蔡永梅， 張芳瑤， 謝禹鈞

(遼寧石油化工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧撫順 113001)

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基于能量釋放率的Ⅱ型裂紋開裂分析

蔡永梅， 張芳瑤， 謝禹鈞

(遼寧石油化工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧撫順 113001)

分叉開裂問題是一個新型的斷裂力學(xué)問題，本文利用經(jīng)典Ji-積分守恒律，對部分路徑積分，分析Ⅱ型裂紋分叉開裂時能量釋放率，并指出裂紋邊界分叉開裂的應(yīng)力強度因子與Ji-積分的關(guān)系。當(dāng)裂尖奇異應(yīng)力場的應(yīng)力集中達到一定程度時，即達到臨界條件時，該應(yīng)力場所在的邊界將開裂，通過邊界移動的能量釋放率的分析定量地給出了邊界分叉開裂能量釋放率數(shù)學(xué)表征及邊界開裂的極限臨界載荷。

斷裂韌性；Ji-積分； 裂紋分叉； 應(yīng)力強度因子； 臨界載荷

裂紋折裂和分叉問題的研究起源于裂紋高速動態(tài)擴展，后來發(fā)現(xiàn)擴展速度較低時也有裂紋分叉的現(xiàn)象，也有實驗表明裂紋的準靜態(tài)擴展也有分叉問題。裂紋擴展過程非常復(fù)雜，預(yù)測裂紋擴展方向仍然存在很大的挑戰(zhàn)性，部分是由于裂紋擴展具有多級分叉現(xiàn)象。事實上，這一復(fù)雜問題需要進一步簡化，即使對于各向同性材料，開裂機理取決于裂紋開裂形式和所承受載荷類型。Clark和Irwin、Schardin等認為應(yīng)當(dāng)用臨界應(yīng)力強度因子KIC或應(yīng)變能釋放率G描述裂紋的分叉，而不是用裂紋高速擴展引起的應(yīng)力分布的變化檢驗裂紋是否分叉[1-3]。

這一認識在一定的程度上重新確認了應(yīng)力強度因子K或應(yīng)變能釋放率G在描述裂紋分叉分析中的地位和作用。然而，這些觀點沒有受到應(yīng)有的重視和研究。本課題的研究將在理論上驗證Clark和Irwin、Schardin提出的觀點。

裂紋分叉研究在理論上和工程應(yīng)用上具有重要的意義。首先可以揭示裂紋的完整擴展規(guī)律，對完善和豐富斷裂力學(xué)理論體系有積極的貢獻。在工程應(yīng)用上裂紋的分叉會促成多個裂紋尖點的產(chǎn)生，客觀上導(dǎo)致各裂紋尖端的應(yīng)力強度因子驟降，應(yīng)力集中程度受到很大程度的削弱，達到止裂的目的，能有效阻止工程構(gòu)件的災(zāi)難性斷裂，具有優(yōu)良的工程應(yīng)用價值。

1 邊界開裂的斷裂韌性

對于均質(zhì)、各向同性材質(zhì)的彈性實體，其邊界開裂的最大能量釋放率為：

(1)

其中vi表示 “速度”；mi是邊界s上的外向單位法矢量，w為應(yīng)變能密度。

如果令vi=ei=Δi/Δ表示單位位移在坐標方向上的分量，即e1=cosα, e2=sinβ，α為位移Δ與x1的夾角，β為位移Δ與x2的夾角。若引進ni=-mi表示路徑s內(nèi)法線單位向量，即代表邊界向彈性體內(nèi)部方向移動[4-5]。于是邊界移動的能量釋放率可定義為：

(2)

如果邊界s上的各點均以同一個方向運動，邊界開裂二維模型如圖1所示，則式(2)可由守恒積分Ji表示，即:

(3)

圖1 s→0時邊界開裂二維實體模型

Fig.1 Model of boundary cracking whens→0 for two-dimensional solids

在數(shù)學(xué)和幾何上，邊界的開裂等價于邊界的移動。局部邊界s幾何移動后形成一個缺口，當(dāng)s→0后缺口退化成裂紋，構(gòu)成了邊界單裂紋開裂的幾何模型。前期的研究工作表明[6-7]，其自由邊界s沿α(與x1方向的夾角)方向開裂的能量釋放率為：

(4)

其中

(5)

其中sl為彈性體內(nèi)任意一條積分曲線，且與s構(gòu)成閉合回路。其中(J1)|s→0為邊界s沿x1方向單位移動的能量釋放率，即能量型驅(qū)動力；(J2)|s→0為邊界s沿x2方向單位移動的能量型驅(qū)動力。通過研究該模型不僅適用于裂紋問題，也適用于壓痕邊界等一般邊界的開裂問題。

2 Ⅱ型裂紋Ji-積分

考慮彈性體裂紋面，泊松比μ，彈性模量E。分析中采用局部直角坐標系x1，x2。同時引入柱坐標系統(tǒng)(r，θ，z)，其與直角坐標關(guān)系為x1=rcosθ，x2=rsinθ。裂尖局部邊界示意如圖2所示，積分路徑Г從裂紋下表面到上表面，假定裂紋表面自由，在其他邊界上的載荷或位移沿著裂紋面平行或者正交方向[8-10]，從而更好地分析所提出的問題。

圖2 裂尖局部邊界(ro→0+)

Fig.2 The local boundary of the crack tip (ro→0+)

