孫 鵬，崔澤建

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

非線性發(fā)展方程可以用來描述自然科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)的許多復(fù)雜現(xiàn)象．尋找新的求解方法并得到非線性發(fā)展方程的新形式精確解，作為非線性發(fā)展方程的重要研究內(nèi)容已經(jīng)成為該領(lǐng)域的研究熱點之一．

近年來，許多簡單有效的求解方法已經(jīng)被提出并發(fā)展起來，例如Tanh-展開法［1］、F-展開法［2］、齊次平衡法［3］、指數(shù)展開法［4］、雅克比橢圓函數(shù)法［5］、Hirota 雙線性展開法［6］和(G'/G)展開法［7］等．

受(G'/G)展開法的啟發(fā)，LI［8］等提出了(ω/g)展開法．(G'/G)和(g'/g2)作為(ω/g)展開法的兩種特殊方法已被運用于求解Vakhnenko 方程，結(jié)果表明相比于(G'/G)展開法，(g'/g2)展開法在過程中更加簡單方便．黃［9］等運用(G'/G)展開法求解了KPP 方程，陳［10］等運用(g'/g2)展開法求解了CNKGE，本文將運用(g'/g2)展開法求解KPP 方程．

1 (g'/g2)展開法

非線性方程的一般形式可表示為:

把未知函數(shù)u=u(x，t)作行波變換，得u=u(ξ)，ξ=x-Vt，然后將方程(1)化作關(guān)于變量ξ 的常微分方程:

(g'/g2)展開法是假設(shè)方程(2)的解可以表示成一個如下多項式的形式:

其中g(shù)=g(ξ)滿足如下的二階常微分方程(ODE):

式(3)和(4)中ai(i=1，2，3，…，n)以及λ，μ 都是待定常數(shù)，且a0≠0，正整數(shù)n 由齊次平衡法確定．由方程(4)可得:

當(dāng)μλ ＞0 時，

當(dāng)μλ ＜0 時，

當(dāng)μ=0，λ≠0 時，

其中c1和c2是任意常數(shù)．

u(ξ)可以利用以下步驟確定:

①利用齊次平衡法確定多項式(3)中的階數(shù)，從而確定解的形式．

②將(3)帶入(1)中，利用并且將(4)進行變形之后，得到新形式方程，再令其各項系數(shù)為0，確定系數(shù)ai．

③通過計算得出系數(shù)，最終確定解．

2 用(g'/g2)展開法解KPP 方程

KPP 方程的一般形式為:

令u=u(ξ)，ξ=x-Vt，那么ut= -Vu，uxx=u″，其中，u'是u 關(guān)于ξ 的一階導(dǎo)數(shù)，u″是u 關(guān)于ξ 的二階導(dǎo)數(shù)．那么此方程就變成如下形式:

由齊次平衡法得，O(n″)=n+2，O(n3)=3n，n+2 =3n，可得n=1．

因此

將上面幾式代入(9):

整理，合并同類項，令各項系數(shù)為0，得到:

an≠0 可得

(當(dāng)a0，a1，取某一組值時，V 的值唯一)共得四組系數(shù)．

下面以其中任意一組系數(shù)說明(其他三組同理可得):

當(dāng)λμ ＞0 時，得到三角函數(shù)通解

當(dāng)λμ ＜0 時，得到雙曲函數(shù)通解

當(dāng)μ=0，λ≠0 時，得到有理函數(shù)通解

其中c1和c2是任意常數(shù)．

3 結(jié) 論

本文通過運用(g'/g2)展開法成功求出KPP 方程的精確解，分為三類:三角函數(shù)通解，雙曲函數(shù)通解，有理函數(shù)通解．從求解的過程來看，(g'/g2)展開法直接有效，而且可以運用計算機進行求解，更為方便．因此，該方法可用于構(gòu)造數(shù)學(xué)物理學(xué)中其他非線性發(fā)展方程的解．

［1］ FAN E G． Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations［J］． Phys Lett A，2000，277(4 -5):212-218．

［2］ ZHOU Y B，WANG M L，WANG Y L． Periodic wave solutions to a coupled KdV equations with variable coefficients［J］． Phys Lett A，2003，308(1):31 -36．

［3］ WANG M L． Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations［J］． Phys Lett A，1995，199(3):169 -172

［4］ HE J H，ABDOU M A． New periodic solutions for nonlinear evolution equations using Exp-function method［J］．Chaos，Solitons and Fractals，2007，34(5):1421 -1429．

［5］ LIU S K，F(xiàn)U Z T，LIU S D，et al． Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations［J］． Phys Lett A，2001，289(S1 -2):69 -74．

［6］ HIROTA R． Exact solution of the Korteweg-de vries equation for multiple collisions of solitons［J］． Phys Rev Lett，1971，27(18):1192 -1194．

［7］ WANG M L，LIA X Z，ZHANG J L． The (G'/G)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］． Phys Lett A，2008，372(4):417 -423．

［8］ LI W A，CHEN H，ZHANG G C． The (ω/g)-expansion method and its application to Vakhnenko equation［J］． Chinese Phys B，2009，18(2):400 -404．

［9］ 黃 怡，崔澤建． (G'/G)展開法和KPP 方程的新精確解［J］． 西華師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，34(2):199 -202．

［10］ 陳繼培，陳 浩． (g'/g2)展開法及其在耦合非線性Klein-Gordon 方程中的應(yīng)用［J］．華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，44(2):63 -66．