陳琦，王中原，常思江

（南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇南京210094）

帶有落角約束的間接Gauss偽譜最優(yōu)制導(dǎo)律

陳琦，王中原，常思江

（南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇南京210094）

針對(duì)帶有落角約束的末制導(dǎo)問(wèn)題，提出了一種基于極小值原理和Gauss偽譜法的最優(yōu)制導(dǎo)律。以期望落角方向?yàn)樽鴺?biāo)軸定義了落角坐標(biāo)系，并在其中建立了線性化的導(dǎo)引運(yùn)動(dòng)關(guān)系方程。將控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化為1階慣性環(huán)節(jié)，利用極小值原理得到正則方程，然后引入Gauss偽譜法進(jìn)行離散，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，結(jié)合邊界條件，推導(dǎo)出最優(yōu)制導(dǎo)律的解析表達(dá)式，無(wú)需任何積分過(guò)程，避免了求解黎卡提微分方程。仿真結(jié)果表明，所提出的算法運(yùn)算量小，計(jì)算效率高，同時(shí)也能方便地求解出復(fù)雜加權(quán)矩陣下的最優(yōu)制導(dǎo)律，能夠在滿足落角約束的條件下更快地收斂到落角參考線，并且具有更小的末端需用過(guò)載。

兵器科學(xué)與技術(shù)；落角約束；最優(yōu)控制；末制導(dǎo)律；極小值原理；間接Gauss偽譜法

0 引言

在導(dǎo)彈實(shí)施末端精確打擊時(shí)，為了最大限度提高毀傷效果，往往希望導(dǎo)彈以最小的脫靶量命中目標(biāo)的同時(shí)，還能以特定的落角攻擊目標(biāo)要害或薄弱的部位。因此，帶有落角約束的末制導(dǎo)律目前已逐漸成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)［1-4］。文獻(xiàn)［5］利用圓軌跡導(dǎo)引思想，設(shè)計(jì)出了一種帶有落角約束的三維制導(dǎo)律；文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［7］采用模型預(yù)測(cè)靜態(tài)規(guī)劃技術(shù)，得到了可滿足終端落角要求的非線性次優(yōu)制導(dǎo)律；文獻(xiàn)［8］基于滑?？刂萍夹g(shù)，研究了落角約束導(dǎo)引律設(shè)計(jì)問(wèn)題，并同時(shí)考慮了自動(dòng)駕駛儀1階動(dòng)力學(xué)延遲的情況；文獻(xiàn)［9］提出了一種非奇異終端滑模制導(dǎo)律，避免了傳統(tǒng)終端滑模制導(dǎo)律在控制量輸入飽和時(shí)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。

