蘇玉龍，董志國，軋 剛，劉建成，2

（1.太原理工大學(xué)機械工程學(xué)院，太原 030024；2.美國太平洋大學(xué)工程與計算機科學(xué)學(xué)院，美國加利弗尼亞 95211）

考慮刀具偏擺的微銑削力理論模型分析與研究*

蘇玉龍1，董志國1，軋 剛1，劉建成1，2

（1.太原理工大學(xué)機械工程學(xué)院，太原 030024；2.美國太平洋大學(xué)工程與計算機科學(xué)學(xué)院，美國加利弗尼亞 95211）

考慮微銑削加工過程中刀具偏擺的影響，建立了一種新的未變形切削厚度計算模型，為計算微銑削力做準備。將應(yīng)變梯度塑性理論引入到材料的本構(gòu)方程中，利用修正后本構(gòu)方程來計算微銑削過程中的流動應(yīng)力。在計算微銑削力時，應(yīng)用了考慮刀擺的未變形切削厚度，并同時考慮了犁切力、流動應(yīng)力和彈性恢復(fù)的影響。將理論計算得出的銑削力與實驗測得的銑削力進行比較，進而驗證模型的可行性。

未變形切削厚度；刀具偏擺；尺寸效應(yīng)；流動應(yīng)力

0 引言

微切削是指對微小尺寸零件的切削加工，零件尺寸范圍為0.1～10mm，幾何特征尺寸范圍為0.01～1mm，主要涉及微米級的特征尺寸和精度。目前，隨著產(chǎn)品小型化的發(fā)展趨勢，微切削技術(shù)在生物醫(yī)學(xué)、航空航天、通信、國防以及高科技電子產(chǎn)品等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。其中，由于微銑削具有加工任意材料和三維復(fù)雜微小尺寸零件的能力，其研究越來越受到重視。

微切削除具有宏觀切削的一般特點（如大應(yīng)變、高應(yīng)變率以及溫度變化顯著等）以外，還存在尺寸效應(yīng)、犁切效應(yīng)和最小切削厚度效應(yīng)的現(xiàn)象。近年來，微銑削領(lǐng)域的研究主要集中在對鋁、銅、鋼、聚合物以及鈦合金等材料的可加工性和微切削機理的研究。李洪濤［1］以有限元仿真得到的穩(wěn)態(tài)積屑瘤形態(tài)為基礎(chǔ)，結(jié)合滑移線場分析方法建立綜合考慮尺寸效應(yīng)和最小切削厚度的銑削力模型，該模型未考慮微銑削刀具偏擺對微銑削力的影響。趙巖［2］基于金屬變形機理建立考慮切削過程中金屬變形的彈性回復(fù)的微銑削力模型，在計算微銑削力時未考慮刀具偏擺的影響。Mohammad Malekian［3］建立了考慮刀具偏擺，彈性恢復(fù)和犁切效應(yīng)的微銑削力模型，但在計算考慮刀具偏擺的未變形切削厚度時，計算過程復(fù)雜，推導(dǎo)出未變形切削厚度的近似值，對計算微銑削力影響較大。Hye-RiGye［4］和許紅利等人引入切削系數(shù)KT和KR來預(yù)測微銑削力，但計算過程中采用的是簡化的未變形切削厚度，未考慮刀具偏擺的對微銑削力的影響。

刀具偏擺是指刀具及主軸部件的制造誤差、裝夾誤差造成刀具軸線和主軸理想回轉(zhuǎn)軸線之間漂移和偏心、以及具體加工工藝、工裝等都可能產(chǎn)生數(shù)控銑床刀具在加工中的徑向跳動。本文的刀具偏擺的大小主要取決于主軸和刀夾的制造和安裝的誤差。上述文獻在計算未變形切削厚度時，很少將刀具偏擺考慮在內(nèi)。而在微切削中，刀具偏擺量r0與刀具半徑r的比值率（r0/r）比常規(guī)切削大的多，因此需要將刀具偏擺考慮在內(nèi)，來研究刀尖運動軌跡。

