān)于凸多邊形骨料的形成，文獻(xiàn)［10］先隨機(jī)投放三角形或四邊形骨料，再進(jìn)行隨機(jī)延凸來限定骨料的凸性；文獻(xiàn)［16－17］在圓形骨料圓周上隨機(jī)生成3個(gè)或4個(gè)點(diǎn)以形成多邊形骨料基框架，然后在以多邊形最長邊為直徑的圓內(nèi)生成多邊形的新頂點(diǎn)進(jìn)行延凸；文獻(xiàn)［18］用消除骨料凹面的方法來保持凸性.本文在隨機(jī)生成的圓形或橢圓形骨料基礎(chǔ)上，提出一種簡單的凸多邊形骨料生成方法，能在圓或橢圓形邊界上隨機(jī)生成凸多邊形的頂點(diǎn)以保證其凸性，凸多邊形頂點(diǎn)的位置由極角θ（j）確定，如圖1所示.

圖1 多邊形骨料極坐標(biāo)表示Fig.1 Polygonal aggregate in polar coordinates

凸多邊形任意一邊的對(duì)角φ（j）＝θ（j＋1）－θ（j）.因它有h條邊，故φ（j）的平均值為2π／h.假定φ（j）根據(jù)平均值進(jìn)行變化，則可表示為：

為滿足所獲得的所有φ（j）之和等于2π這一條件，需對(duì)φ（j）作如下修正：

修正后，各頂點(diǎn)的極角為：

式中：rand為0～1 間按均勻分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)；δ表示φ（j）的波動(dòng)程度，取值為0～1間的任意數(shù)，這里取0.5；α為骨料方位的相角，取值為0～2π間均勻分布的隨機(jī)數(shù)；j為凸多邊形的頂點(diǎn)編號(hào).

順時(shí)針連接各個(gè)頂點(diǎn)，即生成圓基或橢圓基凸多邊形，調(diào)用MATLAB 中polyarea函數(shù)可計(jì)算該凸多邊形的面積.骨料庫的生成步驟概述如下：

（1）計(jì)算各級(jí)配段骨料生成的控制參數(shù).根據(jù)實(shí)際需要選取全級(jí)配混凝土二維試件尺寸作為骨料投放區(qū)域的大小，將混凝土三維試件骨料體積分?jǐn)?shù)Pk和骨料粒徑最大值Dmax代入式（1），分別得到粒徑小于某級(jí)配段粒徑上限（Du）和下限（Dd）的骨料在二維試件截面上出現(xiàn)的概率Pc（D＜Du）和Pc（D＜Dd），兩者差值即為該級(jí)配段骨料投放面積占混凝土二維試件截面的面積率，將其作為各級(jí)配段骨料生成的控制參數(shù).

（2）分級(jí)配段生成骨料庫.在某級(jí)配段內(nèi)隨機(jī)生成骨料并計(jì)算其面積率.若累積面積率小于該級(jí)配段骨料生成控制參數(shù)，則繼續(xù)該級(jí)配段骨料的生成；若累積面積率大于該級(jí)配段控制參數(shù)，則放棄最后這顆骨料的生成，重新在該級(jí)配段內(nèi)生成一顆更小的骨料，直到當(dāng)前級(jí)配段生成的骨料累積面積率達(dá)到該級(jí)配段骨料生成控制參數(shù)的0.99～1.01倍，即可終止骨料生成.

1.3 基于數(shù)值圖像處理的隨機(jī)骨料投放

就全級(jí)配混凝土而言，由于骨料顆粒較多，未定位的骨料易與前面已定位的骨料發(fā)生沖突.為了提高骨料的投放效率，用數(shù)值圖像處理技術(shù)將骨料在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布轉(zhuǎn)化為服從條件均勻分布，即在投放區(qū)域中若某些區(qū)域被前面投放的骨料所占據(jù)，則給這些被占區(qū)域一個(gè)0的選擇概率，而給那些自由區(qū)域一個(gè)較大的選擇概率.

