李 濤,漆泰岳,王 睿,朱 鑫

(西南交通大學(xué)交通隧道教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610031)

三次B樣條在隧道斷面擬合中的應(yīng)用研究

李 濤,漆泰岳,王 睿,朱 鑫

(西南交通大學(xué)交通隧道教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610031)

在研究已有隧道斷面擬合方法不足的基礎(chǔ)上,鑒于三次B樣條靈活的獨(dú)特優(yōu)勢(shì),對(duì)圓弧型隧道和直墻型隧道斷面分別采用三次樣條和三次B樣條進(jìn)行擬合,并通過求取擬合曲線上點(diǎn)到標(biāo)準(zhǔn)斷面曲線的距離對(duì)擬合效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。在Matlab7.0平臺(tái)上編程實(shí)現(xiàn)上述過程,對(duì)樣條擬合效果進(jìn)行評(píng)價(jià),結(jié)果表明,對(duì)于直墻型存在突變點(diǎn)類型的曲線,三次B樣條曲線相對(duì)于三次樣條曲線擬合效果更好。

隧道斷面； 三次樣條；三次B樣條；擬合誤差評(píng)價(jià)

1 概述

隨著國家高速鐵路的快速發(fā)展，隧道建成后的病害檢測(cè)以及維修工作大大增加，而隧道斷面的變形監(jiān)測(cè)是各項(xiàng)檢測(cè)中的重點(diǎn)，斷面發(fā)生大變形會(huì)直接影響到隧道的安全。近年來的隧道斷面檢測(cè)方法可以分為兩大類：一是攝影測(cè)量。包括近景攝影測(cè)量技術(shù)以及利用輔助光進(jìn)行攝影測(cè)量；二是激光技術(shù)。包括二維激光掃描(隧道斷面測(cè)量?jī)x及二維激光掃描儀)和三維激光掃描。本文提出的斷面檢測(cè)系統(tǒng)正是在已有的斷面檢測(cè)技術(shù)的基礎(chǔ)上提出了環(huán)向不等距安裝激光測(cè)距傳感器檢測(cè)隧道斷面的檢測(cè)方案，該方案既避免了車載激光掃描儀在行進(jìn)過程中產(chǎn)生的螺旋形，同時(shí)相對(duì)于三維激光掃描技術(shù)[1]既經(jīng)濟(jì)、又方便，還能滿足一定的精度要求。系統(tǒng)的安裝示意如圖1所示。本文提出的隧道斷面擬合新方法正是對(duì)該檢測(cè)系統(tǒng)采集的斷面數(shù)據(jù)的后處理。

圖1 斷面測(cè)量方案布置示意

已有的隧道斷面輪廓擬合方法主要有橢圓擬合法[2]和三次樣條插值法[3]，橢圓擬合法只針對(duì)圓形隧道，導(dǎo)致其使用范圍有限。而三次樣條插值對(duì)于圓弧型隧道(圓形、三心圓或者五心圓隧道)均使用。所以三次樣條曲線已被大量地運(yùn)用到工程領(lǐng)域中，文獻(xiàn)[3]將三次樣條運(yùn)用到隧道變形輪廓擬合，得到比較好的擬合效果，并計(jì)算出了擬合之后斷面的超挖量或欠挖量，但是對(duì)擬合的斷面沒有做出誤差評(píng)價(jià)，王國輝[4]也將自然邊界條件下的三次樣條運(yùn)用到斷面輪廓擬合，并將擬合后的斷面與標(biāo)準(zhǔn)斷面進(jìn)行比較，利用直接積分法對(duì)擬合后的斷面計(jì)算斷面面積，從而計(jì)算出超欠挖量，但都是針對(duì)圓弧型隧道，沒有對(duì)直墻型隧道做出探討。對(duì)于擬合斷面的誤差沒有做出評(píng)價(jià)，只是利用積分法求出了兩斷面之間的面積。

基于上述原因，由于三次B樣條靈活的特性，本文提出針對(duì)圓弧形隧道和直墻型隧道分別利用三次樣條和三次B樣條曲線進(jìn)行斷面擬合，然后對(duì)擬合后的斷面與原標(biāo)準(zhǔn)斷面進(jìn)行比較，通過求擬合斷面固定點(diǎn)與標(biāo)準(zhǔn)斷面的最短距離作為參考標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)擬合效果。

2 三次樣條與三次B樣條曲線

2.1 三次樣條曲線

(1)

式(1)中，只要給定端點(diǎn)約束條件，就可得到{mk}，從而可以得到樣條系數(shù)

(2)

對(duì)于實(shí)際隧道斷面測(cè)量，端點(diǎn)約束條件直接影響擬合結(jié)果。實(shí)驗(yàn)通過驗(yàn)證采用壓緊的三次樣條效果更好，即通過調(diào)整兩端點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值確定三次樣條曲線的形狀。