本文考慮刀具的偏擺因素，通過數(shù)學(xué)的方法，推導(dǎo)出較為精確的微銑削未變形切削厚度，同時也將切削刃圓角半徑處產(chǎn)生的犁切力、前刀面流動應(yīng)力和后刀面受力的影響考慮在內(nèi)，將應(yīng)變梯度塑性理論引入到流動應(yīng)力的研究，并且考慮刀具偏擺的影響，建立了更加有效的微銑削力理論計算模型。

1 考慮刀具偏擺的未變形切削厚度

未變形切削厚度是研究微切削力的一個重要參數(shù)。銑削加工刀齒軌跡為旋轉(zhuǎn)與進給運動的合成，是一種次擺線曲線。下圖1所示為兩刃端銑刀切削刃的運動軌跡。

圖1 端面兩刃微銑刀運動軌跡

考慮微細加工中刀具擺動的影響［5］，在圖1所示坐標系中，刀尖的軌跡方程為：

式中n為主軸轉(zhuǎn)速，r/min；Z為銑刀刀齒數(shù)，ft為每齒進給量，μm；t為時間，s；r銑刀半徑，μm；w為角速度，rad/s；z為銑刀第z個齒（取1、2），r0為刀具偏擺量，μm；λ為刀具偏擺角度，rad。

文獻［3］和［5］，在計算微銑削力時，都將刀具偏擺引入計算之中，但本文在計算微銑削力時，除了考慮刀具偏擺的影響，而且還考慮了微銑削過程中的尺寸效應(yīng)和犁切力的影響。文獻［3］和［5］將刀具偏擺引入到未變形切削厚度的計算中，計算過程較為復(fù)雜，結(jié)果取的近似值。本文通過運用數(shù)學(xué)的方法，更加準確的將考慮刀具偏擺的未變形切削厚度公式推導(dǎo)出來。

將軌跡進行局部放大來研究切削厚度，如圖2所示，在刀具第i個刀齒的某一位置處，將此時與X軸所成的角度設(shè)為θ0，對應(yīng)時間為t0，在刀具的第i+1個刀齒的某一位置處，此時的角度設(shè)為θ1，對應(yīng)的時間為t1，θ為微銑刀旋轉(zhuǎn)的角度如圖2所示，rad；則角度和時間存在如下關(guān)系：

而第i齒和第i+1齒軌跡之間的部分即未變形切削厚度。

圖2 未變形切削厚度

由圖2根據(jù)幾何關(guān)系可得：

將式（3）～（5）代入式（6）中，得到瞬態(tài)未變形切屑厚度：

通過式（7）將刀具的偏擺考慮在內(nèi)，同時未變形切削厚度也是下文計算微銑削力的一個重要參數(shù)。在計算微銑削力時，需要對tc中的θ進行積分，積分上下限分別取0和90°。未考慮刀具偏擺的為變形切削厚度為：

文獻［5］中，BAO在計算未變形切削厚度時，考慮刀具偏擺的影響，但計算過程較為復(fù)雜，計算過程和結(jié)果都取得近似值，其推導(dǎo)出的未變形切削厚度的近似公式，如式（9）所示。

對公式（7）、（8）、（9）進行積分得到的結(jié)果如圖3所示。從圖3中可以看出考慮偏擺和未考慮偏擺的積分結(jié)果差別較大，BAO近似未變形切削厚度積分結(jié)果偏小，在計算微銑削力時，刀具偏擺對微銑削力的影響很大，考慮刀具偏擺是很有必要的。

