孫宜標(biāo)，陳展琴，王麗梅

（沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，沈陽 110870）

永磁直線電機(jī)二階非奇異快速終端滑?？刂?

孫宜標(biāo)，陳展琴，王麗梅

（沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，沈陽 110870）

針對(duì)永磁直線電機(jī)伺服系統(tǒng)易受參數(shù)變化和負(fù)載擾動(dòng)、端部效應(yīng)等不確定因素影響的問題，提出一種二階非奇異快速終端滑模控制方法來設(shè)計(jì)永磁直線電機(jī)位移控制器。該算法設(shè)計(jì)上避免了終端滑模的奇異區(qū)并且提高了其收斂速度，從而解決原有終端滑模的奇異性和速度收斂緩慢的問題。利用二階滑模超螺旋控制律將不連續(xù)的控制作用在變量的高階微分上，以削弱系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。仿真結(jié)果表明，該策略不僅使系統(tǒng)具有較好的定位能力和很強(qiáng)的魯棒性，同時(shí)還有效地削弱了系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。

非奇異終端滑?？刂?；二階滑模；永磁直線電機(jī)；超螺旋算法

0 引言

為了滿足伺服系統(tǒng)的高速度和高精度、定位的要求，直線電機(jī)作為直接驅(qū)動(dòng)的主要部件在伺服系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用。直線電機(jī)消除了伺服系統(tǒng)中間機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)所帶來的不良影響，在高精度、高速響應(yīng)、微進(jìn)給伺服系統(tǒng)中具有非常大的優(yōu)勢(shì)。由于直線電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)負(fù)載，負(fù)載的變化和外部擾動(dòng)將毫無衰減地直接作用在直線電機(jī)的動(dòng)子上，使系統(tǒng)對(duì)負(fù)載擾動(dòng)和參數(shù)變化都很敏感，所以要求系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力和魯棒性。為了提高伺服系統(tǒng)的抗干擾性和魯棒性，如今一些現(xiàn)代控制理論被應(yīng)用到直線電機(jī)的控制系統(tǒng)中，如：文獻(xiàn)［1］采用魯棒控制理論設(shè)計(jì)控制器，可使系統(tǒng)具有很好的魯棒性，但控制器的設(shè)計(jì)過于保守；文獻(xiàn)［2］采用自適應(yīng)控制理論設(shè)計(jì)控制器，可以有效克服參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響，但在參數(shù)變化較快、外部干擾頻率高的情況下則效果不佳。文獻(xiàn)［7］采用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計(jì)控制器，滑模變結(jié)構(gòu)控制作為一種非線性不連續(xù)控制方法，因其算法簡(jiǎn)單，抗干擾能力強(qiáng)，易于工程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)而受到廣泛的關(guān)注。其存在的主要缺點(diǎn)就是抖振問題［6］?；Ｃ嬖O(shè)計(jì)直接影響到系統(tǒng)狀態(tài)收斂特性，是滑模變結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。目前已有的滑模面主要有線性滑模面、終端滑模面、快速終端滑模面和非奇異終端滑模面等［3-6］。線性滑模使系統(tǒng)狀態(tài)與期望軌跡之間偏差以指數(shù)形式漸進(jìn)收斂，但系統(tǒng)狀態(tài)永遠(yuǎn)無法到達(dá)期望軌跡［7］。而終端滑模在傳統(tǒng)滑模中引入了非線性項(xiàng)，使系統(tǒng)收斂性有所改變，系統(tǒng)可在有限時(shí)間內(nèi)收斂并達(dá)到期望軌跡［8-9］。但終端滑?？刂拼嬖谄娈愋詥栴}，因此非奇異終端滑?？刂品椒ū惶岢?，從設(shè)計(jì)上避免了奇異區(qū)域并且保留了終端滑模在有限時(shí)間收斂的特性［10］。

本文采用二階非奇異快速終端滑模的控制方法來設(shè)計(jì)永磁直線電機(jī)的位移控制器，綜合的解決終端滑?？刂频钠娈?、抖振和收斂緩慢的問題。將二階滑模和非奇異終端滑模相結(jié)合既可削弱抖振也可解決終端滑模的奇異性問題，同時(shí)提高系統(tǒng)的收斂速度。進(jìn)而提高系統(tǒng)的控制性能，使系統(tǒng)對(duì)于參數(shù)的不確定性，負(fù)載擾動(dòng)擾等問題具有更強(qiáng)的魯棒性。

1 永磁直線電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

式中，pn為極對(duì)數(shù)；τ為極距；ψf為永磁體磁鏈；Ld為直軸勵(lì)磁電感；Lq為交軸勵(lì)磁電感；id為直軸電流；iq為交軸電流。當(dāng)只考慮基波分量時(shí)，電流內(nèi)環(huán)采用id=0的控制策略，則電磁推力為：

