耿立剛，曾 靜

(重慶工商大學數學與統計學院，重慶400067)

在泛函分析中，積分算子T又稱積分變換是具有(Tf)(u)=(t，u)f(t)d t形式的變換.此變換把函數映為函數，是把函數空間映到函數空間上的變換.其中的K(t，u)是個確定的二元函數，稱為此積分算子的核函數或核，f(t)稱為象原函數，Tf(u)稱為象函數.當選取不同的積分域或核函數時，就得到不同的積分變換.積分變換常用來處理微分方程的問題，常見的積分變換有Fourier變換、Laplace變換、Mellin變換、Abel變換及Hilbert變換等.此處將對積分算子的一些代數性質如線性性、有界性等進行研究.

1 積分算子的線性性

定理1 設算子T是從函數空間X到函數空間Y上的算子，如果對于任意的f，g∈X以及常數α都有式(1)(2)成立:

則稱算子T是從X到Y的線性算子.

定理2 積分算子T:X→Y是線性算子.

證明 設f，g∈X，α是任一常數，則對于積分算子T，根據積分的性質有

即T(f+g)=Tf+Tg.

即T(αf)=α(Tf)，即證積分算子T是線性算子.

2 積分算子的有界性

算子T的范數指的是算子范數，定義為

對于算子T，如果 T＜∞，則稱算子T是有界算子.根據積分的性質，易知積分算子是否有界與核函數K(t，u)及積分域有關.

定理3 如果一個積分算子的積分域是有界集，并且核函數是有界函數，那么這個積分算子是有界算子.

由此可得 TfY≤M1fX，則 T≤M1＜∞，即積分算子T是有界線性算子.

定理4 如果一個積分算子T的積分域是有界集，并且核函數是有界函數，那么這個積分算子T是連續(xù)的.

證明 因線性算子的有界性和連續(xù)性是等價的，由定理3，積分算子在所假設條件下是有界的，故積分算子T在定理假設條件下是連續(xù)的.

3 單位圓盤上的積分型算子

根據積分的性質，易知Jg的有界性.

定理5 積分算子Jg是有界的線性算子當且僅當g(z)是上的有界函數.

證明 充分性:由Jg的定義，積分域是有界的，根據定理3可得積分算子Jg是有界算子.

必要性:由算子范數定義

積分算子在泛函分析領域的研究中具有廣泛的應用，并且在一些具體的理論研究中起著關鍵性的作用.根據Schwarz核定理，如果核函數是個廣義的函數，所有的線性算子都是積分算子.Frodholm理論就是對一般積分方程理論的研究，在Frodholm理論中，核一般是Banach函數空間上的緊算子.在此情形下，核有時也稱為Frodholm算子、核算子及Frodholm核等.

［1］歐陽光中，朱學炎，金福臨，等.數學分析［M］.3版.北京:高等教育出版社，2007

［2］POLYANIN A D，MANZHIROV A V.Handbook of Integral Equations［M］.CRCPress，Boca Raton，1998

［3］MANZHIROV R K，THAMBYNAYAGAM.The Diffusion Handbook:Applied Solutions for Engineers［M］.McGraw-Hill，New York，2011