圖3 未變形切削厚度積分結(jié)果

2 微銑削力的理論模型

與傳統(tǒng)的切削力模型相比，微切削需要考慮切削刃圓角半徑和尺寸效應(yīng)等因素的影響。微切削刃單元受力如圖4所示。圖中表示了切削刃產(chǎn)生的犁切力Fp，以及前刀面在加工過程中受到的正壓力N1和摩擦力F1，后刀面在加工過程中受到的正壓力N2和摩擦力F2。γn和α分別表示刀具的前角和后角，這兩個參數(shù)是由刀具的幾何形狀決定的。γe表示刀具的有效前角，這是微細切削的一個重要特征，負前角切削。σ1和τ1分別表示前刀面的流動應(yīng)力和切應(yīng)力；σ2和τ2分別表示后刀面的流動應(yīng)力和切應(yīng)力。φ表示剪切角，θp表示犁切力的方向。

微銑削中通常采用較小的每齒進給量。隨著每齒進給量的降低，導(dǎo)致切削厚度的降低，當(dāng)切削厚度與切削刃圓角半徑大小相當(dāng)時，切削力中的剪切力逐漸減小，而發(fā)生在后刀面和工件之間的彈性接觸力和摩擦力逐漸變大。被加工材料的變形分為無切屑形成、切屑積累和切屑形成三種情況，其變化量可用彈性恢復(fù)量S來描述。

圖4 切削刃受力圖

2.1 切削刃的正壓力和摩擦力

切削刃前刀面所受正壓力N1和摩擦力F1以及后刀面所受正壓力N2和摩擦力F2分別表示為：

式中l(wèi)AB、lCD分別表示前刀面剪切區(qū)刀具作用的長度（AB）和后刀面彈性恢復(fù)區(qū)刀具作用的長度（CD）。d w為銑削寬度如圖9所示，定義為：

式中r表示刀具半徑，μm；θ表示刀具旋轉(zhuǎn)的角度，rad；β表示刀具的螺旋角，度。

2.2 剪切面的剪應(yīng)力和正應(yīng)力

在Liu［6］建立的滑移線模型中，認為剪切面上的應(yīng)力滿足Mises屈服準則，剪應(yīng)力為τ1，MPa。σ1為剪切面上有效流變應(yīng)力σ，MPa；σ2為后刀面的正應(yīng)力，取為材料的屈服強度，MPa；切應(yīng)力τ2，MPa。正應(yīng)力和切應(yīng)力存在如下關(guān)系：

2.3 剪切面上有效流變應(yīng)力的計算

2.3.1 Johnson-Cook（J-C）材料本構(gòu)模型

J-C材料本構(gòu)模型已經(jīng)能夠有效地對宏觀尺度切削過程中的大應(yīng)變、高應(yīng)變率和溫度特性進行準確描述。該模型中流動應(yīng)力與材料的應(yīng)變、應(yīng)變率效應(yīng)、溫度效應(yīng)有關(guān)，其表達式為：

J-C模型將材料流動應(yīng)力表示為三項的乘積，分別表示材料應(yīng)變硬化、應(yīng)變率硬化和溫度硬化，式中：A、B、C、m和n為待定參數(shù)，可以通過實驗擬合得到。T，T0和Tm分別為材料變形溫度（取剪切面平均溫度）、環(huán)境溫度（25℃）和材料熔點。參考文獻［7］，為參考應(yīng)變速率取為1s-1。

2.3.2 J-C本構(gòu)模型的修正

結(jié)合Oxley-Welsh切削理論可設(shè)剪應(yīng)變?yōu)椋?/p>

將式（12）、（14）代入式（13）中，可將本構(gòu)方程用剪應(yīng)力和剪應(yīng)變來表示：

剪應(yīng)變速率為：

圖5 剪切區(qū)變形簡圖

在微銑削中出現(xiàn)了明顯的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象，即切削比能隨未變形切削厚度的減小而非線性增大的現(xiàn)象。宏觀切削的J-C模型不再適用，本文采用J-C的修正模型，引入應(yīng)變梯度理論，應(yīng)變梯度塑性理論將材料剪切流動應(yīng)力表達為位錯密度的函數(shù)，認為材料的塑性硬化來源于統(tǒng)計存儲位錯與幾何必需位錯，前者與塑性應(yīng)變有關(guān)，后者與塑性應(yīng)變梯度有關(guān)。應(yīng)用應(yīng)變梯度塑性理論可以成功預(yù)測微銑削中的尺寸效應(yīng)。修正模型［9］如下：

