姚 翔，林光春，豆依玲

（四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065）

三自由度可調(diào)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置與運(yùn)動學(xué)分析*

姚 翔，林光春，豆依玲

（四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065）

針對一種三自由度的球面并聯(lián)平臺機(jī)構(gòu)，基于符號-數(shù)字方法，建立了機(jī)構(gòu)的位置正解數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了末端執(zhí)行器（動平臺）球鉸質(zhì)心點的速度、加速度的正反解數(shù)學(xué)模型，研究了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)特性。利用Matlab符號運(yùn)算對模型進(jìn)行實例求解，驗證了該方法的正確性。研究了調(diào)節(jié)驅(qū)動桿桿長和速度時動平臺位置的變化規(guī)律，對該機(jī)構(gòu)的動力學(xué)研究提供了基礎(chǔ)。

三自由度；可調(diào)并聯(lián)機(jī)構(gòu)；位置分析

0 引言

可調(diào)機(jī)構(gòu)比一般機(jī)構(gòu)更具柔性，且可靠性高、精確度好、容易制造。球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、剛度大、承載能力強(qiáng)、位置誤差不累積等特點。可調(diào)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)合了可調(diào)機(jī)構(gòu)和球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點，且具有較大的工作空間、能使輸出構(gòu)件完成多個任務(wù)要求，因此可廣泛應(yīng)用于機(jī)器人的腕關(guān)節(jié)、衛(wèi)星定向裝置、機(jī)械加工的回轉(zhuǎn)工作臺等。其中少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)成為當(dāng)前研究的熱點，國內(nèi)外在這一領(lǐng)域已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究工作。三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以滿足大多數(shù)工業(yè)操作的需要，機(jī)構(gòu)的復(fù)雜度和成本較低，運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的模型較簡單。故三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有廣闊的應(yīng)用前景。球面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度高、工作空間大等優(yōu)點，如在并聯(lián)機(jī)床上使用，可以實現(xiàn)大傾角加工，故對它的研究具有十分重要的意義。本文基于Matlab符號運(yùn)算技術(shù)對機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置分析與運(yùn)動學(xué)分析，并研究了調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)對動平臺位置的影響。

圖1 機(jī)構(gòu)簡圖

1 機(jī)構(gòu)簡介和坐標(biāo)系建立

圖1所示為三自由度球心可調(diào)并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖。它由一個靜平臺（P1P2P3）和一個動平臺（P＇1P＇2P＇3）通過三條驅(qū)動桿（l1l2l3）和一條調(diào)節(jié)桿（l4）組成，三條驅(qū)動桿的結(jié)構(gòu)相同，呈正三角形對稱分布，驅(qū)動桿分別用虎克鉸和球鉸與靜平臺和動平臺聯(lián)接，驅(qū)動桿上各有一個移動副。靜平臺形心（P0）與動平臺形心（P＇0）用調(diào)節(jié)桿聯(lián)接，該調(diào)節(jié)桿與靜平臺固聯(lián)在一起，與動平臺用球鉸聯(lián)接。建立靜坐標(biāo)系T1（P＇0XYZ）和動坐標(biāo)系T2（P＇0xyz），如圖1所示，動坐標(biāo)系原點與靜坐標(biāo)系原點重合，位于動平臺與靜平臺的幾何中心，z軸為P＇0P＇1方向，x軸垂直于 z軸，并始終位于動平臺P＇1P＇2P＇3平面內(nèi)，y軸始終垂直于該平面。Z軸為P＇0P1方向，P＇0P1P0三點為不動點，X軸垂直于該三點組成的平面，Y軸可由右手定理得出。

