楊躍能，鄭 偉，閆 野，邵漢斌

平流層飛艇飛行模態(tài)分析*

楊躍能，鄭 偉，閆 野，邵漢斌

(國(guó)防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

平流層飛艇的總體布局、升空原理和工作模式明顯不同于導(dǎo)彈、飛機(jī)等傳統(tǒng)飛行器，其動(dòng)力學(xué)特性亦不同于上述飛行器，須深入研究其飛行動(dòng)力學(xué)的基本特性、一般規(guī)律和內(nèi)在機(jī)理。針對(duì)此問(wèn)題，系統(tǒng)研究了平流層飛艇的飛行模態(tài)。采用小擾動(dòng)方法推導(dǎo)了平流層飛艇的線性運(yùn)動(dòng)方程，將其解耦分組為縱向運(yùn)動(dòng)方程和橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程；定義模態(tài)及模態(tài)參數(shù)，研究平流層飛艇的模態(tài)分析方法；通過(guò)計(jì)算分析狀態(tài)方程的特征值和特征向量，研究了平流層飛艇的飛行模態(tài)。結(jié)果表明：縱向運(yùn)動(dòng)由浮沉、浪涌和擺動(dòng)三種模態(tài)疊加而成，橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)由偏航衰減、側(cè)滑衰減和滾轉(zhuǎn)振蕩三種模態(tài)疊加而成。

飛行力學(xué)；平流層飛艇；運(yùn)動(dòng)方程；運(yùn)動(dòng)模態(tài)；特征向量

(CollegeofAerospaceScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

臨近空間是指距地面20～100km高度之間的空間范圍，介于常規(guī)航空器的最高飛行高度和航天器的最低軌道高度之間，是跨接航空與航天的樞紐[1]。隨著航天科技的迅猛發(fā)展，人類(lèi)對(duì)臨近空間的認(rèn)識(shí)逐步深化，其特有的應(yīng)用價(jià)值和戰(zhàn)略意義日益凸顯，成為各航天大國(guó)關(guān)注的焦點(diǎn)[2]。臨近空間飛行器是指能夠在臨近空間區(qū)域飛行并執(zhí)行特定任務(wù)的飛行器，按飛行速度可分為兩大類(lèi)[3]：一類(lèi)是低動(dòng)態(tài)飛行器，包括高空氣球、平流層飛艇、高空長(zhǎng)航時(shí)無(wú)人機(jī)等；另一類(lèi)是高動(dòng)態(tài)飛行器，包括高超聲速滑翔飛行器、高超聲速巡航飛行器等。其中，平流層飛艇以其顯著的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)成為臨近空間飛行器技術(shù)的主要研究方向之一[4]。

平流層飛艇是指依靠浮升氣體提供靜升力，依靠推進(jìn)系統(tǒng)和控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)操縱飛行，長(zhǎng)期工作在平流層平均風(fēng)速較小的高度范圍，并執(zhí)行特定任務(wù)的浮空類(lèi)飛行器。平流層飛艇的總體布局、升空原理和工作模式不同于導(dǎo)彈、飛機(jī)等飛行器，具有以下特點(diǎn)：氣動(dòng)外形為流線型軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)體；主要依靠浮升氣體提供靜升力；體積/質(zhì)量比大、飛行速度低，慣性特性顯著；工作模式多為低速巡航和區(qū)域駐留。上述特點(diǎn)使得平流層飛艇的動(dòng)力學(xué)特性不同于導(dǎo)彈、飛機(jī)等飛行器，因此，須深入研究其飛行動(dòng)力學(xué)的基本特性、一般規(guī)律和內(nèi)在機(jī)理。Mueller等推導(dǎo)了高空飛艇(HighAltitudeAirship，HAA)的動(dòng)力學(xué)模型，基于小擾動(dòng)線性化方程，仿真研究了其開(kāi)環(huán)響應(yīng)特性[5]。歐陽(yáng)晉等研究了“致遠(yuǎn)一號(hào)”飛艇的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題，推導(dǎo)了六自由度運(yùn)動(dòng)方程，并對(duì)其縱向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了理論分析和仿真研究[6]。LiYuwen等建立了Skyship-500飛艇動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)仿真試驗(yàn)分析了飛艇的運(yùn)動(dòng)模態(tài)[7]。文獻(xiàn)[8]采用Newton-Euler方法推導(dǎo)了矢量形式的六自由度動(dòng)力學(xué)模型，采用近似線性化方法和Lyapunov穩(wěn)定性理論研究了飛艇的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。王曉亮以某型試驗(yàn)飛艇的非線性動(dòng)力學(xué)模型為研究對(duì)象，采用近似線性化方法分析了飛艇的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和能控性[9]。