隨著最優(yōu)控制理論的發(fā)展，越來(lái)越多的學(xué)者將最優(yōu)控制理論應(yīng)用于帶有落角約束的末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)［10］將剩余飛行時(shí)間的函數(shù)作為性能指標(biāo)，利用最優(yōu)控制理論得到了帶有落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［11］利用線性二次型最優(yōu)控制理論研究了帶落角約束的制導(dǎo)律，并與微分對(duì)策理論進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了最優(yōu)控制理論在求解最優(yōu)制導(dǎo)律方面具有較大的優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)［12］通過(guò)引入碰撞三角，將導(dǎo)引運(yùn)動(dòng)關(guān)系方程進(jìn)行了線性化，之后依然采用最優(yōu)控制理論研究了最優(yōu)制導(dǎo)律的問(wèn)題。在將末制導(dǎo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問(wèn)題后，上述研究均采用極小值原理進(jìn)行求解，通過(guò)積分正則方程得到協(xié)態(tài)變量，然后利用極值條件獲得最優(yōu)解。這種方法雖然精度很高，但推導(dǎo)過(guò)程較為繁瑣，特別是對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，顯示求解正則方程將會(huì)變得非常困難。為此，文獻(xiàn)［13］通過(guò)求解黎卡提微分方程得到了最優(yōu)制導(dǎo)律，這在一定程度上降低了計(jì)算難度，但在一般情況下，要得到黎卡提微分方程的解析解依然是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)?？紤]到這一點(diǎn)，文獻(xiàn)［14］利用黎卡提微分方程的穩(wěn)態(tài)解作為代替，得到了最優(yōu)制導(dǎo)律，但這只是一種近似的處理方法，局限性較大。與上述研究不同，文獻(xiàn)［15］采用Gauss偽譜法，以實(shí)時(shí)彈道優(yōu)化的思想研究了帶有落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律，完全避免了積分正則方程和求解黎卡提微分方程，很大程度上簡(jiǎn)化了推導(dǎo)過(guò)程，并取得了不錯(cuò)的制導(dǎo)效果。但是該制導(dǎo)律需要不斷地調(diào)用優(yōu)化算法求解非線性規(guī)劃問(wèn)題，計(jì)算量較大，求解效率較低，實(shí)際應(yīng)用時(shí)有一定的局限性。文獻(xiàn)［16］采用解析方法求解了考慮高階自動(dòng)駕駛儀情況下的最優(yōu)制導(dǎo)律問(wèn)題，但其只考慮了簡(jiǎn)單的加權(quán)矩陣，在某些任務(wù)需求中，如果需要設(shè)計(jì)復(fù)雜的加權(quán)矩陣，該方法求解起來(lái)則會(huì)變得較為繁瑣。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文結(jié)合極小值原理和Gauss偽譜法，提出了一種新型帶有落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律，稱為間接Gauss偽譜最優(yōu)制導(dǎo)律。利用極小值原理推導(dǎo)出正則方程，引入Gauss偽譜法將正則方程離散為代數(shù)方程，結(jié)合邊界條件，得到了最優(yōu)制導(dǎo)律的解析表達(dá)式。與其他文獻(xiàn)的制導(dǎo)律相比，文中所提出的方法不需要任何積分或優(yōu)化迭代過(guò)程，避免了求解黎卡提微分方程，同時(shí)在推導(dǎo)過(guò)程中不對(duì)加權(quán)矩陣的具體形式進(jìn)行限制，可以很方便地處理具有復(fù)雜加權(quán)矩陣的最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題，具有較強(qiáng)的靈活性。

1 問(wèn)題描述

帶有落角約束的平面末制導(dǎo)幾何關(guān)系如圖1所示。其中:M和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)；OxIyI為地面坐標(biāo)系；Txfyf為落角坐標(biāo)系，其原點(diǎn)與目標(biāo)固連，Txf軸與期望落角方向重合；θd為期望落角的大?。籿M和aM分別為導(dǎo)彈飛行速度及法向過(guò)載；θM為地面坐標(biāo)系下的彈道傾角；R和q分別為彈目距離和視線角；θ為落角坐標(biāo)系下彈道傾角，表示落角誤差；y為導(dǎo)彈和Txf軸的距離偏差；為導(dǎo)彈和Tyf軸的距離偏差；為彈目連線和Txf軸的夾角。

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)幾何關(guān)系圖Fig.1 Geometrical relationship between missile and target

圖1中用于表示角度的箭頭為逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)，相應(yīng)的角度定義為正，反之為負(fù)。由此可得到如下的角度關(guān)系:

當(dāng)存在落角約束時(shí)，在落角坐標(biāo)系Txfyf下建立相應(yīng)的導(dǎo)引運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解難度。為此，結(jié)合圖1可得如下的導(dǎo)引運(yùn)動(dòng)方程:

假設(shè)導(dǎo)彈的飛行速度vM為常數(shù)，落角坐標(biāo)系Txfyf下的彈道傾角θ較小，并定義v=vMθ，則（2）式可線性化為

進(jìn)一步將導(dǎo)彈控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化為1階慣性環(huán)節(jié)，

式中:aM，c和Tc分別表示為制導(dǎo)指令和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)。結(jié)合（3）式和（4）式，可得落角坐標(biāo)系下的導(dǎo)引運(yùn)動(dòng)方程為