式中，G為材料的剪切模量，MPa；b為Burgers矢量為1/10納米級；μ為修正系數(shù)，α為材料系數(shù)取0.2～0.5；L為剪切區(qū)的長度如圖6所示，μm；計算公式如下：

圖6 微細切削切屑形成

L用于計算考慮尺度效應(yīng)的J-C本構(gòu)方程中的有效流動應(yīng)力；剪切面上的有效流動應(yīng)力用于計算前刀面的正壓力和摩擦力；彈性恢復(fù)量用于計算后刀面工件的接觸長度，進而計算后刀面的作用面積，從而計算出后刀面的正應(yīng)力和摩擦力。

工件材料選用無氧銅，利用公式（19）進行加工無氧銅剪切面上有效流動應(yīng)力的計算，材料力學(xué)性能如表1所示，利用MATLAB進行計算，計算出不同的主軸轉(zhuǎn)速和不同的未變形切削厚度對應(yīng)的剪切面有效流動應(yīng)力，結(jié)果如圖6所示。

表1 無氧銅材料力學(xué)性能參數(shù)表

圖7 不同切削參數(shù)剪切面上的流動應(yīng)力

從圖7可以看出，主軸轉(zhuǎn)速和未變形切削厚度都會影響剪切面的有效流動應(yīng)力。當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速一定時，未變形切削厚度越大，有效流動應(yīng)力反而越小。當(dāng)未變形切削厚度繼續(xù)增大，有效流動應(yīng)力曲線逐漸向宏觀J-C模型靠近。當(dāng)未變形切削厚度一定時，主軸轉(zhuǎn)速越大，剪切面處的有效流動應(yīng)力也越大，但是增大的幅度較小，說明主軸轉(zhuǎn)速對剪切面的流動應(yīng)力影響較小。

利用ABAQUS仿真驗證剪切面處的有效流動應(yīng)力，無氧銅的參數(shù)如表1所示，刀具參數(shù)如表2所示。

表2 刀具參數(shù)表

仿真結(jié)果如圖8所示，圖8表示利用修改后J-C本構(gòu)方程進行模擬仿真，左圖表示未變形切削深度tc=0.8μm，剪切面處的有效流動應(yīng)力為580MPa，右圖表示軸向切削深度為20μm，每齒進給量為0.4μm，主軸轉(zhuǎn)速為50000r/min，剪切面的有效流動應(yīng)力為650MPa，和計算的結(jié)果基本吻合。

圖8 ABAQUS仿真應(yīng)力云圖

2.4 切削刃圓角處的犁切力

微銑削過程中切削刃圓角處存生犁切效應(yīng)，工件材料受到切削刃圓角的擠壓，產(chǎn)生犁切力FP，如圖4所示。由維氏硬度的定義，可推導(dǎo)出犁切力FP與材料的維氏硬度H，MPa；滿足如下關(guān)系：