2 位置分析

位置分析涉及位置的逆解和正解分析。位置正解是指給定始端輸入量，求得末端輸出量。根據(jù)T1和T2坐標(biāo)系的建立，靜平臺三個鉸點P1，P2，P3的坐標(biāo)在T1中表示為：P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），P3（x3，y3，z3）；動平臺三個鉸點P＇1，P＇2，P＇3的坐標(biāo)在T2中表示為：P＇1（x＇1，y＇1，z＇1），P＇2（x＇2，y＇2，z＇2），P＇3（x＇3，y＇3，z＇3），且x1=y1=0；x＇1=y＇1=y＇2=y＇3=0。通過歐拉變換Z-Y-Z型，反映動平臺最終姿態(tài)的矩陣為：R（φz，θy，ψz）=［Rzφ］［Ryθ］［Rzψ］=

設(shè)此并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動平臺和靜平臺的半徑分別為r，R。因此在動坐標(biāo)系T2中，動平臺上球鉸質(zhì)心處的坐標(biāo)為：P＇1=（0，0，r），P＇2=（-0.5×31/2r，0，-0.5 r），P＇3=（0.5×31/2r，0，-0.5r）。靜平臺上球鉸質(zhì)心處在靜坐標(biāo)系T1里的坐標(biāo)為：P1=（0，0，z1），P2=（-0.5×31/2R，y2，z2），P3=（0.5×31/2R，y3，z3）。其中z1=（l42+R2）1/2，y2=y3=1.5Rl4/（l4

2+R2）1/2，z2=z3=（l4

2+R2）1/2-1.5R2/（l42+R2）1/2

將動平臺球鉸質(zhì)心點的坐標(biāo)表示在靜坐標(biāo)系T1上為：

式中i=1，2，3；φ、θ、ψ為歐拉角。

根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何特點，三條驅(qū)動桿的長度可以由Pi，Pi＇兩點的坐標(biāo)表示，建立方程：

式中i=1，2，3，將各點坐標(biāo)代入式（3）得：

式中i=1，2，3，當(dāng)i=1時，化簡式（4）可得：θ=arccos［（z＇1）2+（z1）2-（l1）2］/2z1＇z1

當(dāng)i=2，3時，可得：

式（6）、（7）化簡可得：

綜上可知并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置解的數(shù)學(xué)模型。

運(yùn)用萬能公式化簡式（8），則令：x=tan（φ/2），y=tan（ψ/2），可得如下表達(dá)式：sinφ=2x/（1+x2），cosφ=（1-x2）/（1+x2），sinψ=2y/（1+y2），cosψ=（1-y2）/（1+y2），代入（8）可得：

式中系數(shù)Ai，Bi（i=1～9）均由機(jī)構(gòu)各個參數(shù)所確定，在此不表示。故根據(jù)以上求解方法，若有三根驅(qū)動桿和中間可調(diào)桿的桿長，通過Matlab編程求解式（9）兩個方程，求得x，y的值，將其回代萬能公式，可得出三個歐拉角度值，再通過式（2）得出動平臺位置姿態(tài)。

3 運(yùn)動學(xué)分析

3.1 速度分析

設(shè)動平臺的位姿速度和加速度矢量分別為：

三個驅(qū)動桿li的速度矢量和加速度矢量分別為：

對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端執(zhí)行器（動平臺）的任意一個位姿，三根驅(qū)動桿有唯一的長度值與之對應(yīng)。那么第i根驅(qū)動桿長度由式子計算：li=fi（X）=fi（x，y，z，φ，θ，ψ），其中x，y，z為動平臺鉸點在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。等式兩邊分別對時間t求導(dǎo)得：

將式子寫成矩陣形式，可得到速度逆解。數(shù)學(xué)模型：

考慮到與串并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)雅克比矩陣J的定義一致性，令G=J-1，上式兩邊左乘G-1，得出速度正解數(shù)學(xué)模型：

