蓋京波，孔耀

（哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

基于物理特性參數(shù)的可靠性評(píng)估

蓋京波，孔耀

（哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

在運(yùn)用科學(xué)的評(píng)估方法進(jìn)行裝備任務(wù)可靠性評(píng)估時(shí)，針對(duì)大型機(jī)械裝備在有限的試驗(yàn)時(shí)間內(nèi)難以得到足夠的失效數(shù)據(jù)，甚至沒(méi)有失效數(shù)據(jù)的問(wèn)題，基于物理特性參數(shù)進(jìn)行任務(wù)可靠性評(píng)估成為行之有效的途徑。簡(jiǎn)述了基于物理特性參數(shù)任務(wù)可靠性評(píng)估的基本流程，探討了基于Kendall相關(guān)系數(shù)的系統(tǒng)非線性相關(guān)性分析方法和基于核回歸的輸入輸出變量回歸關(guān)系建模方法，并給出了基于核回歸的輸出參數(shù)條件概率分布理論和裝置任務(wù)可靠性評(píng)估方法。以某大型復(fù)雜機(jī)械液壓裝置為例，通過(guò)監(jiān)測(cè)裝備的性能參數(shù)變化，使用可靠度的計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)了裝置任務(wù)可靠性水平評(píng)估的目的。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)；可靠性評(píng)估；物理特性參數(shù)；Kendall相關(guān)性分析；核回歸建模

0 引言

機(jī)械裝置，特別是一些國(guó)防裝備，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展中發(fā)揮重要的作用，對(duì)國(guó)防力量的建設(shè)始終擔(dān)負(fù)著重要的角色。機(jī)械裝置的發(fā)展水平直接影響經(jīng)濟(jì)建設(shè)的發(fā)展水平以及國(guó)家現(xiàn)代化建設(shè)的安全。而機(jī)械裝置發(fā)展水平高低的一個(gè)重要指標(biāo)是裝置的任務(wù)可靠性水平。在國(guó)防裝備的復(fù)雜機(jī)械液壓系統(tǒng)中，可將系統(tǒng)的各種性能監(jiān)測(cè)參數(shù)分為輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)。由于復(fù)雜機(jī)械液壓裝置的運(yùn)行過(guò)程涉及到各種機(jī)械傳動(dòng)和液壓傳動(dòng)方式，因而輸入變量與輸出變量之間也呈現(xiàn)出復(fù)雜的相關(guān)性。大型復(fù)雜機(jī)械液壓高可靠性裝備任務(wù)可靠性評(píng)估過(guò)程往往伴隨著物理特性監(jiān)測(cè)參數(shù)的變化。因此，基于物理特性參數(shù)進(jìn)行任務(wù)可靠性評(píng)估成為行之有效的途徑。

目前，可靠性評(píng)估主要有兩種方法:一是傳統(tǒng)的基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的可靠性評(píng)估方法［1］，其評(píng)估的基礎(chǔ)是試驗(yàn)或使用的時(shí)間（次數(shù)）與發(fā)生故障之間的關(guān)系。這就要求對(duì)系統(tǒng)或設(shè)備進(jìn)行大樣本的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，導(dǎo)致試驗(yàn)周期長(zhǎng)、費(fèi)用高；另一種是近幾年開(kāi)始逐步應(yīng)用的基于物理特性或基于性能退化的可靠性評(píng)估方法［2-7］，其評(píng)估的基礎(chǔ)是裝備性能或物理特性參數(shù)變化的失效機(jī)理。對(duì)于高可靠性長(zhǎng)壽命的產(chǎn)品而言，即使經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的試驗(yàn)時(shí)間仍然可能出現(xiàn)無(wú)失效數(shù)據(jù)的情況，利用物理特性監(jiān)測(cè)參數(shù)進(jìn)行任務(wù)可靠性評(píng)估不僅可以節(jié)省高昂的試驗(yàn)費(fèi)用，而且有利于系統(tǒng)維修計(jì)劃的優(yōu)化。

基于物理特性分析的可靠性評(píng)估方法主要是通過(guò)對(duì)裝備的主要物理特性的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行詳細(xì)研究，系統(tǒng)分析這些測(cè)試數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，以達(dá)到裝置可靠性評(píng)估的目的。為此，本文提出的基于物理特性參數(shù)的裝置可靠性評(píng)估流程，如圖1所示。

圖1 基于物理特性參數(shù)裝置可靠性評(píng)估流程Fig.1 Reliability assessment process based on the physical parameters