上述文獻(xiàn)為平流層飛艇動(dòng)力學(xué)特性研究提供了借鑒，但是對(duì)平流層飛艇飛行模態(tài)的物理成因和內(nèi)在機(jī)理尚缺乏系統(tǒng)深入的研究。針對(duì)這一問(wèn)題，楊躍能等采用小擾動(dòng)方法推導(dǎo)了平流層飛艇的線性化運(yùn)動(dòng)方程，研究了平流層飛艇的模態(tài)分析方法；通過(guò)計(jì)算分析狀態(tài)方程的特征值和特征向量，系統(tǒng)研究了平流層飛艇的飛行模態(tài)，揭示了其一般規(guī)律和內(nèi)在機(jī)理。

1 平流層飛艇動(dòng)力學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系及運(yùn)動(dòng)參數(shù)定義

如圖1所示，定義地面坐標(biāo)系oexeyeze和體坐標(biāo)系obxbybzb[7]。運(yùn)動(dòng)參數(shù)定義如下：位置矢量R=[x,y,z]T，x，y，z分別為軸向、側(cè)向和豎直方向的位移；姿態(tài)角矢量Ω=[θ,ψ,φ]T，θ，ψ，φ分別為俯仰角、偏航角和滾轉(zhuǎn)角；速度矢量v=[u,v,w]T，u，v，w分別為軸向、側(cè)向和垂直方向的速度；角速度矢量ω=[p,q,r]T，p，q，r分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航角速度。CV，CG分別為平流層飛艇的浮心和重心，CV到CG的矢量為rG=[xG,yG,zG]T。

圖1 坐標(biāo)系及運(yùn)動(dòng)參數(shù)示意圖Fig.1 Coordinate frames and motion variables

1.2 線性化運(yùn)動(dòng)方程

采用小擾動(dòng)方法對(duì)平流層飛艇六自由度運(yùn)動(dòng)方程[10]進(jìn)行線性化，可得縱向線性運(yùn)動(dòng)方程和橫側(cè)向線性運(yùn)動(dòng)方程。

.2.1 縱向線性運(yùn)動(dòng)方程

平流層飛艇的縱向線性運(yùn)動(dòng)方程可表示為[11]：

(1)

式中：xL=[u,w,q,θ]T為狀態(tài)向量；uL=[T,υ,δe]T為控制向量，δe為等效水平舵，T為螺旋槳推力大小，υ為推力矢量與xbobzb面之間的夾角。

(2)

(3)

(4)

其中，Xi，Zi，Mi(i=u,w,q,θ,T,υ,δe)分別為軸向力、垂直方向力以及俯仰力矩對(duì)縱向運(yùn)動(dòng)參數(shù)和控制量的偏導(dǎo)數(shù)[10,12]。

(5)

式中，

(6)

(7)

.2.2 橫側(cè)向線性運(yùn)動(dòng)方程

平流層飛艇橫側(cè)向線性運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(8)

式中：xS=[v,p,r,φ]T為狀態(tài)向量；uS=[μ,δr]T為控制向量，δr為等效方向舵，μ為推力矢量與xbobzb面之間的夾角。

(9)

(10)

(11)

其中，Yi,Li,Ni(i=v,p,r,φ,μ,δr)分別為側(cè)向力、滾轉(zhuǎn)力矩以及偏航力矩對(duì)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)參數(shù)和控制向量的偏導(dǎo)數(shù)[11,13]：