根據(jù)文獻［10］，K為系數(shù)，與切削厚度有關(guān)；Sp為接觸面積，μm2，可以表示為：

式中，α為刀具后角，度；γe為刀具的有效前角，度；r表示切削刃半徑，μm；w表示銑削寬度，μm。

由文獻［11］，Tabor提出的理想彈塑性材料的有效流動應(yīng)力σ和硬度H之間存在線性關(guān)系，材料系數(shù)取3，有：

將式（22）、（23）帶入式（21）得犁切力為：

令θp為犁切力的方向角，如圖4所示，計算公式如下：

式中，γn為刀具的名義前角，度。

2.5 彈性恢復(fù)量與彈性恢復(fù)率

由文獻［2，12］，彈性恢復(fù)量S表示后刀面處被加工材料的變形量，μm；

其中k為彈性恢復(fù)率可由以下公式求出。

式中，tmin為最小切削厚度，μm；te為參考切削厚度，μm；計算公式如下：

2.6 切削刃的切向和徑向分力

由圖4分析，切削刃的切向力d Fc和徑向分力d Ft為：

式中，φ為剪切角，ζ為變形系數(shù)，tc為未變形切削厚度，μm；t切屑的厚度，μm。

為了計算微切削力和徑向力，需要將上文的未變形切削厚度tc、切削刃處的犁切力、前刀面的流動應(yīng)力σ和后刀面處的摩擦力和正壓力代入求解切向力d Fc和徑向分力 d Ft的公式中。即將式子（7）、（10）、（11）、（19）、（24）和（27）帶入式子（30）、（31）中，得到徑向和切向的微銑削力公式：

軸向力d Fz與切向力d Fc之間的關(guān)系如圖9所示為：

將徑向力和切向力轉(zhuǎn)換為X軸和Y軸方向的銑削力：

對上式（37）進行積分即可求出Fx和Fy的大小，公式如下：

3 微銑削力模型的實驗與分析

采用文獻［1］對無氧銅的微銑削實驗進行理論模型的驗證分析，文獻［1］中的實驗設(shè)備全采用進口的設(shè)備，精度相對較高，實驗數(shù)據(jù)較多，并且實驗數(shù)據(jù)也比較準確，被廣泛的采用。

3.1 考慮刀具偏擺和未考慮刀具偏擺對微銑削力的影響

由上面建立的微銑削力理論模型分別計算軸向切削深度為15μm，主軸轉(zhuǎn)速為20000r/min，每齒進給量為0.2μm、0.4μm、0.6μm、0.8μm、1μm時的銑削力，與文獻［1］在相同條件下用實驗測出的力進行比較，軸向切削深度分別為15μm，利用公式（34）、（35）和（38）可以計算，不同的每齒進給量對微銑削力的大小的影響，結(jié)果如圖10所示。

圖10 軸向切深15μm微銑削力變化圖

從圖10可以看出，當(dāng)每齒進給量小于0.7μm時，理論值大于實驗值；當(dāng)每齒進給量大于0.7μm時，理論值小于實驗值。未考慮刀具偏擺和考慮刀具偏擺計算出的微銑削力差別很大，從圖10可以看出，考慮刀具偏擺計算的結(jié)果更接近于實驗值。

3.2 軸向切削深度對微銑削力的影響

主軸轉(zhuǎn)速為20000r/min，每齒進給量為0.2μm、0.4μm、0.6μm、0.8μm、1μm分別取軸向切削深度為15μm和20μm進行計算，結(jié)果如圖10，圖11所示。

圖11 軸向切削深度為20μm對微銑削力大小的影響

從圖10和圖11中可以看出，軸向切削深度一定時，微銑削力隨著每齒進給量的增大而增大，并且微銑削力增大的幅度也較大；考慮刀具偏擺和未考慮刀具偏擺計算出的微銑削力差別較大，從圖中可以看出，考慮刀具偏擺計算出的力更接近實驗值。

3.3 切削速度對微銑削力的影響

取軸向切削深度為20μm，每齒進給量為1μm，主軸轉(zhuǎn)速分別為20000r/min，30000r/min，50000r/min，80000r/min，130000r/min，將以上參數(shù)帶入公式（34）、（35）和式（38）中，計算出不同切削速度對微銑削力大小的影響。