對(duì)一幅圖像采樣時(shí)，若每行采樣數(shù)為M，每列采樣數(shù)為N，則圖像大小為M×N 個(gè)像素.如果每個(gè)像素點(diǎn)的顏色用紅、綠、藍(lán)3 種顏色的強(qiáng)度值表示，取值為0～255，則MATLAB 讀取一幅M×N個(gè)像素點(diǎn)的RGB 圖像時(shí)可用三維數(shù)組X 表示.若圖像中某像素點(diǎn)P 的顏色強(qiáng)度值為（255，0，0），則該像素點(diǎn)為紅色；若某像素點(diǎn)的顏色強(qiáng)度值為（255，255，255），則該像素點(diǎn)為白色.

基于上述成像原理，以一幅與骨料投放區(qū)大小一致的白色圖像作為骨料投放背景區(qū)，以圖形窗口左上角為坐標(biāo)原點(diǎn)，投放的骨料用紅色表示.初始投放時(shí)，圖像中各像素點(diǎn)的顏色強(qiáng)度值均為（255，255，255）.開始投放時(shí)，從數(shù)組X 的第3面X（∶，∶，3）中找出數(shù)據(jù)為255的元素所在的行號(hào)和列號(hào)（即取樣點(diǎn)的坐標(biāo)），將它們分別儲(chǔ)存在矩陣H 和L 中.從矩陣H 中隨機(jī)選取1個(gè)元素s作為待投放骨料形心的橫坐標(biāo)，在矩陣L 中選取1個(gè)與矩陣H 中元素s相對(duì)應(yīng)的元素t 作為待投放骨料形心的縱坐標(biāo)，這樣便隨機(jī)選擇到一個(gè)未被骨料占據(jù)的點(diǎn)作為骨料投放的形心位置.為加強(qiáng)骨料位置的隨機(jī)性，按下式修正骨料形心位置：

投放骨料成功后，調(diào)用MATLAB 中的patch函數(shù)將其所占據(jù)的區(qū)域填充為紅色，像素點(diǎn)顏色強(qiáng)度值變?yōu)椋?55，0，0），如圖2所示.后繼骨料的投放只需尋找顏色強(qiáng)度值為（255，255，255）的像素點(diǎn)作為隨機(jī)樣本進(jìn)行遴選，重復(fù)上面的工作即可.

圖2 數(shù)值圖像處理骨料投放示意圖Fig.2 Placing process represented by numerical image processing technology

骨料投放時(shí)，骨料影響范圍系數(shù)的大小直接影響骨料投放的成功率：骨料影響范圍系數(shù)越大，骨料間距就越大，骨料投放率會(huì)變得很低，反之，骨料投放間距越小，骨料投放就越容易.Schlangen等［19］給出的骨料影響范圍系數(shù)為1.1；Wittmann等［20］認(rèn)為骨料影響范圍系數(shù)與骨料含量有關(guān)，骨料含量越高，骨料影響范圍系數(shù)越小；Wang等［21］通過觀察混凝土中大量骨料交界面，發(fā)現(xiàn)界面厚度與骨料粒徑有關(guān).本文將骨料影響范圍系數(shù)取為1.05.

圓形骨料相互嵌入的判斷條件相對(duì)簡單，判斷兩圓心之間的距離是否大于它們的半徑之和乘以骨料影響范圍系數(shù)即可.

關(guān)于橢圓形骨料相互嵌入的判斷條件，文獻(xiàn)［22］利用橢圓的外接多邊形逼近橢圓，把橢圓之間的嵌入判斷轉(zhuǎn)化為多邊形之間的嵌入判斷，此方法的缺點(diǎn)是：若多邊形邊數(shù)太少，將影響逼近精度而出現(xiàn)誤判；若邊數(shù)太多，又會(huì)影響判斷效率.文獻(xiàn)［23］利用兩橢圓的代數(shù)條件來判斷是否相互嵌入，該方法雖然在效率上得到了優(yōu)化，但是所建立的廣義特征多項(xiàng)式為一元三次方程，求解方程時(shí)如果精度設(shè)定不當(dāng)，也會(huì)出現(xiàn)誤判.本文提出一種新的判斷兩橢圓間位置關(guān)系的算法，其基本原理是根據(jù)橢圓－橢圓外切的代數(shù)條件，利用仿射變換和逆變換方法，推導(dǎo)出橢圓－橢圓的不適合邊界（NFB）軌跡方程［24］來判斷二者的關(guān)系.兩橢圓的平面位置關(guān)系如圖3所示，橢圓E（n）和E（i）的不適合邊界軌跡方程可表示為：