參考圖2所示的坐標系統(tǒng)，其中x1垂直于裂尖，x2垂直于裂紋面，將線彈性斷裂力學(xué)中裂尖的應(yīng)力和位移場代入方程(5)中，由式(5)得出：

(6)

(7)

(8)

(9)

KⅡ為滑開型裂紋應(yīng)力強度因子。也意味著應(yīng)力強度因子能夠通過Ji-積分來計算，即沿著裂紋下表面任意一點到上表面任一點的積分路徑來計算Ji-積分從而得出K值[11-12]。

3 Ⅱ型裂紋邊界分叉式開裂分析

3.1 裂尖處Ji積分基本特征

在Ⅱ型裂紋裂尖處存在K-控制區(qū)，裂尖處積分路徑如圖2所示。J1-積分在裂尖邊界附近所處的四個象限均為正。J2-積分在Ⅰ 和 Ⅲ 象限為正值，在Ⅱ和Ⅳ象限為負值。當(dāng)h→0并且b→0，裂尖邊界區(qū)域分為四部分，裂紋邊界為：s=s45+s51+s12+s23→0，在各象限內(nèi)分別給出能量釋放率以便于分析裂尖的分叉行為。以Js23-積分為例，利用方程(6)和(7)得出Ji-積分：

(10)

(11)

應(yīng)用同一方法得出沿路徑s12、s23、s45和s51上的Ji-積分值，如表1所示，正則化的沿積分路徑各Ji-積分變化如圖3所示，取μ=0.3分析。

表1 沿路經(jīng)s12、s23、s45、s51 和正則化Ji-積分

圖3 沿積分路徑 Ji-積分分布規(guī)律

Fig.3 Along the integration pathJi- integral distribution rule

3.2 Ⅱ型裂紋開裂能量釋放率

J1(s12)、J1(s23)、J1(s45)和J1(s51)均為正值，如表1所示，意味著它們對裂紋邊界擴展及裂紋邊界沿著x1方向擴展起作用。J2有著不同的行為，J2(s12)>0 表明如果邊界s12沿著x2方向擴展，裂紋體將釋放能量，須考慮該積分對裂紋擴展的影響。J2(s23)<0意味著邊界s23沿著x2負方向移動，裂紋體將吸收能量，這是不可能發(fā)生，因此，這種情況下的將不考慮J2(s23)的影響。然而-J2(s51)>0 意味著邊界沿著x2負方向移動，意味著如果邊界s51沿著x2負方向移動，裂紋體將釋放應(yīng)變能，則必須考慮該積分對多級裂紋分叉擴展的影響。同理，在-J2(s45)<0這種情況下，實際中它也是不可能發(fā)生的，也不考慮-J2(s45)的影響。

由以上分析，不難得出裂紋分叉的能量釋放率，裂尖邊界能量釋放率分別表示為：

(12)

(13)

(14)

(15)

可由方程(4)獲得不同開裂形式的能量釋放率，例如準靜態(tài)三叉開裂裂紋能量釋放率：

(16)

將表1中的結(jié)果帶入式(16)可得到如下結(jié)果：

(17)

(18)

(19)

其中α1c和α2c是理論推導(dǎo)的可能產(chǎn)生的臨界開裂角，Gtri-b為三叉開裂時的最大應(yīng)變能，可用修正因子Ftri-b來表示該最大應(yīng)變能為：

(20)

式中:

(21)

當(dāng)三叉開裂時最大應(yīng)變能(Gtri-b)max趨近于臨界應(yīng)變能時，Ⅱ型裂紋在裂紋擴展時將沿著三角形分叉，疲勞測試中也得出相應(yīng)的現(xiàn)象，并且很顯然屬于支裂紋增長。

4 結(jié)論

文中給出了一個裂紋分叉開裂的研究方法，將部分路徑積分與能量釋放率結(jié)合起來，建立了裂紋分叉開裂的能量釋放率，導(dǎo)出了臨界開裂條件。并指出裂紋邊界分叉開裂的應(yīng)力強度因子與Ji-積分的關(guān)系。同時，也證明Griffith理論不僅適用于裂紋擴展也適用于裂紋分叉。

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(編輯 王亞新)

An Energy-Based Fracture Model for Cracking from Mode-Ⅱ Crack-Tip

Cai Yongmei， Zhang Fangyao， Xie Yujun

(School of Mechanical Engineering, Liaoning Shihua University, Fushun Liaoning 113001, China)

The cracking branching is a new type of fracture problem. The classicJi-integral has been further explored utilizing a partial integral path, from which an analytical solution of the energy release rate for mode-Ⅱcrack-branching. The SIFs is determined for the crack based on theJi-integral. When the singular stress field reaches its critical value, fracture will take place on the surface of boundary. The fracture of crack-branching is formulized and the critical load also is analytically derived by using the energy release rate of boundary translation.

Fracture toughness;Ji-Integral; Crack-branching; Stress intensity factors; Critical load

1006-396X(2015)05-0095-04

2014-06-30

2015-05-20

國家自然科學(xué)基金項目(50771052，50971068)；遼寧省自然基金項目(20082188)；遼寧省教育廳重點實驗室項目(LS2010100)。

蔡永梅(1981-)，女，博士研究生，講師，從事斷裂力學(xué)、化工機械等研究；E-mail:cymlnpu@163.com。

謝禹鈞(1960-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事斷裂力學(xué)、結(jié)構(gòu)完整性評定等研究；E-mail:yjxie@mail.fsptt.ln.cn。

TE905; O346.1

A

10.3969/j.issn.1006-396X.2015.05.019