式中:x=［yvaM］T；x0=［y0v00］T；

根據(jù)圖1可知，當(dāng)導(dǎo)彈到達(dá)目標(biāo)時(shí)，如果速度vM和Txf軸重合，即y（tf）=0，v（tf）=0，其中tf為末端時(shí)刻，那么即可滿足終端零脫靶量和期望的落角約束。因此，本文帶有落角約束的末制導(dǎo)問(wèn)題可以描述為如下的有限時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題P:在［t0，tf］時(shí)間內(nèi)，確定控制量u，使得導(dǎo)彈M在滿足約束（5）式的條件下，從初始狀態(tài)x0轉(zhuǎn)移到Txf軸上，并使如下的性能指標(biāo)最小。

式中:F、Q和R均為正定的對(duì)角矩陣，分別表示對(duì)末端狀態(tài)量、狀態(tài)量及控制量的加權(quán)。

2 最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

針對(duì)第1節(jié)中的最優(yōu)控制問(wèn)題P，構(gòu)造如下形式的Hamiltonian函數(shù):

式中:λ（t）為協(xié)態(tài)向量。根據(jù)正則方程可得

根據(jù)極值條件

可得最優(yōu)控制量為

將（10）式帶入（8）式，并根據(jù)橫截條件，可得如下的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題:

當(dāng)加權(quán)矩陣Q、R比較簡(jiǎn)單時(shí)，可以通過(guò)解析方法獲得問(wèn)題P的最優(yōu)解［10，16］，但是對(duì)于復(fù)雜的加權(quán)矩陣，解析法需要重新推導(dǎo)演算，計(jì)算過(guò)程較為繁瑣，實(shí)際應(yīng)用有諸多不便。此外，反向積分黎卡提微分方程的方法也可以獲得最優(yōu)控制量，但這種方法耗時(shí)較長(zhǎng)，實(shí)際使用時(shí)也存在一定的局限性。為此，本文提出了一種間接Gauss偽譜法，通過(guò)全局多項(xiàng)式逼近（11）式中的λ（t）和x（t），引入微分矩陣近似相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而將（11）式轉(zhuǎn)換為一系列的代數(shù)方程，求解這些代數(shù)方程便可得到解析形式的最優(yōu)控制量。采用Gauss偽譜法需要將時(shí)間區(qū)域［t0，tf］轉(zhuǎn)換到［-1，1］上，為此引入變量子對(duì)時(shí)間t進(jìn)行變換，即

因此，（11）式變?yōu)?/p>

由于（13）式中第1式已知初值，第2式已知末值，因此采用Gauss偽譜法對(duì)二者進(jìn)行離散的方式略有不同。對(duì)于x（子），用N個(gè)Gauss節(jié)點(diǎn)子1，子2，…，子N和初始點(diǎn)子0=-1上的離散狀態(tài)構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式近似x（子），

對(duì)（14）式微分得

結(jié)合（16）式和（17）式，（13）式的離散格式為

式中:xk≡x（子k）；λk≡λ（子k）.根據(jù)Gauss求積公式［17］，狀態(tài)量的末值x（1）和協(xié)態(tài)量的初值λ（-1）可通過(guò)下式得到:

式中:wk為Gauss求積系數(shù)。

證明 引入常數(shù)變量p（t）=c，利用（16）式對(duì)其進(jìn)行離散可得

接下來(lái)引入如下形式的分步積分:

式中:tk（k=1，2，…，N）為Gauss節(jié)點(diǎn)。結(jié)合（16）式和（17）式，將（23）式中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)用微分近似矩陣表示，可得

由于證明過(guò)程中并未限制f（t）和g（t）的具體形式，因此（24）式對(duì)所有的多項(xiàng)式均成立。取f（t）為N次Lagrange插值基函數(shù)Ll（t），l=0，1，…，N（其所使用的N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)為初始點(diǎn)t0=-1加上N個(gè)Gauss節(jié)點(diǎn)）；g（t）為N次Lagrange插值基函數(shù)，j=1，2，…，N+1（其所使用的N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)為N個(gè)Gauss節(jié)點(diǎn)加上末端點(diǎn)tN+1=1）.以上的取法使f（t）和g（t）各有N+1種形式，如果只使用其中的l=1，2，…，N對(duì)應(yīng)的Ll（t）和j=1，2，…，N對(duì)應(yīng)的，則有