1 基礎(chǔ)理論

1.1 基于Kendall系數(shù)的相關(guān)性分析

分析變量之間的線性相關(guān)性常用矩相關(guān)系數(shù)，而機(jī)械液壓系統(tǒng)涉及復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)，使得輸入變量與輸出變量之間具有復(fù)雜的非線性相關(guān)性，此時(shí)，需要利用Kendall-τ相關(guān)系數(shù)來(lái)描述輸入變量X與輸出變量Y之間的非線性相關(guān)關(guān)系［8］。Kendall-τ相關(guān)系數(shù)描述的是一般意義的相關(guān)性，即若X增加時(shí)，Y有增加的趨勢(shì)，此時(shí)稱X與Y為正相關(guān)。若當(dāng)X增加時(shí)，Y有減少的趨勢(shì)，則稱X與Y負(fù)相關(guān)。

Kendall-τ相關(guān)系數(shù)的定義為:假設(shè)（X，Y）的一個(gè)容量為n的樣本（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn），成對(duì)數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），為其樣本的觀測(cè)值，統(tǒng)計(jì)值

稱為Kendall-τ相關(guān)系數(shù)，其中sgn（·）為符號(hào)函數(shù)。

令

總體參數(shù)

式中:P1為M＞0的概率；P2為M＜0的概率。

τ是θ無(wú)偏估計(jì)。令

顯然-n（n-1）/2≤q≤n（n-1）/2，即-1≤τ≤1.

實(shí)際上，上述θ值的正負(fù)與大小說(shuō)明了Y隨X的增加而相應(yīng)增加或減少的關(guān)系。因?yàn)?，若θ值大?，則表明M＞0的概率大于M＜0的概率，即X與Y同步增加或同步減少的可能性更大；反之，若θ值小于0，則表明M＞0的概率小于M＜0的概率，反映了X增加而Y減少，或X減少而Y增加這種關(guān)系的可能性更大。θ值越接近1，說(shuō)明X與Y同步增加或同步減少的關(guān)系越強(qiáng)烈；θ值越接近-1，則反映了X增加而Y減少，或X減少而Y增加的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)烈。顯然，θ值越接近0，則說(shuō)明X與Y的相關(guān)關(guān)系越弱。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于相關(guān)系數(shù)［3］，若|τ|＜0.3，關(guān)系極弱，認(rèn)為不相關(guān)；0.3≤|τ|＜0.5，低度相關(guān)；0.5≤|τ|＜0.8，中度相關(guān)；0.8≤|τ|＜0.95，高度相關(guān)；|τ|≥0.95，存在顯著相關(guān)性。

初步確定相關(guān)程度后，需要進(jìn)行顯著性水平檢驗(yàn)。在大樣本條件下，當(dāng)兩變量之間獨(dú)立時(shí)，Kendall-τ相關(guān)系數(shù)漸進(jìn)服從正態(tài)分布，可利用正態(tài)分布的性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，小樣本條件下的Kendall-τ相關(guān)系數(shù)的分布是不確定的，可以通過(guò)C++或Eviews進(jìn)行算法設(shè)計(jì)，得到Kendall-τ相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)確的顯著性水平［8］。所以，可以從n對(duì)實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中任取兩對(duì)構(gòu)成符號(hào)函數(shù)，取法總數(shù)為N=C2n，而且符號(hào)函數(shù)給出了M＞0的個(gè)數(shù)與M＜0的個(gè)數(shù)之差，故根據(jù)用頻率估計(jì)概率的原理，用Kendall-τ相關(guān)系數(shù)作為θ的估計(jì)，能夠很好地描述X與Y之間的相關(guān)關(guān)系。

1.2 基于核回歸的變量回歸關(guān)系建模

回歸模型是描述系統(tǒng)輸入與輸出參數(shù)之間因果關(guān)系的常用模型［9-12］。在傳統(tǒng)的回歸模型中，

往往假定m（x）有某種特定的數(shù)學(xué)形式，如線性型m（x）=b0+b1x，并假定誤差y-m（x）=ε的分布為正態(tài)分布，如常見(jiàn)的線性回歸模型:

式中:b0、b1、σ2未知，且與x無(wú)關(guān)。

對(duì)于復(fù)雜的機(jī)械裝置而言，其系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性與試驗(yàn)、使用工況的復(fù)雜性，導(dǎo)致輸入輸出變量之間往往不滿足線性關(guān)系，即回歸函數(shù)非線性。此時(shí)，采用基于線性回歸模型和最小二乘法得出的估計(jì)不一定好用。因此，考慮采用基于核函數(shù)的非線性回歸技術(shù)，該方法無(wú)需假設(shè)數(shù)據(jù)的參數(shù)模型，沒(méi)有隱含的約束，大大減少了計(jì)算量，解決了復(fù)雜機(jī)械裝置輸入輸出變量之間的因果關(guān)系建模問(wèn)題。

