吳彬

摘要：混沌出現(xiàn)后，古典學(xué)科便終止了?；煦缧蛄械某霈F(xiàn)，圖像加密尤其是彩色圖像的加密變得簡單?；煦鐝某霈F(xiàn)至今，經(jīng)過了半個(gè)世紀(jì)的演變，每一次的變換，都給彩色圖像加密提供了更加安全的密鑰序列。

關(guān)鍵詞：加密算法 混沌 超混沌

Abstract：When Chaos appears， then the classical discipline be terminated，and image encryption becomes easy，especially for color image encryption. Chaos system has gone through half a century， the color image encryption becomes more and more secure.

Keyword： encryption algorithm; chaotic system; super chaotic system

一、引言

混沌出現(xiàn)后，古典科學(xué)便終止了，由于混沌序列具有極端的初值敏感性、偽隨機(jī)性、序列軌道不可預(yù)測性等優(yōu)點(diǎn)[1]，混沌的這些特點(diǎn)，正好解決了網(wǎng)絡(luò)中多媒體信息傳送，尤其是圖像傳送的加密問題?；煦绲陌l(fā)展從經(jīng)典的Logistic映射、二維廣義貓映射（Cat Map）、三維統(tǒng)一混沌系統(tǒng)（3D Unified Chaotic System）等以及超混沌大致四個(gè)階段的演變過程。從最簡單的Logistic映射開始，他們的維數(shù)逐漸增多，所構(gòu)造的序列復(fù)雜度逐漸增加，用來給圖像加密的密鑰空間也在逐漸的海量級的增加。

二、混沌的定義

混沌理論（ChaoticTheory）是三十年才出現(xiàn)的，他的出現(xiàn)有著劃時(shí)代的意義?；煦?、相對論、量子論被譽(yù)為二十世紀(jì)的最偉大發(fā)現(xiàn)?；煦缋碚摲穸税ê暧^世界拉普拉斯 （Laplace）式的決定型因果律。混沌是非線性系統(tǒng)所獨(dú)有且廣泛存在的一種非周期運(yùn)動(dòng)形式，其覆蓋面涉及到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的幾乎每一個(gè)分支。

混沌運(yùn)動(dòng)只出現(xiàn)在非線性動(dòng)力系統(tǒng)中，它是既普遍又極復(fù)雜的現(xiàn)象。它的通常狀態(tài)不是通常概念下確定性運(yùn)動(dòng)的三種狀態(tài)：靜止、周期運(yùn)動(dòng)和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，而是一種始終局限于有限區(qū)域且軌道永不重復(fù)的、性態(tài)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。把在某些確定性非線性系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機(jī)因素，其系統(tǒng)內(nèi)部存在著非線性的相互作用所產(chǎn)生的類隨機(jī)現(xiàn)象稱為“混沌”、“自發(fā)混沌”、“動(dòng)力學(xué)隨機(jī)性”、“內(nèi)在隨機(jī)性”等等。

根據(jù)Li-Yorke定義， 1983年Day認(rèn)為一個(gè)混沌系統(tǒng)應(yīng)該具有如下三種性質(zhì)：第一，存在所有階的周期軌道;第二，存在一個(gè)不可數(shù)集合，該集合只含有混沌軌道，且任意兩個(gè)軌道既不趨向遠(yuǎn)離也不趨向接近，而是兩種狀態(tài)交替出現(xiàn)，同時(shí)任一軌道不趨向于任一周期軌道，即該集合不存在漸進(jìn)周期軌道;第三，混沌軌道具有高度的不穩(wěn)定性。

三、Logistic映射

Logistic映射是一種經(jīng)典混沌映射，非常簡單卻被廣泛應(yīng)用，Logistic映射系統(tǒng)定義[2]：

xn+1=μxn（1-xn） ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

Logistic映射具有典型的混沌特性，被譽(yù)為是最簡單但卻最經(jīng)典的混沌模型，它的出現(xiàn)，開辟了混沌序列研究的先河。在式（1）中，當(dāng)該映射唯一的參數(shù)μ∈（3.5699456，4]時(shí)，Logistic映射就會(huì)產(chǎn)生混沌序列，也就是說該映射處于混沌的狀態(tài)。它具有混沌的所有特性，即偽隨機(jī)性、初值極端敏感性以及序列的完全不可預(yù)測性。

Logistic映射雖然具有典型的混沌序列的特性，但是它只有一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)μ，所能產(chǎn)生的密鑰空間非常有限，且只能產(chǎn)生一組序列，用于多媒體信息加密顯得捉襟見肘。