因此可得

因此有

由定理可知，通過(guò)微分插值基函數(shù)Lk（t）得到矩陣D后，由（20）式便可非常方便地計(jì)算出其他3個(gè)矩陣

式中:

將（25）式寫成簡(jiǎn)潔形式為

給定ΛN+1和X0，通過(guò)（28）式可以解析地求出N個(gè)Gauss節(jié)點(diǎn)上的協(xié)態(tài)量λi和狀態(tài)量xi，i=1，2，…，N，將其帶入到（19）式中便可得到端點(diǎn)上的協(xié)態(tài)量λ（-1）和狀態(tài)量x（1）.至此，所有節(jié)點(diǎn)上的協(xié)態(tài)量和狀態(tài)量均已得出，根據(jù)（10）式便可得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的最優(yōu)控制量，如（29）式所示，

從以上的推導(dǎo)過(guò)程可以看出，最優(yōu)控制量的計(jì)算中不需要任何的積分或迭代過(guò)程，只要已知初始偏差X0，即可解析地確定［t0，tf］時(shí)間歷程內(nèi)各節(jié)點(diǎn)上的控制量，相比于傳統(tǒng)的反向積分黎卡提微分方程的方法，這可在很大程度上提高運(yùn)算速度。由于（29）式中的最優(yōu)控制量只依賴于初始偏差，所以（29）式得到的是開(kāi)環(huán)最優(yōu)解，無(wú)法抑制外界干擾的影響。為了解決這一問(wèn)題，本文引入了滾動(dòng)時(shí)域方法。流程如下:

步驟1 初始化Gauss節(jié)點(diǎn)和初始時(shí)刻t0，給定初始狀態(tài)量x0.

步驟2 根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)剩余飛行時(shí)間tgo，得到tf=t0+tgo.

步驟4 只取第1個(gè)控制量，即t0時(shí)刻對(duì)應(yīng)的控制量u0，將其作用于（5）式中得到下一時(shí)刻t′以及狀態(tài)量x.

步驟5 判斷是否命中目標(biāo)。如果沒(méi)有命中目標(biāo)，以當(dāng)前時(shí)刻t′作為初始時(shí)刻t0，當(dāng)前狀態(tài)作為初始狀態(tài)x0，重復(fù)步驟2～步驟4，直至命中目標(biāo)。

值得注意的是，（25）式中每個(gè)微分矩陣的計(jì)算都需要tf的值，因此，步驟2通過(guò)估計(jì)剩余飛行時(shí)間tgo，對(duì)tf進(jìn)行了近似，結(jié)合圖1，tgo采用下式進(jìn)行估計(jì):

3 算例仿真與分析

為了驗(yàn)證所提出算法的準(zhǔn)確性并考察其性能，3.1節(jié)將（28）式的計(jì)算結(jié)果和目前成熟的最優(yōu)控制問(wèn)題求解軟件GPOPS的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。3.2節(jié)在不同條件下對(duì)所提出的末制導(dǎo)算法進(jìn)行了仿真分析。3.3節(jié)將所提出的末制導(dǎo)算法和其他帶有落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行了對(duì)比分析。

3.1 準(zhǔn)確性驗(yàn)證

結(jié)合極小值原理和Gauss偽譜法，（28）式給出了最優(yōu)控制問(wèn)題P的解析解（包括狀態(tài)量和協(xié)態(tài)量），有必要對(duì)其準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。GPOPS是由A. Patterson和Anil V.Rao等學(xué)者開(kāi)發(fā)的最優(yōu)控制問(wèn)題通用求解軟件，該軟件利用Gauss積分偽譜方法將連續(xù)時(shí)間的最優(yōu)控制問(wèn)題直接離散為非線性規(guī)劃問(wèn)題，然后調(diào)用相關(guān)優(yōu)化算法進(jìn)行求解。目前該軟件廣泛應(yīng)用于軌跡優(yōu)化、交會(huì)對(duì)接以及軌道轉(zhuǎn)移等領(lǐng)域，并且其計(jì)算精度已被諸多學(xué)者所驗(yàn)證［18-20］。因此，3.1節(jié)選用GPOPS求解最優(yōu)控制問(wèn)題P，并與（28）式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。問(wèn)題P的計(jì)算參數(shù)假設(shè)如下:t0=0 s；tf=30 s；x0=［500，50，0］T；離散節(jié)點(diǎn)數(shù)目取為40；時(shí)間常數(shù)假設(shè)為Tc=1.0 s；性能指標(biāo)中的加權(quán)矩陣取F=diag（1000，1 000，1 000），Q=diag（1/4002，1/1502，1/502），R=diag（1/502）.對(duì)比結(jié)果如圖2和圖3所示，其中x和λ表示（28）式的計(jì)算結(jié)果，x*和λ*表示GPOPS的計(jì)算結(jié)果。