圖3 兩橢圓的平面位置關(guān)系Fig.3 Planar position relationship of the two ellipses

函數(shù)F＞0表示橢圓E（i）的中心點(diǎn)在NFB外，兩橢圓不相互嵌入；函數(shù)F＝0表示橢圓E（i）的中心點(diǎn)在NFB上，兩橢圓不相互嵌入；F 為虛數(shù)表示橢圓E（i）的中心點(diǎn)在NFB內(nèi)，兩橢圓相互嵌入.

凸多邊形骨料相互嵌入情況有兩種，如圖4所示.目前的判斷方法主要有3種，分別是夾角之和測試法［16，18，25］、面積判別準(zhǔn)則［10，17］和基于背景網(wǎng)格的侵入判斷［26］.本文直接調(diào)用MATLAB中的inpolygon函數(shù)來判斷凸多邊形骨料是否相互嵌入.

圖4 凸多邊形的嵌入形式Fig.4 Intersection forms of the convex polygons

2 有限元網(wǎng)格的自動(dòng)剖分

2.1 黏結(jié)界面和砂漿基質(zhì)的生成

為了在細(xì)觀層面上進(jìn)行全級(jí)配混凝土的數(shù)值模擬，需要在生成的細(xì)觀隨機(jī)骨料模型基礎(chǔ)上生成黏結(jié)界面和砂漿基質(zhì).假定黏結(jié)界面等厚度包裹在骨料外面，對(duì)圓形、圓基凸多邊形、橢圓形和橢圓基凸多邊形骨料以形心為縮放中心，以骨料影響范圍系數(shù)為縮放因子進(jìn)行縮放，可生成隨機(jī)骨料的黏結(jié)界面.砂漿基質(zhì)是除骨料及黏結(jié)界面以外的投放區(qū)域.

2.2 細(xì)觀有限元網(wǎng)格的剖分

對(duì)細(xì)觀幾何模型進(jìn)行有限元網(wǎng)格剖分常用方法有：映射網(wǎng)格法［17］、改進(jìn)的推進(jìn)波前法（AFT）［23］、Delaunay三角剖分法［27］和改進(jìn)的Delaunay三角剖分法（漸變網(wǎng)格剖分法）［28］等.本文采用的COMSOL軟件可以自動(dòng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化或非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分，并支持移動(dòng)網(wǎng)格、虛擬幾何剖分網(wǎng)格、穩(wěn)態(tài)及瞬態(tài)自適應(yīng)網(wǎng)格.COMSOL軟件中非結(jié)構(gòu)化三角形網(wǎng)格剖分內(nèi)置了2種算法，即Delaunay算法和前沿算法.Delaunay三角剖分使得所有三角形互不重疊，完整地覆蓋了整個(gè)問題域，所有的節(jié)點(diǎn)都成為Delaunay三角形的頂點(diǎn)，且能夠盡可能地避免病態(tài)三角形的出現(xiàn)，生成比較規(guī)則的三角形.應(yīng)用COMSOL軟件及MATLAB軟件，可以方便地完成混凝土二維細(xì)觀模型的自動(dòng)生成.

3 數(shù)值模型實(shí)例

3.1 骨料投放實(shí)例

為了驗(yàn)證隨機(jī)骨料模型算法的有效性，以截面尺寸為450mm×450mm 的混凝土試件為例，混凝土中骨料級(jí)配設(shè)定為：m（ELA（特大石））∶m（LA（大石））∶m（MA（中石））∶m（SA（小石））＝3∶3∶2∶2，將每個(gè)級(jí)配段粒徑等分為兩級(jí)，根據(jù)式（1）確定試件內(nèi)截面各級(jí)配段骨料應(yīng)投放的面積占試件截面面積的百分比，體積分?jǐn)?shù)為72%的目標(biāo)骨料二維隨機(jī)骨料投放統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1，所建立的隨機(jī)骨料模型如圖5所示.用配置為AMD Athlon（tm）ⅡX2 215Processor 2.70GHz，內(nèi)存為2.0GB的計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，完成圓形、橢圓形、圓基凸多邊形和橢圓基凸多邊形模型分別耗時(shí)19.890，20.670，20.417，22.026s.

