丁玲

摘 要：我們在解了一道數(shù)學(xué)題后，問題本身雖然獲得了解決，但并不意味著解題思維活動的結(jié)束，而應(yīng)該是深入認(rèn)識的開始，筆者認(rèn)為可以從思考過程、所涉及的思想方法、數(shù)學(xué)活動中有聯(lián)系的問題、數(shù)學(xué)活動的結(jié)果這四個(gè)方面進(jìn)行反思。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；反思

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）19-074-1

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的反思不僅是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般性的回顧或重復(fù)，更是要深入探究數(shù)學(xué)活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，反思的目的不僅僅是為了回顧過去，更重要的是指向未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。由于數(shù)學(xué)對象的抽象性，數(shù)學(xué)活動的探索性，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)語言的特殊性，決定了正處于思維發(fā)展階段的中學(xué)生不可能一次性地直接把握數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)，必須要經(jīng)過多次地反復(fù)思考、深入研究、自我調(diào)整才能洞察數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)特征。

那么在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思呢？教師主要從以下四個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：

一、對自己的思考過程進(jìn)行反思

對自己的思考過程進(jìn)行反思，就是在一個(gè)數(shù)學(xué)活動結(jié)束后，力求去回憶自己從開始到結(jié)束的每一步心理活動，一開始自己是怎么想的，走過哪些彎路，碰到哪些釘子；為什么會走這些彎路，碰到這些釘子有什么規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)可以吸?。蛔约旱乃伎己屠蠋熗瑢W(xué)的有什么不同，其中的差距是什么，原因是什么；自己在思考途中是否做過某些調(diào)節(jié)，這些調(diào)節(jié)起到了什么作用，或者為什么當(dāng)時(shí)不能做出某些調(diào)節(jié)；自己在思考的過程中有沒有做出過某種預(yù)測，這些預(yù)測對自己的思考是否起到了作用，自己在預(yù)測和估計(jì)方面有沒有帶普遍意義的東西可以歸納等等。

例1 求過點(diǎn)（0，1）的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個(gè)公共點(diǎn)。

學(xué)生的解法一般是：設(shè)所求的直線方程為y=kx+1，由y2=2xy=kx+1整理得：

k2x2+2（k-1）x+1=0，根據(jù)題意得Δ=0，解得k=12，所求直線方程為：y=12x+1。

老師通過引導(dǎo)學(xué)生反思問題的思考過程，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在上述思考過程中有三個(gè)不嚴(yán)謹(jǐn)之處：

（1）設(shè)直線方程為y=kx+1，則已默認(rèn)所求直線斜率存在；

（2）忽視了“k=0”的情形；

（3）混淆了“相切”與“僅有一個(gè)公共點(diǎn)”這兩個(gè)不同的概念。

通過上述的反思，可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)思考問題過程的不足，從而完善解題過程，同時(shí)也提高了他們發(fā)現(xiàn)問題的能力，訓(xùn)練了思維的嚴(yán)密性和批判性，有利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)作風(fēng)和習(xí)慣。

二、對所涉及的思想方法進(jìn)行反思

對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會、掌握和運(yùn)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，一方面要靠老師在長期的教學(xué)中提示、歸納、點(diǎn)撥，更要靠學(xué)生自己在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟、吸收和運(yùn)用。中學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的思想方法主要有：消元、換元、配方、待定系數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合等。

數(shù)學(xué)活動總是要涉及數(shù)學(xué)思想方法，因此反思的一個(gè)重要內(nèi)容就是：發(fā)掘活動中涉及了哪些數(shù)學(xué)的思想方法，這些思想方法是如何運(yùn)用的，有什么特點(diǎn)，這樣的思想方法是否在其他情況下運(yùn)用過，現(xiàn)在的運(yùn)用和過去的運(yùn)用有何聯(lián)系和差異，是否有規(guī)律性的東西。有了這樣的反思，對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識、把握、運(yùn)用的水平就會不斷的提高。

三、對數(shù)學(xué)活動中有聯(lián)系的問題進(jìn)行反思

所謂對有聯(lián)系的問題進(jìn)行反思，是指在數(shù)學(xué)活動中必然要與一些已經(jīng)相識或似曾相識的問題有所聯(lián)系，因而在活動結(jié)束以后應(yīng)對那些有過聯(lián)系的問題進(jìn)行反思?；仡櫿麄€(gè)活動中曾經(jīng)與哪些問題有過聯(lián)系，有什么地方聯(lián)系過，除此以外還可以與哪些問題聯(lián)系；思考為什么會或可以產(chǎn)生聯(lián)系，具體產(chǎn)生了什么聯(lián)系，是問題的情景（知識、表述方式、圖形）有聯(lián)系，是問題的方法（策略、數(shù)學(xué)思想）有聯(lián)系，還是問題的結(jié)論有聯(lián)系；是整個(gè)問題有聯(lián)系，還是問題的某個(gè)局部有聯(lián)系。所有這些聯(lián)系之間能否概括出某種規(guī)律或經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過這樣的聯(lián)系對原問題是否有新的認(rèn)識。通過這種反思，力求使得每一個(gè)數(shù)學(xué)活動都不是孤立無援的，從而起到舉一反三、融會貫通的作用。

四、對數(shù)學(xué)活動的結(jié)果進(jìn)行反思

在數(shù)學(xué)活動結(jié)束后要從以下幾個(gè)方面反思：反思整個(gè)數(shù)學(xué)活動的過程是否正確，反思導(dǎo)出數(shù)學(xué)結(jié)果的方法是否唯一，還有沒有其他的方法可用，反思能否從本次數(shù)學(xué)活動的結(jié)果出發(fā)導(dǎo)出其他更進(jìn)一步的數(shù)學(xué)結(jié)論，反思能否把這樣的方法用來解其他的數(shù)學(xué)問題，也即能否一法多用，多題一解。若能很好地進(jìn)行這樣的反思，整個(gè)數(shù)學(xué)活動將會非常的圓滿。

例2 設(shè)A，B為橢圓x29+y24=1的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，求直線PA和PB斜率的乘積。

反思1：本題的結(jié)果是-49，而橢圓方程中a2=9、b2=4，是否有一般性的結(jié)論-b2a2呢？

將橢圓方程改為一般形式x2a2+y2b2=1后，用相同方法可得kPA·kPB的結(jié)果為-b2a2，具有一般性的規(guī)律。

教師引導(dǎo)：我們能不能將此結(jié)論推廣到更加一般的情況呢？

反思2：若將AB設(shè)為橢圓x2a2+y2b2=1的任意一條過中心的弦，P為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，且直線PA和PB的斜率存在，求kPA·kPB的值。

學(xué)生計(jì)算得出還是等于定值-b2a2。

反思3：既然橢圓中有此統(tǒng)一的結(jié)論，那么雙曲線中是否也有類似的結(jié)論呢？

對例2解完后的一系列反思，既是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論具有規(guī)律性的過程，也是學(xué)生在教師引導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的過程，為學(xué)生能開展一般性的數(shù)學(xué)活動積累了經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的反思活動，一方面靠老師的示范和引導(dǎo)，更重要的是學(xué)生自己要學(xué)會反思，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自覺進(jìn)行反思，逐漸形成反思的習(xí)慣和意識。