圖2展示了兩種方法得到的狀態(tài)量和協(xié)態(tài)量的對(duì)比效果，從中可以看出，二者的計(jì)算結(jié)果吻合得非常好。圖3為狀態(tài)量和協(xié)態(tài)量誤差曲線，從中可以明顯地看出，狀態(tài)量的誤差不超過(guò)2×10-5，協(xié)態(tài)量的誤差則更小，低于1×10-9.以上對(duì)比結(jié)果表明，解析表達(dá)（28）式具有很高的計(jì)算精度。此外，GPOPS在求解過(guò)程中必須調(diào)用SNOPT或IPOPT進(jìn)行迭代尋優(yōu)，這一過(guò)程會(huì)消耗較多的計(jì)算資源并產(chǎn)生較長(zhǎng)的計(jì)算耗時(shí)，而（28）式則避免了這種尋優(yōu)過(guò)程。表1對(duì)比了GPOPS和（28）式在MATLAB平臺(tái)下的計(jì)算耗時(shí)，可以看出（28）式在計(jì)算效率上具有非常明顯的優(yōu)勢(shì)，這種優(yōu)勢(shì)在滾動(dòng)時(shí)域過(guò)程中將更為突出。

圖2 狀態(tài)量和協(xié)態(tài)量對(duì)比結(jié)果Fig.2 Comparisons of states and costates

表1 兩種方法的計(jì)算耗時(shí)對(duì)比Tab.1 Comparison of computation times of two methods

圖3 狀態(tài)量和協(xié)態(tài)量誤差曲線Fig.3 Errors of states and costates

3.2 不同條件下末制導(dǎo)性能

為了考察所提出算法的性能，對(duì)不同條件下的末制導(dǎo)性能進(jìn)行了仿真分析。具體仿真參數(shù)見(jiàn)表2，其他參數(shù)（離散節(jié)點(diǎn)數(shù)目、時(shí)間常數(shù)及權(quán)重矩陣）與3.1節(jié)一致。仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。

表2 末制導(dǎo)仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters for terminal guidance

圖4給出了在θ0=0°，θd=-60°條件下，不同起始距離偏差y0對(duì)應(yīng)的彈道曲線及過(guò)載曲線。圖4中的落角參考線與圖1中的Txf軸重合，也表示零過(guò)載彈道曲線。由圖4可以看出，當(dāng)導(dǎo)彈沿著落角參考線飛行時(shí)，便可滿足落角約束。從圖4（a）可以看出，在不同的起始距離偏差下，導(dǎo)彈均能較好地趨向于落角參考線，以期望的落角去攻擊目標(biāo)。從圖4（b）可以看出，制導(dǎo)初始段過(guò)載較大，并且其幅值隨y0的增加而增加，這樣可以使得落角更快地向期望值收斂。同時(shí)還可以看出，不同情況下的過(guò)載最終都會(huì)趨向于0，這從另外一方面驗(yàn)證了導(dǎo)彈在彈道末端將和落角參考線重合，并且在彈道末端隨著需用過(guò)載的減小，導(dǎo)彈的抗干擾能力也會(huì)隨之增強(qiáng)。

圖4 不同起始距離偏差情況下仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results at different initial miss distances

圖5展示了不同初始偏角θ0情況下的制導(dǎo)效果（y0=500 m，θd=-60°）。由圖5可以看出，導(dǎo)彈能夠很好地趨向于落角參考線，可以在滿足落角約束的條件下攻擊目標(biāo)。圖6給出了在不同期望落角θd條件下制導(dǎo)效果。結(jié)合圖6（a）和圖6（b）可知導(dǎo)彈能夠準(zhǔn)確地命中目標(biāo)，并且可以很好地滿足相應(yīng)的落角約束。從圖6（c）可看出，隨著期望落角的絕對(duì)值增加，彈道過(guò)載的幅值相應(yīng)地變大，但最終均也逐漸收斂到0.