根據(jù)以上思路，式（8）兩邊分別對時間t求導(dǎo)得（i=1，2，3）：

3.2 加速度分析

等式li=fi（X）=fi（φ，θ，ψ）兩邊分別對時間求二階導(dǎo)數(shù)，并整理得：

其中矩陣Hi的第1，第2和第3列元素分別為：

將式li=fi（X）=fi（φ，θ，ψ）寫成矩陣形式，可得機(jī)構(gòu)的加速度逆解模型：

其中H為加速度系數(shù)影響矩陣。上式兩邊同乘［M］-1，可得出加速度正解的數(shù)學(xué)模型：

4 機(jī)構(gòu)的可調(diào)性

機(jī)構(gòu)的可調(diào)性體現(xiàn)在，改變l4桿上開尾銷聯(lián)接（如圖2所示）位置來調(diào)節(jié)桿長，從未達(dá)到改變球心位置，完成多個任務(wù)要求，從而滿足實際應(yīng)用中不同球心位置的要求。根據(jù)活動平臺的不同位置和姿態(tài)要求，通過調(diào)節(jié)l4桿長和分別驅(qū)動三根支鏈的移動副，可快速可靠地執(zhí)行動平臺的輸出操作。該機(jī)構(gòu)的三維效果圖如圖3所示。

圖2 l4桿可調(diào)節(jié)處的局部結(jié)構(gòu)示意圖

圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維效果圖

5 實例分析

系統(tǒng)參數(shù)：并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)l1，l2，l3驅(qū)動桿取值范圍在465mm至655mm之間變化，平均分布時，l1，l2，l3桿長為515mm。故取機(jī)構(gòu)的兩種姿態(tài)：①l1=550，l2= 500，l3=600，l4=500，r=170，R=280；②l4=480，其余參數(shù)不變。通過上述位置分析方法，上機(jī)運(yùn)用Matlab編程求解式（9）得到x，y的實數(shù)解。姿態(tài)①、②分別各有兩組實數(shù)解，如表1所示。將實數(shù)解回代，可得動平臺位姿的歐拉角。如表2所示。再可換算出動平臺球鉸質(zhì)心點在T1的坐標(biāo)。

表1 x和y的實數(shù)解

表2 歐拉角度值（°）

當(dāng)三根驅(qū)動輸入桿的桿長與時間的函數(shù)關(guān)系為l1=515+10t，l2=515-5t，，l3=515+5t時，根據(jù)上述速度、加速度解析模型，通過Matlab編程求解可得速度、加速度隨時間的變化曲線，如圖4，圖5所示。

圖4 動平臺角速度

圖5 動平臺角加速度

5 結(jié)束語

本文提出了一種球心可調(diào)的移動副驅(qū)動的三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、控制簡單等優(yōu)點?；诜柣驍?shù)字-符號法的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)分析與研究，將是球面機(jī)構(gòu)研究的一個重要方向。采用Matlab符號運(yùn)算方法，求解出了機(jī)構(gòu)位置、速度、加速度在相應(yīng)機(jī)構(gòu)參數(shù)下的值，為該機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步研究和應(yīng)用提供了理論工具。研究了調(diào)節(jié)驅(qū)動桿桿長和速度時動平臺位置的變化規(guī)律，研究結(jié)果對這類機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能評估與設(shè)計選型具有重要意義。

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（編輯 李秀敏）

Positional and Kinematics Analysis of Adjustable Three-DOF Parallel Mechanism

YAO Xiang，LIN Guang-chun，DOU Yi-ling
（College of Manufacturing Science and Engineering，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

Solution of positional analysis is acquired concerning a spherical three-DOF adjustable parallel mechanism based on symbolic and digital method.On this basis，solutions＇mathematical model of velocity and acceleration of hinge points of the moving platform are obtained.Symbolic computation of software Matlabis used to solve mathematical model in a practical example，which verifies the correctness of the method. Then the variety of regularity of the moving platform position is researched when adjusting the length and velocity of the drive legs，it provides a basis for the dynamics of the mechanism.

three degree of freedom；adjustable parallel mechanism；positional analysis

TH112；TG659

A

1001-2265（2015）03-0059-03 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.03.016

2014-12-09；

2015-01-13

國家自然科學(xué)基金項目（50375104）

姚翔（1990—）男，四川龍泉人，四川大學(xué)碩士研究生，研究方向為機(jī)構(gòu)與工業(yè)機(jī)器人，（E-mail）279146296@qq.com。