永磁直線電機(jī)電磁推力表達(dá)式為：

PMLSM的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為：

FM—端部效應(yīng)推力波動(dòng)幅值；τ—極距；φ0—初始相位電角度；Ffric為摩擦力；Ffric=［fc+（fsfc）e-（v/vs）2］sgn（v）；fc—庫倫摩擦系數(shù)；fs—靜態(tài)摩擦系數(shù)；v—?jiǎng)幼铀俣?；vs—臨界摩擦速度。

2 永磁直線電機(jī)二階非奇異快速終端滑模控制

2.1 滑模變量的設(shè)計(jì)

為了便于描述，令x=［x1，x2］T=［s，v］T為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，輸入控制量為u=iq，則系統(tǒng)（3）的狀態(tài)方程形式為：

定義系統(tǒng)的二階非奇異快速終端滑模變量為：

其中，0＜α＜1，β∈R+，p，q∈N為奇數(shù)，λ＞p/q，要求1＜p/q＜2來滿足滑模面的非奇異性。

由該滑模面可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)靠近平衡點(diǎn)時(shí)，可忽略跟蹤誤差e（t）的高次項(xiàng)，其收斂速度近似于非奇異終端滑模；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，跟蹤誤差e（t）的高次項(xiàng)起主要作用，所以其收斂速度比非奇異終端滑模更快。

根據(jù)滑模控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的要求必須滿足滑模變量σ及其一階導(dǎo)數(shù) .σ收斂到零點(diǎn)。

滑模變量的一階導(dǎo)數(shù).σ為

2.2 超螺旋控制律的設(shè)計(jì)

假設(shè)式（5）中所設(shè)計(jì)的滑模變量σ為不確定系統(tǒng)的輸出變量，且由式（6）可知二階滑?？刂葡到y(tǒng)的相對(duì)階為1，需選擇適當(dāng)?shù)膗使輸出變量σ及其導(dǎo)數(shù)在有限時(shí)間內(nèi)收斂為零。

式（6）滑模變量的狀態(tài)方程可寫為：

其中，φ（t，x1，x2），r（t，x1，x2）是不確定函數(shù)，且滿足以下邊界條件：

采用超螺旋算法可設(shè)狀態(tài)軌跡在σ-.σ平面上有限時(shí)間內(nèi)圍繞原點(diǎn)螺旋式收斂到原點(diǎn)。具體算法如下：

其中，M1、M2滿足：

定理：對(duì)于系統(tǒng)（4），選取非線性滑模變量（5），滿足條件（8），在超螺旋控制律（9）作用下，若滿足條件（10），則系統(tǒng)將在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

證：選取李雅普諾夫函數(shù)為V（t）=0.5σ2（t），則對(duì)V（t）求導(dǎo)得：

由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，當(dāng)滿足滑模到達(dá)條件.V（t）=σ＜0時(shí)，滑模面σ及其導(dǎo)數(shù)可在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。

3 仿真結(jié)果及分析

采用MATLAB7.10進(jìn)行仿真研究，永磁直線電機(jī)的參數(shù)如下：額定推力Fe=502N，推力系數(shù)kf= 50.7N/A，動(dòng)子電阻Rs=2.1Ω，動(dòng)子dq軸電感L= 41.4mH，永磁體磁鏈ψf=0.09Wb，極距τ=16mm，極對(duì)數(shù)pn=6，動(dòng)子質(zhì)量M=12kg，粘滯摩擦因數(shù)Bv= 8Ns/m，端部效應(yīng)等效阻力Frip=40cos（392s），摩擦力Ffric=［10+5e-（v/4）2］sgn（v）。

為了驗(yàn)證本文所提出控制策略的有效性，將超螺旋控制方法的二階非奇異快速終端滑?？刂疲ǚ椒ㄒ唬┖偷人仝吔煽刂品椒ǖ慕K端滑?？刂疲ǚ椒ǘ?、螺旋控制方法的二階非奇異終端滑模控制（方法三）進(jìn)行比較。

方法二的滑模變量和控制律為：

其中，η，β1∈R+，0＜q1/p1＜1，p1，q1∈N為奇數(shù)。

方法三的滑模變量和控制律為：

其中，β2∈R+，ε＜0，1＜p2/q2＜2，p2，q2∈N為奇數(shù)。

方法一參數(shù)為：α=0.03，λ=2.1，β=120，p =7，q=5，M1=600，M2=300；方法二參數(shù)為：β1=47.62，q1=3，p3=5，η=400。方法三參數(shù)為：β2=62.5，p2=11，q2=7，ε=800。

為了驗(yàn)證控制策略的有效性，永磁直線電機(jī)空載啟動(dòng)，階躍參考信號(hào)s=0.3m，在0.5s時(shí)突加FL= 500N的階躍負(fù)載阻力，并且在永磁直線電機(jī)啟動(dòng)后將動(dòng)子質(zhì)量M變?yōu)樵瓉淼?倍，根據(jù)條件（8）和（10）調(diào)節(jié)控制器的參數(shù)直到系統(tǒng)達(dá)到最佳狀態(tài)。