以上的仿真算例選取的控制量權(quán)函數(shù)為常數(shù)，然而在某些情況下，根據(jù)具體的任務(wù)需求，有時(shí)會(huì)選取時(shí)變的控制量權(quán)函數(shù)，如文獻(xiàn)［10］構(gòu)造的權(quán)函數(shù)為剩余時(shí)間的冪函數(shù)，文獻(xiàn)［21］研究了一般加權(quán)函數(shù)情況下的最優(yōu)制導(dǎo)律求解問(wèn)題。復(fù)雜的權(quán)函數(shù)給問(wèn)題的求解帶來(lái)一定的難度，然而在本文所提方法的推導(dǎo)過(guò)程中，并未對(duì)權(quán)函數(shù)的具體形式有所限制，因此，本文方法可以非常容易地處理復(fù)雜的加權(quán)函數(shù)。為了驗(yàn)證所提方法對(duì)復(fù)雜加權(quán)函數(shù)的求解效果，參考文獻(xiàn)［21］，選擇指數(shù)函數(shù)形式的加權(quán)函數(shù)，即

式中NG為制導(dǎo)系數(shù)。這種形式的加權(quán)函數(shù)給問(wèn)題的求解帶來(lái)了很大的難度，傳統(tǒng)的方法將會(huì)遇到很大的困難。而本文方法只需在程序中更改W值即可，其他求解公式無(wú)需作任何改變，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖5 不同起始偏角情況下仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results in the case of different initial heading errors

圖6 不同期望落角情況下仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results at different desired impact angles

從圖7（a）可以看出，隨著系數(shù)NG的增加，導(dǎo)彈將更快地趨向于落角參考線。圖7（b）則展示了導(dǎo)彈過(guò)載隨NG的變化情況，從中可以看出，隨著NG的增加，開(kāi)始階段的過(guò)載逐漸增加，但末段的過(guò)載則更快地趨向于0，這有助于提高導(dǎo)彈的末端過(guò)載裕量。不同的加權(quán)函數(shù)可以產(chǎn)生不同的制導(dǎo)效果，針對(duì)特定的任務(wù)需求，可以合理地設(shè)計(jì)相應(yīng)的加權(quán)函數(shù)。而本文方法則很容易得到復(fù)雜加權(quán)函數(shù)下的最優(yōu)控制量，相比與傳統(tǒng)的方法，具有很強(qiáng)的靈活性。

3.3 與其他算法的比較

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出算法的有效性，將所提算法分別和文獻(xiàn)［15］及文獻(xiàn)［22］中提出的算法進(jìn)行對(duì)比。

文獻(xiàn)［15］以期望落角作為末端約束，能量最優(yōu)作為性能指標(biāo)，采用實(shí)時(shí)彈道優(yōu)化的思想求解了帶有落角約束的末制導(dǎo)問(wèn)題，并取得了不錯(cuò)的效果。為便于對(duì)比描述，本文將這種算法記為彈道優(yōu)化制導(dǎo)律。

圖7 不同過(guò)載加權(quán)函數(shù)情況下仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results in the case of different acceleration weights

文獻(xiàn)［22］所提出的偏置比例制導(dǎo)律算法可描述如下:

式中:uBPN為制導(dǎo)指令，即為導(dǎo)彈過(guò)載；η為制導(dǎo)系數(shù)；

vM為導(dǎo)彈飛行速度；為視線角速度；θd為期望落角。根據(jù)文獻(xiàn)［22］，制導(dǎo)系數(shù)選取為NG=4，η=1.3.