圖12 不同轉(zhuǎn)速對微銑削力的影響

圖12 表示了隨著主軸轉(zhuǎn)速的增大，微銑削力也呈現(xiàn)增大的趨勢，但是從圖中可以看出，其他條件不變，主軸轉(zhuǎn)速對微銑削力的影響很?。粓D12也表示出主軸轉(zhuǎn)速一定時，隨著每齒進給量的增大，微銑削力也隨著增大，并且增大的程度較大；每齒進給量一定時，考慮刀具和不考慮刀具偏擺所計算出的微銑削力差別較大，考慮刀具偏擺的計算的微銑削力要大于未考慮刀具偏擺的。

通過對圖10～圖12數(shù)據(jù)進行分析，每齒進給量、主軸轉(zhuǎn)速和軸向切削深度對微銑削力的大小都有影響，但是影響程度不同。每齒進給量對微銑削力的影響程度最大，軸向切削深度的影響次之，主軸轉(zhuǎn)速對微銑削力的影響最小。

4 結(jié)論

本文建立的微銑削力的理論模型，采用了考慮刀具偏擺的未變形切削厚度，并且研究了尺寸效應(yīng)對微銑削力的影響。

（1）考慮刀具偏擺和未考慮刀具偏擺的未變形切削厚度積分之后結(jié)果相差較大，對微銑削力的影響也較大，所以微銑削不能忽略刀擺的影響。

（2）當(dāng)每齒進給量小于30%的切削刃半徑時，犁切力占主導(dǎo)地位；當(dāng)每齒進給量大于30%的切削刃半徑時，剪切力占主導(dǎo)地位。

（3）利用修正后的J-C本構(gòu)方程進行剪切面處的有效流動應(yīng)力的計算，將結(jié)果導(dǎo)入到ABAQUS中，進行仿真，得到不同切削參數(shù)條件下，剪切面的有效流動應(yīng)力，然后代入公式，得到更加準確的微銑削力。

（4）每齒進給量、主軸轉(zhuǎn)速和軸向切削深度對微銑削力的大小都有影響，并且每齒進給量的影響最大，主軸轉(zhuǎn)速對微銑削力的影響最小。

［1］李洪濤.介觀尺度材料力學(xué)性能建模及微銑削工藝優(yōu)化研究［D］.上海：上海交通大學(xué)，2008.

［2］趙巖.微細銑削工藝基礎(chǔ)與實驗研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2008.

［3］Mohammad Malekiana，Simon S.Park，Martin B.G.Jun. Modeling of dynamic micro-milling cutting forces［J］.International Journal of Machine Tools&Manufacture，2009，49（7）：586-598.

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（編輯 李秀敏）

Study on Cutting Tool Running out Considered Theoretical Analysis Model for Cutting Force Estimation in Micro End Milling Process

SU Yu-long1，DONG Zhi-guo1，YA Gang1，LIU Jian-cheng1，2
（1.College of Mechanical Engineering，Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024，China；2.School of Engineering and Computer Science，University of the Pacific，Stockton California 95211，USA）

In this paper，a new nominal uncut chip thickness estimation algorithm for micro-scale end-milling is proposed，in which the combination of an exact trochoidal trajectory of the tool tip and the tool running-out is considered.The strain gradient plasticity theory is introduced into the constitutive equation of material to calculate the flow stress in the process of micro end milling.The uncut chip thickness is applied to calculate the cutting forces，where the influence of plough shear，the flow stress and the elastic recovery are considered.The calculated results show a satisfactory agreement with the results obtained from cutting experiments.

uncut chip thickness；tool run-out；size effect；flow stress

TH122；TG506

A

1001-2265（2015）03-0038-06 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.03.011

2014-06-26；

2014-08-05

山西省自然科學(xué)基金項目（2005-1051）

蘇玉龍（1989—），男，山東榮成人，太原理工大學(xué)碩士研究生，研究方向為微細銑削加工，（E-mail）suyulongjiang@sina.com；劉建成（1964—），男，美國太平洋大學(xué)機械工程學(xué)院終身教授，博士研究生導(dǎo)師，研究方向微細制造。