方　輝

(渤海大學(xué) 工學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

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基于LMI的兩輪自平衡機(jī)器人控制器設(shè)計(jì)

方輝

(渤海大學(xué) 工學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

針對兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng),提出基于線性矩陣不等式的控制器設(shè)計(jì)方法。首先,采用狀態(tài)空間模型對兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行描述。然后,通過線性矩陣不等式進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì),并通過Lyapunov函數(shù)證明該方法的有效性,分析了基于觀測器的控制器存在條件。最后,通過仿真進(jìn)一步驗(yàn)證了該控制方法的有效性。

兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng); 線性矩陣不等式(LMI); Lyapunov函數(shù)

0　引　言

兩輪自平衡機(jī)器人由于其具有的工程應(yīng)用價(jià)值,越來越多地引起相關(guān)研究人員的廣泛關(guān)注。該系統(tǒng)實(shí)際上可看作是具備行走功能的一級倒立擺,保持平衡的過程實(shí)質(zhì)是一個(gè)動態(tài)調(diào)節(jié)過程,即系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近不斷地進(jìn)行調(diào)節(jié)以保證平衡。文獻(xiàn)[1]中,在對兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)上,基于LQR控制器方法實(shí)現(xiàn)對該系統(tǒng)的控制。文獻(xiàn)[2]研究兩輪自平衡機(jī)器人運(yùn)動規(guī)律,并利用拉格朗日方程法建立動力學(xué)模型,通過自適應(yīng)控制算法設(shè)計(jì)該系統(tǒng)的自平衡控制器。文獻(xiàn)[3]通過LQR和龍伯格極點(diǎn)配置的方法對兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行控制,得到較為穩(wěn)定的動態(tài)平衡過程。文獻(xiàn)[4]應(yīng)用最優(yōu)控制相關(guān)理論方法和兩輪差動控制方法，設(shè)計(jì)了兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)的控制器。目前,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要理論基礎(chǔ)是Lyapunov穩(wěn)定性理論,隨著求解凸優(yōu)化問題內(nèi)點(diǎn)法的提出,線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)在控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。許多控制問題可以通過分析其線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問題解決。隨著MATLAB推出的求解矩陣不等式問題的LMI工具箱,從而使得處理、求解線性矩陣不等式的過程更加有效,大大促進(jìn)了線性矩陣不等式技術(shù)方法在控制領(lǐng)域中的應(yīng)用。鑒于上述分析,筆者針對兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng),通過LMI技術(shù),利用Lyapunov函數(shù)方法,設(shè)計(jì)基于觀測器的控制器存在條件，并通過仿真實(shí)驗(yàn)證明提出方法的有效性。

1　問題描述

文獻(xiàn)[5]中,給出兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)狀態(tài)方程,將針對該模型設(shè)計(jì)基于觀測器的狀態(tài)反饋控制器;

(1)

為處理該系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題,選取觀測器的模型為:

(2)

假定通過下述控制器來實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

(3)

式(3)中,K為需要設(shè)計(jì)控制器增益。

(4)

文中的目的是設(shè)計(jì)控制器K和觀測器L,使得閉環(huán)兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)(4)能夠穩(wěn)定。

引理1[6]:對于任意矩陣X和負(fù)定矩陣Ω<0,存在常數(shù)α,使得不等式XΩXT<-α(X+XT)-α2Ω-1成立。

2　控制器設(shè)計(jì)

基于線性矩陣不等式方法,給出兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)控制器及觀測器的存在條件。

(5)

證明:定義如下Lyapunov函數(shù)

V(ψ(t))=ψT(t)Pψ(t),P>0,

(6)

對Lyapunov函數(shù)(6)求導(dǎo)，可得

(8)

GTP+PG<0,

(9)

(10)

(11)

對不等式(11)運(yùn)用引理1,可知存在常數(shù)α,使得不等式(12)成立:

(12)

對不等式(12)運(yùn)用引理2,可得到

(13)

3　仿真實(shí)例

為證明提出方法的有效性,文獻(xiàn)[5]中兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)狀態(tài)方程:

(14)

通過MATLAB LMI工具箱求解定理1中的矩陣不等式條件,求得控制器及觀測器參數(shù)為:

圖1　系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

4　結(jié)束語

兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng),采用狀態(tài)空間模型方法進(jìn)行系統(tǒng)描述,并通過線性矩陣不等式(LMI)技術(shù),利用Lyapunov函數(shù)方法,設(shè)計(jì)基于觀測器的控制器存在條件,給出的矩陣不等式條件,可通過Matlab軟件LMI工具箱求解出控制器及觀測器增益。該方法通過仿真實(shí)驗(yàn),證明了其方法的有效性。

[1]王瑜. 兩輪自平衡機(jī)器人的控制技術(shù)研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工程大學(xué), 2009.

[2]王曉宇. 兩輪自平衡機(jī)器人的研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2007.

[3]阮曉鋼, 任紅格. 兩輪自平衡機(jī)器人動力學(xué)建模及其平衡控制[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究, 2009, 26(1): 99-101.

[4]陳偉, 延文杰, 周超英, 等. 兩輪自平衡機(jī)器人控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[J]. 傳感器與微系統(tǒng), 2008, 27(4): 117-120.

[5]李作慶. 兩輪自平衡機(jī)器人控制系統(tǒng)研究與設(shè)計(jì)[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2009.

[6]MANSOURI B, MANAMANNI N, GUELTON K, et al. Output feedback LMI tracking control conditions with H∞criterion for uncertain and disturbed T-S models[J]. Information Sciences, 2009, 179(4): 446-457.

[7]BOYD S, GHAOUI L E, FERON E, et al. Linear matrix inequalities in system and control theory[M]. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1994.

(編輯徐巖)

Design of two-wheeled self-balanced robot controller based on LMI

FANGHui

(College of Engineering, Bohai University, Jinzhou 121013, China)

This paper introduces a design of a controller based on linear matrix inequality (LMI) method to discuss the system of two-wheeled self-balanced robot. The design study is done by firstly is describing the system of two-wheeled self-balanced robot via state-space model; then using LMI method to design the controller and using Lyapunov function method to validate the method; and finally using the Matlab simulation experiment to prove the validity of the proposed method.

the system of two-wheeled self-balanced robot; LMI; Lyapunov function

2015-04-06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61304149);遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2013020044)

方輝(1980-),男,遼寧省鞍山人，實(shí)驗(yàn)師，碩士,研究方向:非線性系統(tǒng)控制,E-mail:57527060@qq.com。

10.3969/j.issn.2095-7262.2015.03.021

TP242.6

2095-7262(2015)03-0340-03

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