各算法的對(duì)比結(jié)果如圖8所示。從圖8（a）可以看出，3種算法均能命中目標(biāo)，但是本文方法能以更快的速度趨向于落角參考線。圖8（b）的過(guò)載曲線展示出本文方法在制導(dǎo)初始段需要較大的過(guò)載，這樣可以使得導(dǎo)彈更快地收斂于落角參考線，這也和圖8（a）中的現(xiàn)象是一致的。此外在彈道末端，偏置比例制導(dǎo)律產(chǎn)生了很大的過(guò)載，彈道優(yōu)化制導(dǎo)律次之，而本文算法則最小。由此可見(jiàn)，本文方法在末端具有較大的過(guò)載裕量。由圖8（c）可知，3種算法均能保證落角約束，但顯然本文方法能更快地收斂于期望落角。

圖8 不同制導(dǎo)律情況下仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results in the case of different guidance laws

4 結(jié)論

本文提出了一種帶有落角約束具有解析形式的間接Gauss偽譜最優(yōu)制導(dǎo)律，并在不同條件下進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1）在落角坐標(biāo)系中建立了線性化的導(dǎo)引運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)化了問(wèn)題的求解，運(yùn)用最優(yōu)控制理論將末制導(dǎo)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為最優(yōu)控制問(wèn)題。

2）結(jié)合極小值原理和Gauss偽譜法推出了解析形式的最優(yōu)制導(dǎo)律，避免了間接法中的求解黎卡提微分方程和直接法中的尋優(yōu)過(guò)程，在很大程度上提高了末制導(dǎo)效率，同時(shí)可以處理一類具有復(fù)雜加權(quán)矩陣的最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問(wèn)題，可為此類問(wèn)題的求解提供了一個(gè)新的思路。

3）通過(guò)和GPOPS結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了所得解析表達(dá)式的準(zhǔn)確性。不同的仿真算例驗(yàn)證了所提出的算法的有效性。和已有文獻(xiàn)［15，20］相比，所提出的算法能夠在滿足落角約束的條件下更快地收斂到落角參考線，并且具有更小的末端需用過(guò)載。

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［1］ Ashwini R，Debasish G.Impact angle constrained guidance against nonstationary nonmaneuvering targets［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，33（1）:269-275.

［2］ Sun M W，Xu Q，Du S Z，et al.Practical solution to impact angle control in vertical plane［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2014，37（3）:1022-1027.

［3］ 張友安，馬培蓓.帶有攻擊角度和攻擊時(shí)間控制的三維制導(dǎo)［J］.航空學(xué)報(bào)，2008，29（4）:1020-1026. ZHANG You-an，MA Pei-bei.Three-dimensional guidance law with impact angle and impact time constraints［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2008，29（4）:1020-1026.（in Chinese）

［4］ Harrison G A.Hybrid guidance law for approach angle and timeof-arrival control［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35（4）:1104-1114.

［5］ 胡錫精，黃雪梅.具有碰撞角約束的三維圓軌跡制導(dǎo)律［J］.航空學(xué)報(bào)，2012，33（3）:508-519. HU Xi-jing，HUANG Xue-mei.Three-dimensional circular guidance law with impact angle constraints［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2012，33（3）:508-519.（in Chinese）

［6］ 魏鵬鑫，荊武興，高長(zhǎng)生.具有落角約束的彈道導(dǎo)彈再入末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，45（9）:23-30. WEI Peng-xin，JING Wu-xing，GAO Chang-sheng.Design of the reentry terminal guidance law with constraint of impact angle for ballistic missile［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2013，45（9）:23-30.（in Chinese）

［7］ Oza H B，Padhi R.Impact-angle-constrained suboptimal model predictive static programming guidance of air-to-ground missiles［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35（1）: 153-164.

［8］ Lee C H，Kim T H，Tahk M J.Design of impact angle control guidance laws via high-performance sliding mode control［J］.Journal of Aerospace Engineering，2013，227（2）:235-253.

［9］ Kumar S R，Rao S，Ghose D.Nonsingular terminal sliding mode guidance with impact angle constraints［J］.Journal of Guidance， Control，and Dynamics，2014，37（4）:1114-1130.

［10］ Ryoo C K，Cho H，Tahk M J.Time-to-go weighted optimal guidance with impact angle constraints［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2006，14（3）:483-492.