(12)

式中，

(13)

(14)

2 模態(tài)分析方法

自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)是指在無(wú)控制輸入和無(wú)干擾條件下，僅由運(yùn)動(dòng)參數(shù)的初值所引起的擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)。在數(shù)學(xué)上，自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)為小擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的齊次方程在非零初值條件下的解。在物理上，自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)為飛艇受到瞬時(shí)擾動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)反映了平流層飛艇運(yùn)動(dòng)的固有特性[14]，因此，可以通過(guò)平流層飛艇的自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)來(lái)研究其模態(tài)特征。

2.1 特征值及特征向量

特征值及特征向量是自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)中最重要的特征量，據(jù)此可以導(dǎo)出自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)。特征值決定自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的模態(tài)及運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性；特征矢量決定各運(yùn)動(dòng)模態(tài)中各運(yùn)動(dòng)參數(shù)不同的幅值比和相位差，從而決定了各運(yùn)動(dòng)模態(tài)中運(yùn)動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)的主次要素[15]。

對(duì)于自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，平流層飛艇的狀態(tài)方程可表示為：

(15)

對(duì)于n維方陣A和n維列向量v=[v1v2…vn]T，若存在λ，使得

Av=λv

(16)

則稱λ為矩陣A的特征值，v為特征值λ所對(duì)應(yīng)的特征向量。

由式(16)可得：

(λE-A)v=0

(17)

式中，E為n維單位矩陣。

若式(17)存在非零解，則有以下特征方程成立：

(18)

當(dāng)縱向和橫側(cè)向擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)描述為4階的狀態(tài)方程時(shí)，對(duì)應(yīng)于特征值λi(i=1,2,3,4)的特征向量為：

vi=[f1(λi),f2(λi),f3(λi),f4(λi)]T

(19)

式中，f1(λi)，…，f4(λi)為特征矩陣(λiE-A)的某一行的4個(gè)代數(shù)余子式。

特征矢量vi(i=1,2,3,4)可用比值表示為：

(20)

若特征值λi為實(shí)數(shù)，則特征矢量各元素也為實(shí)數(shù)，可直接用比值表示；若特征值λi為復(fù)數(shù)，則特征矢量各元素也為復(fù)數(shù)，此時(shí)其比值可用幅值比和相位差表示。

2.2 模態(tài)及模態(tài)參數(shù)

不同特征值對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型不同，每一個(gè)實(shí)數(shù)特征值或一對(duì)復(fù)數(shù)特征值都對(duì)應(yīng)著一個(gè)基本運(yùn)動(dòng)形態(tài)，稱為模態(tài)[16]。每一個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的模態(tài)運(yùn)動(dòng)的線性疊加，構(gòu)成了平流層飛艇的擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)。

以二階系統(tǒng)為例討論模態(tài)[17]，二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)特征方程可表示為：

(21)

式中，ξ，ωn分別為系統(tǒng)的阻尼比和無(wú)阻尼自振頻率。

式(21)對(duì)應(yīng)的微分方程為：

(22)

式(21)的特征根為：

(23)

由式(23)可得，λ1,2或?yàn)橐粚?duì)共軛復(fù)根，或?yàn)閮蓚€(gè)實(shí)根。

式(22)的解為：

x(t)=X1eλ1t+X2eλ2t

(24)

如式(24)所示，當(dāng)λ1,2為兩個(gè)實(shí)根時(shí)，x(t)的運(yùn)動(dòng)為兩個(gè)指數(shù)型單調(diào)運(yùn)動(dòng)的疊加。若λ1,2為一對(duì)共軛復(fù)根，則(24)可表示為：

(25)

常用的模態(tài)參數(shù)定義如下[16]：

1)半衰期t1/2或倍幅時(shí)間t2。半衰期t1/2描述了模態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化至初始值的一半(模態(tài)收斂)所需時(shí)間；倍幅時(shí)間t2則描述了模態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化至初始值的兩倍(模態(tài)發(fā)散)所需時(shí)間。由式(25)可得，若模態(tài)收斂，則有