圖2為控制方法一（曲線B）、方法二（曲線C）、方法三（曲線A）時(shí)參數(shù)變化前的位移響應(yīng)曲線，圖2為參數(shù)變化后的位移階躍響應(yīng)曲線。

圖1 參數(shù)變化前位移響應(yīng)曲線

圖2 參數(shù)變化后位移響應(yīng)曲線

由上圖1、2可知，本文所設(shè)計(jì)的二階非奇異快速終端滑?？刂撇呗耘c其它兩種控制策略相比，使系統(tǒng)具有良好的位置定位能力，對(duì)負(fù)載的干擾和系統(tǒng)參數(shù)變化的魯棒性更強(qiáng)。系統(tǒng)受到外部擾動(dòng)后能在更短的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定，滿足了直接進(jìn)給伺服系統(tǒng)對(duì)抗干擾能力的要求。

圖3為參數(shù)變化前超螺旋控制律的二階非奇異快速終端滑?？刂葡到y(tǒng)電流iq曲線，圖4為參數(shù)變化前等速趨近律控制終端滑?？刂葡到y(tǒng)的電流iq曲線，圖5為參數(shù)變化前螺旋控制律非奇異二階滑模控制系統(tǒng)電流iq曲線。通過對(duì)比可以看出，超螺旋算法控制的二階非奇異終端滑?？梢悦黠@的削弱系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。

圖3 超螺旋控制律二階非奇異快速終端滑?？刂频碾娏鱥q曲線

圖4 等速趨近律控制的終端滑模控制電流iq曲線

圖5 螺旋控制律控制的二階非奇異終端滑?？刂齐娏鱥q曲線

圖6 為參數(shù)未變化之前且無負(fù)載的超螺旋控制律二階非奇異快速終端滑?？刂破鞯幕Ｗ兞康南嗥矫孳壽E，圖7為參數(shù)變化之后加負(fù)載時(shí)相平面軌跡?？梢钥闯鱿到y(tǒng)具有較好的抗干擾能力和魯棒性。

圖6 參數(shù)未變化之前的無負(fù)載滑模變量相平面軌跡

圖7 參數(shù)變化之后加負(fù)載時(shí)相平面軌跡

4 結(jié)束語

本文將二階滑模控制和非奇異快速終端滑?？刂葡嘟Y(jié)合，設(shè)計(jì)二階非奇異快速終端滑?？刂破?。該方法使滑模變量及其導(dǎo)數(shù)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，并有效的解決了終端滑模奇異性的問題，同時(shí)解決了在距離平衡點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)系統(tǒng)收斂速度緩慢的問題，提高了收斂速度。二階滑模的設(shè)計(jì)使不連續(xù)的控制作用在變量的高階微分上，削弱了系統(tǒng)的抖振。仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的二階非奇異快速終端滑?？刂破鞑粌H保證了永磁直線電機(jī)伺服系統(tǒng)的定位能力和魯棒性，還削弱了系統(tǒng)的抖振。

［1］李義強(qiáng)，周惠興，王先逵，等.直線電機(jī)伺服定位系統(tǒng)時(shí)間最優(yōu)魯棒控制［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2011，15（3）：13-18.

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［5］康宇，奚宏生，季海波.不確定多變量線性系統(tǒng)的快速收斂滑模變結(jié)構(gòu)控制［J］.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，33（6）：718-725.

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［10］劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真［J］北京：清華大學(xué)出版社，2005.

（編輯 李秀敏）

Second-Order Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Displacement Control for PMLM

SUN Yi-biao，CHEN Zhan-qin，WANG Li-mei
（Electric Engineering School，Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China）

Because of the permanent magnet linear motor servo system is vulnerable to be influenced by many uncertain factors，such as the parameter variations and load disturbance，put forward a kind of higherorder nonsingular fast terminal sliding mode control method to design the displacement control of the permanent magnet linear motor.The algorithm is designed to avoid the singular area of terminal sliding mode and improve the convergence speed，so as to solve the singularity of the terminal sliding mode and speed problem of slow convergence.Using super twisting law of second-order sliding mode control put the discontinuous control on the higher order differential variables，in order to weaken the chattering of the system.Simulation results show that the strategy not only make the system has better capability of position and strong robustness，but also weaken the chattering of the system effectively.

nonsingular terminal sliding mode control；second-order sliding mode；permanent magnet linear motor；super twisting algorithm

TH165；TG659

A

1001-2265（2015）03-0086-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.03.023

2014-05-15

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51175349）；遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助（LR2013006）；沈陽市科技計(jì)劃項(xiàng)目（F13-316-1-48）

孫宜標(biāo)（1970—），男，安徽巢湖人，沈陽工業(yè)大學(xué)副教授，博士，研究方向?yàn)榻涣魉欧到y(tǒng)、魯棒控制、非線性系統(tǒng)等，（E-mail）sunyibiao2004@126.com。