［11］ Shaferman V，Shima T.Linear quadratic guidance laws for imposing a terminal intercept angle［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2008，31（5）:1400-1412.

［12］ Cho H，Ryoo C K，Tsourdos A，et al.Optimal impact angle control guidance law based on linearization about collision triangle［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2014，37（3）: 958-964.

［13］ 竇磊，楊新民.大著地角衛(wèi)星制導(dǎo)炸彈最優(yōu)制導(dǎo)律研究［J］.南京理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，34（3）:314-318. DOU Lei，YANG Xin-min.Optimal guidance law of satellite guided bombs with large landing angle［J］.Journal of Nanjing U-niversity of Science and Technology:Natural Science，2010，34（3）:314-318.（in Chinese）

［14］ 侯明善.精確對(duì)地攻擊姿態(tài)約束最優(yōu)末制導(dǎo)設(shè)計(jì)［J］.兵工學(xué)報(bào)，2008，29（1）:63-67. HOU Ming-shan.Optimum terminal guidance for air-to-ground missile with impact angle constraint［J］.Acta Armamentarii，2008，29（1）:63-67.（in Chinese）

［15］ Zhang L M，Sun M W，Chen Z Q，et al.Receding horizon trajectory optimization with terminal impact specifications［J］.Mathematical Problems in Engineering，2014（5）:604705.

［16］ Rusnak I，Meir L.Modern guidance law for high-order autopilot［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1991，14（5）:1056-1058.

［17］ 關(guān)冶，陸金甫.數(shù)值分析基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，2005. GUAN Ye，LU Jin-pu.Fundamentals of numerical analysis［M］.Beijing:High Education Press，2005.（in Chinese）

［18］ Darby C L，Rao A V.Minimum-fuel low-earth-orbit aeroassisted orbital transfer of small spacecraft［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2011，48（4）:618-628.

［19］ Furfaro R，Cersosimo D，Wibben D R.Asteroid precision landing via multiple sliding surfaces guidance techniques［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2013，36（4）:1075-1092.

［20］ Boyarko G，Romano M，Yakimenko O.Time-optimal reorientation of a spacecraft using an inverse dynamics optimization method［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34（4）: 1197-1208.

［21］ 張友安，黃詰，孫陽(yáng)平.帶有落角約束的一般加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)律［J］.航空學(xué)報(bào)，2014，35（3）:848-856. ZHANG You-an，HUANG Jie，SUN Yang-ping.Generalized weighted optimal guidance laws with impact angle constraints［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2014，35（3）:848-856.（in Chinese）

［22］ Kim B S，Lee J G，Han H S.Biased PNC law for impact with angular constraint［J］.Aerospace and Electronic Systems，1998，34（1）:277-287.

Optimal Guidance Law with Impact Angle Constraints Based on Indirect Gauss Pseudospectral Method

CHEN Qi，WANG Zhong-yuan，CHANG Si-jiang
（School of Energy and Power Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China）

A novel optimal guidance law is proposed for the terminal guidance with impact angle constraints by using the combination of the minimal principle and Gauss pseudospectral method.An impact angle coordinate system is defined with an coordinate axis in the direction of the desired impact angle，and the linear engagement kinematics is established using this coordinate system.The control system of missile is simplified into a first-order inertial system.The canonical equation is obtained via the minimal principle，and then translated into a set of algebraic equations by employing the Gauss pseudospectral method.According to the boundary conditions，an analytical solution is finally derived for the optimal guidance law with impact angle constraints without any integral process or solving the Riccati differential equation.Numerical simulations show that the proposed guidance law ensures the much fast convergence of impact angle to the reference line，and has smaller required terminal acceleration compared with other guidance laws.In addition，the proposed guidance law can easily tackle with the guidance problem with complex weighting matrices.

ordnance science and technology；impact angle constraint；optimal control；terminal guidance；minimal principle；indirect Gauss pseudospectral method

TJ765.3

A

1000-1093（2015）07-1203-10

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.008

2014-09-09

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11402117）

陳琦（1989—），男，博士研究生。E-mail:qiychan@126.com；王中原（1958—），男，研究員，博士生導(dǎo)師。E-mail:zywang@njust.edu.cn