四、二維統(tǒng)貓義貓映射

二維的混沌系統(tǒng)模型最早是由Arnold提出來的[3]，因?yàn)橐恢笔褂靡粡堌埬樠菔?，因而取名貓映射。它的模型式如下?/p>

xn+1=（xn+yn）mod1

yn+1=（xn+2yn）mod1（2）

從數(shù)學(xué)模型看，當(dāng)x mod 1=1-|x|，該映射的序列的范圍在一個(gè)取值在[0，1]正方形中，將該模型轉(zhuǎn)換成矩陣即可得式（3）：

xn+1

yn+1=1 1

1 2xn

yn=Cxn

ynmod1（3）

經(jīng)過幾次變換后，式（3）可變換成式（4），式（4）中有2個(gè)獨(dú)立參數(shù)p、q，產(chǎn)生兩個(gè)序列Xn和Yn，加上取模預(yù)算參數(shù)N，系統(tǒng)一共有三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，且能產(chǎn)生二維的序列，正好適合彩色圖像加密過程的坐標(biāo)置換加密。

xn

yn=1 p

q pq+1x0

y0modN+1（4）

使用二維貓映射對彩色圖像加密，產(chǎn)生了二維序列，且有兩個(gè)系統(tǒng)參數(shù)，序列的密鑰空間和復(fù)雜度大幅度提升。但是使用二維貓映射系統(tǒng)對彩色圖像進(jìn)行坐標(biāo)置亂加密，只改變了圖像的像素坐標(biāo)，卻不能改變圖像的灰度值，也就是明文和密文的圖像灰度值直方圖是一樣的，若已知明文類型的攻擊，則很難抵御，算法的安全性仍然需要提高。

五、三維統(tǒng)一混沌系統(tǒng)

2002年，Liu Jin-hu等人提出了三維統(tǒng)一混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)將Lorenz系統(tǒng)和 Chen系統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)一和連接后形成的[2]，他們構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型如式（5）所示：

x′=（25a+10）（y-x）

y′=（28-35a）x-xz+（29a-1）y

z′=xy-（8+a）z/3（5）

該系統(tǒng)可以產(chǎn)生三維序列，有三個(gè)非線性項(xiàng)，而且有四個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，復(fù)雜度大幅度提高。在彩色圖像加密應(yīng)用中，三維序列非常適合用來替代彩色圖像的R、G、B三基色的灰度值。通常，將彩色圖像用二維貓映射進(jìn)行坐標(biāo)置亂加密后，再用三維統(tǒng)一混沌系統(tǒng)對R、G、B三基色的灰度值替代加密，可產(chǎn)生非常好的加密效果。將經(jīng)過二維坐標(biāo)置亂和三基色灰度值替代加密后，算法密鑰空間可提高大幅度提高，若每個(gè)參數(shù)使用15位的雙精度數(shù)，二維貓映射有3個(gè)系統(tǒng)參數(shù)，三維統(tǒng)一混沌系統(tǒng)有4個(gè)參數(shù)，結(jié)合后的加密算法則有7個(gè)參數(shù)。采用三維和二維混沌結(jié)合的加密方法加密后，密鑰空間比只用二維廣義貓映射混沌序列加密算的密鑰空間提高1015+15+15+15=1060倍。無論是密鑰空間，還是算法復(fù)雜度，以及直方圖，兩個(gè)系統(tǒng)結(jié)合的加密算法都可取得良好的加密效果。

六、展望

雖然混沌序列的復(fù)雜度一直在提升，2011年7月，盧輝斌、孫艷在《基于新的超混沌系統(tǒng)的圖像加密方案》又提出了超混沌， 他們構(gòu)造了一個(gè)新超混沌系統(tǒng)，并提出了基于超混沌序列的加密算法。超混沌具有四維序列，維數(shù)更高參數(shù)更多，序列更加復(fù)雜，但是加密算法從來都沒有能完全抵御攻擊。作為安全工作者，抵御各種攻擊，我們?nèi)沃囟肋h(yuǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊紅，林士勝.圖文混沌加密在互聯(lián)網(wǎng)傳的多格式處理與識(shí)別[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2005（1）：105-109.

[2]陶棟，李之棠.混沌加密圖像算法[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2003，25（4）：7-9

[3] Jorge A Gonzalez. ?Absolutely ?unpredie-

atable chaotic sequences[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2000（8）：1867-1874.

[4]張小紅，黃劍，謝斐.一種基于Logistic映射的數(shù)字圖像迭代混沌加密方法[J].電腦學(xué)習(xí)，

2003（5）：36-37.

（責(zé)編 趙建榮）