求解可得

當(dāng)模態(tài)發(fā)散時(shí)，則有

2)振蕩頻率ω或周期T。對(duì)于振蕩型模態(tài)，頻率ω(rad/s)表示單位時(shí)間內(nèi)的振蕩次數(shù)，周期T(s)表示振蕩一周所需的時(shí)間。由式(23)可得

3)半衰期內(nèi)振蕩次數(shù)N1/2。半衰期內(nèi)振蕩次數(shù)N1/2表明振蕩模態(tài)頻率與阻尼之間的關(guān)系，N1/2值越大，則表示振蕩頻率過(guò)高或振蕩阻尼過(guò)小。由定義可得

上述關(guān)于模態(tài)及模態(tài)參數(shù)的定義，適用于各類(lèi)由線性常微分方程描述的高階系統(tǒng)。對(duì)于4階的縱向(或橫側(cè)向)擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，當(dāng)特征根為一對(duì)共軛復(fù)根η±iω和兩個(gè)不同實(shí)根λ3,λ4時(shí)，擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

式中，x1,…,x4為擾動(dòng)狀態(tài)量。

每一個(gè)特征根對(duì)應(yīng)的模態(tài)在各個(gè)狀態(tài)量中的表現(xiàn)關(guān)系(振蕩模態(tài)振幅比例A1∶A2∶… ∶A4，相位差φ1，φ2，…，φ4和單調(diào)模態(tài)幅值比)取決于該特征根所對(duì)應(yīng)的特征矢量。

3 平流層飛艇飛行模態(tài)

3.1 縱向運(yùn)動(dòng)模態(tài)

(26)

(27)

λ1=-0.022，λ2=-0.877，λ3,4=-0.072 ± 0.097i。

根據(jù)縱向運(yùn)動(dòng)方程的特征值，可將飛艇縱向運(yùn)動(dòng)分為以下三個(gè)模態(tài)：

(a) 浪涌模態(tài)(a) Surge mode

(b) 浮沉模態(tài)(b) Heave mode

(c) 擺動(dòng)模態(tài)(c) Pendulum mode圖2 縱向運(yùn)動(dòng)模態(tài)示意圖Fig.2 Modes of longitudinal motion

圖3 縱向運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化曲線Fig.3 Variables of longitudinal motion

特征根t1/2/sT/sξωn/(rad/s)模態(tài)λ1=-0．02237．506———浪涌λ2=-0．8770．791———浮沉λ3，4=-0．072±0．097i9．62764．7420．5960．121擺動(dòng)

對(duì)應(yīng)于λ1的特征矢量為：

對(duì)應(yīng)于λ2的特征矢量為：

對(duì)應(yīng)于λ3,4的特征矢量為：

v3,4= [-0.041?0.077i0.995

0.003±0.004i0.011?0.039i]T

因?yàn)樘卣魇噶績(jī)H提供狀態(tài)變量的相對(duì)變化信息，所以可按比值給出特征矢量，假定θ對(duì)應(yīng)的特征矢量元素為1，則有：

v1=[833.333 0.333 0 1]T

v2=[8.527 30.138 0.878 1]T

λ3,4的特征矢量按比值給出時(shí)，可用幅值比及相位差表示為：

Δφ=[43.78° -74.24° 52.61° 0°]T

縱向運(yùn)動(dòng)的模態(tài)特征結(jié)構(gòu)見(jiàn)表2。

表2 縱向運(yùn)動(dòng)模態(tài)特征結(jié)構(gòu)

3.2 橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)模態(tài)

(28)

(29)

λ1=-0.127，λ2=-0.889，λ3,4=-0.149 ± 0.722i

根據(jù)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程的特征值，可將飛艇橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)分為以下三個(gè)模態(tài)：

(a) 側(cè)滑衰減模態(tài)(a) Sideslip subsidence mode

(b) 偏航衰減模態(tài)(b) Yaw subsidence mode

(c) 滾轉(zhuǎn)振蕩模態(tài)(c) Roll oscillation mode圖4 橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)模態(tài)示意圖Fig.4 Mode of lateral motion of airship