考慮回歸函數(shù)m（x）的估計(jì)問(wèn)題，若在樣本值（xi，yi），i=1，2，…，n中有k個(gè)xi恰好等于指定的x0，則將這些挑出來(lái)，記為xi1，xi2，…，xik，這時(shí)回歸函數(shù)m（x）的一個(gè)自然估計(jì)便是對(duì)應(yīng)于xis的那些yis，s=1，2，…，k值的算術(shù)平均值，即

實(shí)際上，一般不會(huì)有太多的恰好等于指定的x0，有時(shí)甚至一個(gè)都沒(méi)有。如此，找一個(gè)充分小的數(shù)hn＞0，考慮x1，x2，…，xn恰好落在［x0-hn，x0+hn］中的那些xi1，xi2，…，xik，從而用yi1，yi2，…，yik的平均值作m（x）的估計(jì)。

若令

則

注意到Wng與x及x1，x2，…，xn有關(guān)，故Wng可稱為yi的權(quán)，更確切的說(shuō)是在整個(gè)樣本值中相對(duì)于x點(diǎn)的權(quán)，它反映了在估計(jì)m（x）時(shí)，樣本值（xi，yi）作用的大小。將其一般化，設(shè)

是選定的n個(gè)依賴于x0和x1，x2，…，xn的函數(shù)，則（7）式稱為回歸函數(shù)m（x）的權(quán)函數(shù)估計(jì)，｛Wng｝稱為權(quán)函數(shù)。如何選取權(quán)函數(shù)以解決回歸建模，目前使用較多的方法是核函數(shù)法。即先選定一維實(shí)函數(shù)K（y），一般地，為概率密度函數(shù)，且窗寬hn＞0，然后令

在核函數(shù)窗寬的選取中，窗寬hn的選擇影響核回歸的精度，窗寬hn取的太小會(huì)增加隨機(jī)的影響，使核密度曲線產(chǎn)生很多突出點(diǎn)。反之，窗寬hn取的太大，核密度函數(shù)將會(huì)過(guò)度平均化。因此，需要選取合適的窗寬找到這個(gè)合適的“契合點(diǎn)”。

基于積分均方誤差的最優(yōu)化窗寬［13］為

窗寬的表達(dá)式依賴于f（x），但f（x）的表達(dá)式未知，一般將其作假設(shè)N（μ，σ2），得到窗寬的表達(dá)式為

在實(shí)際的工程計(jì)算中，一般是根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)結(jié)合核函數(shù)的相關(guān)數(shù)學(xué)理論確定窗寬，擬合圖像后再進(jìn)一步調(diào)整。

1.3 輸出變量條件概率分布理論

設(shè)輸入變量為X，輸出變量為Y，X與Y之間的核回歸模型為

式中:ε～N（0，σ2）.則當(dāng)取定X=X0時(shí)，Y為正態(tài)分布隨機(jī)變量，且Y的條件均值E（Y|X0）和條件方差D（Y|X0）分別為

當(dāng)Y的設(shè)計(jì)要求值為YU時(shí)，由變量Y所決定的單次成功條件概率（X=X0）為

2 任務(wù)可靠性評(píng)估方法

基于物理特性參數(shù)任務(wù)可靠性評(píng)估的具體流程為:

1）根據(jù)歷次系統(tǒng)試驗(yàn)記錄的性能數(shù)據(jù)，采用非線性相關(guān)性分析方法——Kendall相關(guān)系數(shù)法，辨識(shí)出輸入變量與輸出變量之間的相關(guān)性程度。

2）對(duì)存在較強(qiáng)相關(guān)性的輸入輸出變量進(jìn)行回歸分析，采用非參數(shù)回歸分析方法——核回歸建模方法，確定輸入輸出變量之間的因果關(guān)系定量模型。

3）在核回歸模型的基礎(chǔ)上，以參數(shù)的設(shè)計(jì)要求為輸入?yún)?shù)，確定輸出參數(shù)的條件概率分布。

4）在輸出變量條件概率分布的基礎(chǔ)上，根據(jù)各輸出變量相應(yīng)的設(shè)計(jì)要求值，評(píng)估復(fù)雜機(jī)械液壓裝置的任務(wù)可靠性。