2.2 B樣條曲線概念

由于Bezier曲線在應(yīng)用中的不足，為了克服Bezier曲線的問題，Gordon等人拓展了Bezier曲線，于是用B樣條基函數(shù)替換了伯恩斯坦基函數(shù)，就構(gòu)成了B樣條曲線[5-6]。其數(shù)學(xué)表達(dá)式

(3)

其中0≤t≤1，i=0,1,2,…，m?？梢钥闯?，B樣條是分段的。給定m+n+1個(gè)頂點(diǎn)，則可定義m+1段n次參數(shù)曲線。式(3)中Fk,n(t)為B樣條基函數(shù)，表達(dá)式為

(4)

三次B樣條曲線由相鄰4個(gè)頂點(diǎn)來定義，有n個(gè)頂點(diǎn)的三次B樣條曲線，實(shí)質(zhì)是由n-3個(gè)三次函數(shù)組成，并在連接處達(dá)到二階連續(xù)。B樣條曲線運(yùn)用時(shí)非常靈活，曲線形狀受相應(yīng)頂點(diǎn)控制很直觀，一個(gè)角點(diǎn)的修改只影響角點(diǎn)所在位置前后三段曲線的形狀。同時(shí)B樣條還具有其他樣條不具有的特性，比如：三點(diǎn)共線制造拐點(diǎn)；四點(diǎn)共線制造直線；三點(diǎn)重合制造尖點(diǎn)等。這些特性使其能夠表示各種圖元。

2.3 B樣條控制點(diǎn)反求

三次B樣條對(duì)曲線進(jìn)行擬合的時(shí)候，往往不能通過給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，系統(tǒng)采集到的數(shù)據(jù)點(diǎn)是型值點(diǎn)，擬合后曲線需要經(jīng)過型值點(diǎn)，所以利用三次B樣條進(jìn)行擬合的時(shí)候需要進(jìn)行控制頂點(diǎn)反算[7]。即已知三次B樣條曲線上數(shù)據(jù)點(diǎn)P1,P2，…，Pn，反求n+2個(gè)控制點(diǎn)b1,b2,…，bn,bn+1,bn+2。根據(jù)三次B樣條的性質(zhì)，可以求出控制點(diǎn)滿足的方程組為

(5)

由于控制點(diǎn)多兩個(gè)點(diǎn)，需要添加兩個(gè)邊界條件。實(shí)驗(yàn)中采用的是b1=P2,bn+2=Pn，寫成矩陣形式如下

(6)

通過矩陣求逆即可求出控制點(diǎn)坐標(biāo)，再對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行三次B樣條擬合。

3 點(diǎn)到曲線最小距離算法

為了評(píng)價(jià)三次樣條或者三次B樣條擬合后曲線的誤差，需要對(duì)擬合后的曲線和標(biāo)準(zhǔn)輪廓斷面進(jìn)行比較，這就是平面輪廓度誤差評(píng)價(jià)[8-9]。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)輪廓線為L(zhǎng)，曲線上的點(diǎn)為Qi，擬合后的曲線為L(zhǎng)′，曲線上點(diǎn)為Pi，曲線擬合的時(shí)候，用到了6個(gè)型值點(diǎn)，在型值點(diǎn)處，兩曲線重合。為了擬合曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線的差別，采用點(diǎn)到曲線最短距離作為判別標(biāo)準(zhǔn)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證三次樣條和三次B樣條對(duì)隧道輪廓的擬合效果，根據(jù)《隧道工程設(shè)計(jì)要點(diǎn)集》[12]，采用雙線鐵路隧道標(biāo)準(zhǔn)斷面(三心圓)作為圓弧型隧道擬合的測(cè)試數(shù)據(jù)，單線鐵路隧道典型的標(biāo)準(zhǔn)斷面(直墻型)作為直墻型隧道擬合的測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。應(yīng)用三次樣條曲線對(duì)三心圓輪廓進(jìn)行擬合時(shí)，采用的是三次緊壓樣條(實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證了自然樣條，結(jié)果表明與原曲線差別明顯)，實(shí)際擬合過程中，不斷調(diào)整端點(diǎn)斜率，以達(dá)到整體光滑的效果。擬合效果如圖2所示，圖3為擬合曲線和標(biāo)準(zhǔn)斷面的比較圖，其中紅色線條為擬合曲線，藍(lán)色線條為標(biāo)準(zhǔn)斷面曲線。同理，采用三次B樣條對(duì)三心圓輪廓進(jìn)行擬合，擬合曲線與標(biāo)準(zhǔn)斷面的比較效果如圖4所示，可以直觀地看出三次樣條曲線和三次B樣條曲線對(duì)三心圓擬合效果均比較好。然后通過求取點(diǎn)到曲線距離來定量分析擬合曲線的誤差，點(diǎn)到曲線距離算法利用Matlab7.0優(yōu)化函數(shù)編程實(shí)現(xiàn)。由于型值點(diǎn)有6個(gè)，將擬合曲線分為5段，對(duì)每一段求取點(diǎn)到標(biāo)準(zhǔn)斷面距離的最大值。對(duì)圖3與圖4進(jìn)行分段求取，圖3按縱坐標(biāo)增加的方向分段求取的結(jié)果分別為0.35，1.16，2.14，2.20，2.57mm，圖4按縱坐標(biāo)增加的方向分段求取的結(jié)果分別為0.50，1.40，2.35，2.45，2.86mm。比較結(jié)果可以得出三次樣條與三次B樣條對(duì)圓弧型隧道斷面的擬合誤差相差不大，想比較而言，三次樣條由于在擬合時(shí)需不斷調(diào)整端點(diǎn)斜率，人為影響因素較大，所以采用三次B樣條對(duì)圓弧型隧道進(jìn)行擬合。