表1 二維隨機(jī)骨料投放統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 1 Statistic results of placing aggregates in two－dimensional models

圖5 4種隨機(jī)骨料幾何模型Fig.5 Geometric models of four kind of random aggregates

二維試件骨料實(shí)際投放量在70%左右，完全可以滿足全級(jí)配混凝土試件數(shù)值仿真模擬的要求.這里的模型是按各級(jí)配骨料粒徑比例和相應(yīng)的骨料含量，在每一粒徑范圍內(nèi)等機(jī)率選取粒徑大小而生成連續(xù)粒徑的隨機(jī)骨料模型.然而本文提出的隨機(jī)骨料投放方法還可以生成任意代表粒徑的隨機(jī)骨料模型.如取各級(jí)配粒徑范圍的平均值作為代表粒徑，按照上述各級(jí)配粒徑骨料比例和目標(biāo)投放量，可分別得到特大石4顆、大石15顆、中石44顆、小石127顆.所建立的代表粒徑隨機(jī)骨料模型見圖6.

圖6 4種代表粒徑骨料幾何模型Fig.6 Geometric models of four kind of representative aggregate particles

3.2 網(wǎng)格劃分實(shí)例

選取試驗(yàn)編號(hào)為QS1的某大壩全級(jí)配混凝土數(shù)據(jù)建立劈拉試驗(yàn)二維細(xì)觀模型，試件尺寸為450mm×450mm×450mm，混凝土骨料用量2 212 kg／m3，密度2 717.5kg／m3.通過式（1）將三維骨料級(jí)配轉(zhuǎn)換為二維級(jí)配，得到試件截面內(nèi)骨料粒徑115～150 mm，80～115 mm，60～80 mm，40～60mm，30～40mm，20～30mm，15～20mm，10～15mm 的面積率分別為0.070 5，0.112 5，0.082 2，0.099 7，0.059 8，0.071 1，0.066 3，0.026 4，骨 料總體積分?jǐn)?shù)為58.85%.

進(jìn)行細(xì)觀有限元網(wǎng)格剖分時(shí)黏結(jié)界面最大單元尺寸取界面厚度的1／3.骨料區(qū)域單元尺寸相對(duì)較大，砂漿區(qū)域單元尺寸較小，劃分網(wǎng)格后的二維有限元模型見圖7.由圖7 可以看出，這些網(wǎng)格質(zhì)量較好，能滿足骨料和黏結(jié)界面、黏結(jié)界面和砂漿基質(zhì)交界處網(wǎng)格一致性的要求.

圖7 二維有限元模型中的4種隨機(jī)骨料網(wǎng)格Fig.7 Meshes of four kind of random aggregates in two－dimensional finite element models

4 結(jié)論

全級(jí)配混凝土二維細(xì)觀模型自動(dòng)生成算法，在細(xì)觀層面上為全級(jí)配混凝土數(shù)值模擬提供了一種有效的建模手段.在圓或橢圓上隨機(jī)取點(diǎn)生成凸多邊形保證了骨料的凸性，省去了繁瑣的延凸編程.投放骨料時(shí)采用數(shù)值圖像處理技術(shù)隨機(jī)選取形心，分級(jí)配逐個(gè)隨機(jī)投放，保證了各級(jí)配骨料體積分?jǐn)?shù)能滿足投放要求，提高了骨料的投放效率.將細(xì)觀幾何模型導(dǎo)入COMSOL 軟件進(jìn)行細(xì)觀有限元網(wǎng)格剖分，可以對(duì)不同區(qū)域剖分不同尺寸的網(wǎng)格.在進(jìn)行材料屬性賦值時(shí)，可以按材料性質(zhì)成集后直接賦值.數(shù)值實(shí)例表明，所建立的全級(jí)配混凝土細(xì)觀模型，對(duì)4種形狀骨料的投放率都能達(dá)到70%左右，生成的有限元網(wǎng)格能滿足進(jìn)一步計(jì)算的需要.

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