裝置的任務(wù)可靠度是指在給定的輸入邊界條件，完成其規(guī)定任務(wù)的概率［14］?？紤]到復(fù)雜機(jī)械液壓裝置實(shí)際使用中工況的復(fù)雜性，一般將輸入變量分為若干等級(jí)，在各等級(jí)下分別評(píng)估裝置的任務(wù)可靠度。在輸入變量沒(méi)有達(dá)到裝置的使用極限及塑性變形內(nèi)，輸入?yún)?shù)的各等級(jí)下的任務(wù)是獨(dú)立的。裝置由各輸入變量決定的任務(wù)可靠度評(píng)估的具體步驟如下:

步驟1 將裝置某輸入變量等級(jí)Vi所對(duì)應(yīng)的區(qū)間看作均勻分布的取值區(qū)間，從該均勻分布中隨機(jī)抽樣N0次，得到的輸入變量樣本數(shù)據(jù)記為，r= 1，2，…，N0.

步驟5 將步驟1～4重復(fù)進(jìn)行n次，即可得到Vi下單次任務(wù)可靠度的l個(gè)估計(jì)值，將這l個(gè)估計(jì)值的均值作為的點(diǎn)估計(jì)值，將這l個(gè)估計(jì)值按小到大的順序排列，給定置信度0.95，則排在第［（α/2）·l］為區(qū)間估計(jì)的左端點(diǎn)，排在第l-［（α/2）·l］的數(shù)為區(qū)間估計(jì)的右端點(diǎn)

步驟6 N0次任務(wù)要求下對(duì)應(yīng)等級(jí)Vi的任務(wù)可靠度為

步驟7 N0次任務(wù)中出現(xiàn)不滿足設(shè)計(jì)要求的平均次數(shù)的上限為

3 實(shí)例分析

3.1 輸入變量與輸出變量之間的Kendall相關(guān)性分析

在某大型裝置的試驗(yàn)過(guò)程中，系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)包括質(zhì)量、嚙合速度、能量等，系統(tǒng)的輸出參數(shù)包括最大負(fù)加速度、主液壓缸壓力、油溫等。根據(jù)Kendall相關(guān)系數(shù)的系統(tǒng)非線性分析方法，該裝置的輸入變量與輸出變量之間的Kendall相關(guān)性分析結(jié)果如表1所示。

表1 某型裝置輸入與輸出變量相關(guān)性分析結(jié)果Tab.1 Correlation analysis results of input and output variables of a device

通過(guò)Kendall相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)，對(duì)于關(guān)鍵輸出參數(shù)最大負(fù)加速度Y1而言，與之最相關(guān)的輸入?yún)?shù)為嚙合速度X1；對(duì)于關(guān)鍵輸出參數(shù)主液壓缸壓力Y2而言，與之最相關(guān)的是輸入?yún)?shù)為能量X2；對(duì)于主液壓缸溫差Y3而言，3個(gè)輸入?yún)?shù)均與之沒(méi)有顯著的相關(guān)性。

3.2 輸入與輸出變量核回歸模型

由核回歸理論，基于所有有效的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，取窗寬h1=10，得到嚙合速度X1與最大負(fù)加速度Y1的回歸模型為

式中:x為待預(yù)測(cè)點(diǎn)的速度；y1（x）為待預(yù)測(cè)點(diǎn)的最大負(fù)加速度；n為累積有效試驗(yàn)次數(shù)；｛（x1i，y1i），i= 1，2，…，n｝為試驗(yàn)獲得的速度與加速度的數(shù)據(jù)對(duì)；h1為核函數(shù)的窗寬，這里取h1=10；核函數(shù)

基于所有有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到嚙合速度v與最大負(fù)加速度m1（v）的回歸關(guān)系，其典型值如表2所示。

表2 最大負(fù)加速度核回歸結(jié)果Tab.2 Kernel regression results of maximum negative acceleration

根據(jù)觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)和回歸模型的預(yù)測(cè)值，得到最大負(fù)加速度的殘差序列

由最大負(fù)加速度殘差序列，可得到參數(shù)σ1的估計(jì)值為

同理，由核回歸理論，基于所有有效的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，取窗寬h2=400，得到能量X2與主液壓缸壓力Y2的回歸模型為

式中:x為待預(yù)測(cè)點(diǎn)的能量；y2（x）為待預(yù)測(cè)點(diǎn)的主液壓缸壓力；n為累積有效試驗(yàn)次數(shù)；｛（x2i，y2i），i= 1，2，…，n｝為試驗(yàn)獲得的能量與主液壓缸壓力的數(shù)據(jù)對(duì)；核函數(shù)