圖2 三次樣條擬合三心圓效果圖

圖3 三次樣條擬合三心圓與標(biāo)準(zhǔn)斷面對(duì)比

圖4 三次B樣條擬合三心圓與標(biāo)準(zhǔn)斷面對(duì)比

同理，分別用三次樣條與三次B樣條對(duì)直墻型隧道斷面進(jìn)行擬合。圖5為三次樣條對(duì)直墻型隧道斷面擬合與標(biāo)準(zhǔn)斷面的對(duì)比圖，在直墻型的尖點(diǎn)處三次樣條以平滑的曲線過渡，造成了此處的誤差較大，同時(shí)對(duì)拱肩和拱頂?shù)臄M合誤差也較大。由于三次B樣條具有制造尖點(diǎn)的特點(diǎn)，采用三次B樣條擬合直墻型隧道，為了顯示對(duì)尖點(diǎn)的構(gòu)造效果，需預(yù)先給定尖點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)三次B樣條進(jìn)行編程，并通過控制點(diǎn)反求，得到的三次B樣條的擬合結(jié)果如圖6所示，可以直觀地看出對(duì)于直墻型斷面而言，三次B樣條比三次樣條擬合效果更好，這是由于三次B樣條自身靈活的特性決定的。同理通過求取點(diǎn)到曲線距離來評(píng)價(jià)三次樣條和三次B樣條對(duì)直墻型隧道的擬合效果。圖5得出的結(jié)果縱坐標(biāo)增加的方向分別為0.78，1.23，3.28，2.67，3.82 mm，圖6得出的結(jié)果為0.15，0.21，2.14，1.85，3.25 mm。比較結(jié)果可以得出，擬合直墻型隧道斷面三次B樣條較于三次樣條誤差更小，擬合效果更好。

圖5 三次樣條擬合直墻型與標(biāo)準(zhǔn)斷面圖對(duì)比

圖6 三次B樣條擬合直墻型與標(biāo)準(zhǔn)斷面對(duì)比

5 結(jié)論

提出了針對(duì)圓弧型隧道和直墻型隧道分別利用三次樣條與三次B樣條進(jìn)行擬合的方法，并通過在Matlab7.0平臺(tái)上對(duì)算法進(jìn)行編程，采用標(biāo)準(zhǔn)隧道斷面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，然后通過求取點(diǎn)到曲線距離定量評(píng)價(jià)三次樣條和三次B樣條對(duì)斷面的擬合效果，結(jié)果表明三次樣條與三次B樣條對(duì)于圓弧型隧道的擬合誤差差別不大，而對(duì)于直墻型隧道，三次B樣條的擬合效果更好，考慮三次樣條在擬合過程中存在人為因素的影響，故對(duì)于圓弧型隧道與直墻型隧道均采用三次B樣條對(duì)隧道斷面進(jìn)行擬合，從而也證明了對(duì)于直墻型存在突變點(diǎn)類型的曲線，三次B樣條較三次樣條能夠更好地?cái)M合。

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Application of Cubic B-spline in Fitting Tunnel Section

LI Tao, QI Tai-yue, WANG Rui, ZHU Xin

(MOE Key Laboratory of Transportation Tunnel Engineering, Southwest Jiaotong University Chengdu 610031, China)

Based on the study of the inadequateness of existing methods for fitting tunnel section, in view of the unique advantages of flexibility for cubic B-spline, this paper presents respectively cubic spline and cubic B-spline according to arc tunnel and straight wall type section. And the fitting effect is evaluated with the distance between the point on the fitting curve and the standard cross-section curve. The above process is programmed on MATLAB7.0 platform to evaluate the effects of spline fitting, and the results show that cubic B-spline achieves better fitting for those curves with mutation points (cusps) of straight wall tunnel section.

Tunnel section; Cubic spline; Cubic B-spline; Fitting error evaluation

2014-10-08；

2014-11-10

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51278423)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(WSJTU11ZT33)；教育部創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃資助

李 濤(1988—)，男，碩士研究生，E-mail：loadringrain@hotmain.com。

1004-2954(2015)08-0127-04

U452

A

10.13238/j.issn.1004-2954.2015.08.027