飛艇橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)模態(tài)參數(shù)見(jiàn)表3[11]。飛艇橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)的模態(tài)特征結(jié)構(gòu)見(jiàn)表4。

圖5 橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化曲線Fig.5 Variables of lateral motion

特征根t1/2/sT/sξωn/(rad/s)模態(tài)λ1=-0．1275．458———側(cè)滑衰減λ2=-0．8890．779———偏航衰減λ3，4=-0．149±0．722i4．6258．6980．2020．738滾轉(zhuǎn)振蕩

對(duì)應(yīng)于λ1的特征矢量為：

v1=[-1 -0.003 0.006 0.021]T

對(duì)應(yīng)于λ2的特征矢量為：

v2=[0.98 0.107 -0.116 -0.12]T

對(duì)應(yīng)于λ3,4的特征矢量為：

v3,4 =[-0.959 -0.164±0.027i

假定φ對(duì)應(yīng)的特征矢量元素為1，則有：

v1=[47.619 0.143 -0.286 1]T

v2=[-8.167 -0.892 0.967 1]T

λ3,4的特征矢量按比值給出時(shí)，可用幅值比及相位差表示為：

Δφ=[110.77° 101.57° -129.51° 0°]T

4 結(jié)論

本文系統(tǒng)研究了平流層飛艇的飛行模態(tài)。采用小擾動(dòng)方法將非線性運(yùn)動(dòng)方程線性化解耦為縱向和橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程，以便于采用解析法研究平流層飛艇的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。定義了平流層飛艇的模態(tài)及模態(tài)參數(shù)，通過(guò)計(jì)算分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程的特征值和特征向量，研究了其飛行模態(tài)：縱向運(yùn)動(dòng)由浮沉、浪涌和擺動(dòng)三種模態(tài)疊加而成，橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)由偏航衰減、側(cè)滑衰減和滾轉(zhuǎn)振蕩三種模態(tài)疊加而成。平流層飛艇飛行模態(tài)分析為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和飛行試驗(yàn)提供了參考依據(jù)。此外，模態(tài)分析方法還可以拓展應(yīng)用于高空氣球、浮升組合式飛艇等浮空器，豐富和發(fā)展了浮空器飛行力學(xué)理論方法，對(duì)推動(dòng)臨近空間浮空器的發(fā)展應(yīng)用具有重要價(jià)值。

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HUShousong.Automaticcontroltheory[M]. 5thed.Beijing:SciencePress, 2007. (inChinese)

Flight mode analysis for stratospheric airships

YANG Yueneng, ZHENG Wei， YAN Ye, SHAO Hanbin

Theaerodynamicshape,overalldesignandoperationprincipleofstratosphericairshipsaredifferentfromtheconventionalaircraftssuchasairplaneandmissile,andtheflightmechanism.Thedynamicscharacteristicsofthestratosphericairshiparedifferentfromtheconventionalaircrafts.Therefore,theinherentmechanismandcharacteristicsofthestratosphericairshipneedtobefurtherinvestigated.Thelinearizationequationsofmotionforstratosphericairshipwerederivedbyusingthe“smalldisturbance”theory,whichcouldbedividedintolongitudinalmotionandlateral-directionalmotion.Thefightmodesandmodeparametersweredefined,andananalyticalmethodwasproposedtoanalyzetheflightdynamics.Flightmodesofthestratosphericairshipwereinvestigatedbasedoneigenvalueandeigenvectorofthestateequations.Resultsshowthatthelongitudinalmotionincludesthreemodes:heavemode,surgemodeandpendulummode,whereasthelateralmotionincludesanotherthreemodes:yawmode,sideslipmodeandrolloscillationmode.

flightdynamics;stratosphericairship;motionequations;flightmode;eigenvector

2014-12-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11502288)

楊躍能(1984—)，男，湖南邵陽(yáng)人，講師，博士，E-mail：yangyueneng@163.com

10.11887/j.cn.201504010

http://journal.nudt.edu.cn

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