基于所有有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到能量e與主液壓缸壓力m2（e）的回歸關(guān)系，其典型值如表3所示。

根據(jù)觀測(cè)樣本數(shù)據(jù)和回歸模型的預(yù)測(cè)值，得到主液壓缸壓力的殘差序列為

表3 主液壓缸壓力核回歸結(jié)果Tab.3 Kernel regression results of main hydraulic cylinder pressure

由主液壓缸殘差序列，可得到參數(shù)的估計(jì)值為

3.3 給定輸入變量下單次成功概率評(píng)估

由表2可知，當(dāng)嚙合速度v=60 km/h時(shí)，最大負(fù)加速度的期望值為m1（v）=1.048 6 g，其標(biāo)準(zhǔn)差為σ1=0.245 8 g.若最大負(fù)加速度的設(shè)計(jì)要求值為a≤2.5 g.

于是，由（16）式得在速度v=60 km/h時(shí)的單次成功概率為

同理可得到給定各嚙合速度等級(jí)下由最大加速度決定的單次成功概率，如表4所示。

表4 單次成功概率Tab.4 Single success probability

由表3可知，當(dāng)極限能量e=4 300 t·m時(shí)，主液壓缸壓力的期望值為m2（e）=37.93 MPa，其標(biāo)準(zhǔn)差為σ2=1.235 6 MPa.若主液壓缸壓力設(shè)計(jì)要求值為pp≤50 MPa，根據(jù)正態(tài)分布理論，計(jì)算下式:

可見(jiàn)，在正常能量下，主液壓缸壓力超過(guò)設(shè)計(jì)值的概率基本為0，基本不會(huì)出現(xiàn)主液壓缸壓力超標(biāo)的情況。

3.4 裝置任務(wù)可靠性評(píng)估

考慮到裝置實(shí)際使用過(guò)程工況的復(fù)雜性，將嚙合速度劃分為60～70 km/h，70～80 km/h，80～90 km/h，90～95 km/h等4個(gè)等級(jí)，將能量劃分為2500～3000 t·m，3 000～3 500 t·m，3 500～4 000 t·m，4 000～4 300 t·m等4個(gè)等級(jí)。

根據(jù)裝置任務(wù)可靠度評(píng)估方法，可得到各速度等級(jí)及能量等級(jí)下對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布參數(shù)的估計(jì)值。分別見(jiàn)表5和表6.

各嚙合速度等級(jí)下最大負(fù)加速度任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)（n=100），見(jiàn)表7.

表5 參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.5 Parameter estimates

表6 參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.6 Parameter estimates

表7 任務(wù)可靠度（α=0.95）Tab.7 Mission reliability（α=0.95）

同理，可計(jì)算各能量等級(jí)下的對(duì)應(yīng)下主液壓缸壓力任務(wù)可靠度的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)基本為1，基本不會(huì)出現(xiàn)壓力超標(biāo)現(xiàn)象。

4 結(jié)論

針對(duì)大型復(fù)雜高可靠性要求的機(jī)械設(shè)備提出了一種基于物理特性參數(shù)的可靠性評(píng)估方法。該方法充分利用系統(tǒng)的各種性能監(jiān)測(cè)參數(shù)，根據(jù)相關(guān)性分析及核回歸建模方法，給出了可靠度的計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)了可靠性評(píng)估的目的，對(duì)其他相似產(chǎn)品的可靠性評(píng)估也有著積極的借鑒意義。

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Reliability Assessment Based on Physical Parameters

GAI Jing-bo，KONG Yao
（College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，Heilongjiang，China）

A scientific evaluation method used to evaluate mission reliability is difficult to get enough failure data in limited testing time for the large mechanical equipment，or even get no failure data.Reliability assessment based on physical parameters has become an effective way.The reliability assessment process based on physical parameters is briefly described.The system nonlinear correlation analysis method based on the Kendall correlation coefficient and the relation between input and output variables based on kernel regression modeling method are discussed.The output parameters of the conditional probability distribution theory based on kernel regression and device reliability evaluation methods are given.A large complex mechanical hydraulic equipment is evaluated，which monitors the performance parameters in order to use the reliability calculation method to achieve the mission reliability assessment.

mathematical statistics；reliability evaluation；physical parameter；Kendall correlation analysis；kernel regression modeling

TB114.3；O213.2

A

1000-1093（2015）06-1104-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.06.020

2014-07-21

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金項(xiàng)目（HEUCF130208）

蓋京波（1976—），男，副教授，碩士生導(dǎo)師。E-mail:gaijingbo@hrbeu.edu.cn