黨志廣，黃 艷，王鵬博，田 野

（1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；2.中國科學(xué)院沈陽計算技術(shù)研究所，沈陽 110168；3.沈陽高精數(shù)控技術(shù)有限公司高精數(shù)控研究室，沈陽 110168）

曲軸磨床切點跟蹤運動三次樣條逼近研究*

黨志廣1，2，黃 艷2，3，王鵬博1，2，田 野3

（1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；2.中國科學(xué)院沈陽計算技術(shù)研究所，沈陽 110168；3.沈陽高精數(shù)控技術(shù)有限公司高精數(shù)控研究室，沈陽 110168）

根據(jù)曲軸磨床切點跟蹤運動的特點，文章闡述了建立切點跟蹤數(shù)學(xué)模型的整個過程，并且提出用三次樣條曲線對曲軸磨床切點跟蹤運動過程中的軌跡點進行逼近的方法，演繹了曲軸磨床切點跟蹤運動的三次樣條曲線方程的推導(dǎo)過程。三次樣條曲線函數(shù)具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的特點，所以軌跡逼近擬合效果好，加工曲面整體光滑，符合曲軸零件型線輪廓要求。通過對比仿真實驗結(jié)果證明，三次樣條逼近算法能使磨削曲線整體平滑，并且逼近誤差小。

曲軸磨床；切點跟蹤；逼近誤差

0 引言

曲軸作為船舶、機車和發(fā)電等設(shè)備內(nèi)燃機上的關(guān)鍵零件，其加工質(zhì)量與內(nèi)燃機的耐磨損性、耐疲勞性、振動、噪聲等性能密切相關(guān)，所以曲軸的性能將直接影響內(nèi)燃機的整體性能。隨著船舶、機車等制造業(yè)的快速發(fā)展、內(nèi)燃機產(chǎn)品的更新?lián)Q代，對大型曲軸的產(chǎn)量和質(zhì)量都提出了更高的要求。切點跟蹤磨削法作為一種全新的集中式工序的曲軸磨削方法，克服了傳統(tǒng)曲軸類零件磨削方式的缺點，實現(xiàn)一次裝夾就能依次完成對曲軸主軸頸和各連桿頸的磨削，排除了因工件兩次裝夾而產(chǎn)生的定位誤差，更容易保證加工精度，大大減少了輔助時間，降低了設(shè)備、廠房的投資。開展對該方法的研究工作，能為今后開發(fā)設(shè)計高精磨床設(shè)備提供可靠的理論根據(jù)，這對于促進機械制造業(yè)的發(fā)展和制造加工水平的提高，具有十分重要的理論意義和較高的實用價值。

工件的精度和加工的效率受軌跡插補控制的精度和速度的制約，所以本文提出用三次樣條曲線對曲軸磨床切點跟蹤運動過程中的軌跡點進行逼近的方法，這種方法和傳統(tǒng)的等誤差直線逼近方法相比提高了逼近精度和曲線的光滑性，更契合工件加工過程中要求的光順性原則。研究內(nèi)容包括以下幾部分：首先根據(jù)切點跟蹤磨削特點，建立磨削數(shù)學(xué)模型；第二部分主要內(nèi)容在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上提出三次樣條曲線，并且給出了曲線的具體求解過程；最后一部分通過Matlab進行仿真實現(xiàn)切點跟蹤磨削的三次樣條曲線，并通過實驗對比證明了三次樣條曲線磨削的精度更高，工件加工精度更高。

1 切點跟蹤中磨削點運動方程

在切點跟蹤磨削運動中，曲軸連桿頸輪廓是由砂輪跟隨曲軸的回轉(zhuǎn)運動，在磨削過程中始終與連桿頸保持相切而形成的。曲軸連桿頸切點跟蹤磨削運動模型如圖1所示。

圖1 曲軸切點跟蹤磨削運動示意圖

由上圖可知，曲軸連桿頸繞主軸頸中心O旋轉(zhuǎn)，砂輪沿X軸做往復(fù)跟蹤運動，在運動過程中始終與曲軸連桿頸保持相切以實現(xiàn)曲軸連桿頸的切點跟蹤磨削，磨削點坐標的軌跡方程為：

上式中R為曲軸連桿頸偏心距，Rw為曲軸連桿頸半徑，Rs為砂輪半徑，（Xi，Yi）為磨削點相對曲軸回轉(zhuǎn)中心O的坐標，Os為砂輪中心，Ow為連桿頸中心，α為OwO與OsO的夾角，β為OwOs與OsO的夾角。

由圖1中的幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出曲軸連桿頸切點跟蹤磨削過程中砂輪中心與曲軸轉(zhuǎn)角之間的運動方程，如下式（4）所示。

當(dāng)主軸頸勻速轉(zhuǎn)動時，可根據(jù)任一時刻的α值求得砂輪中心的位置坐標。當(dāng)曲軸偏心距R=65mm、連桿頸直徑Dw=79mm、砂輪半徑Rs=299.12mm時，曲軸連桿頸切點跟蹤磨削過程中砂輪中心的運動軌跡如圖2所示。圖中的曲線是加工過程中曲軸連桿頸和砂輪相切時砂輪中心的運動曲線，這也為第三部分三次樣條曲線模擬仿真繪制的曲線提供了對比依據(jù)。

圖2 砂輪中心隨曲軸轉(zhuǎn)動的運動軌跡

2 三次樣條曲線逼近算法

2.1 三次樣條曲線定義及解法

三次樣條曲線的數(shù)學(xué)定義：在平面區(qū)間上有n+1個點（αi，Xi），其中i=0，1，2，3…n。假定a=α0＜α1＜α2… ＜αn=b，若函數(shù)X（α）滿足條件：

2.2 曲軸切點跟蹤運動的三次樣條曲線逼近

基于以上分析，了解到三次樣條函數(shù)曲線，具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的特點，使得曲軸磨削運動軌跡的三次樣條逼近的曲線整體光滑，所以提出曲軸磨削運動采用三次樣條逼近。

根據(jù)曲軸切點跟蹤磨削運動模型，可得曲軸轉(zhuǎn)角α和砂輪架跟蹤位移X的一系列離散點 （α0，X0），（α1，X1）…（αi，Xi）…（αn，Xn）。由2.1分析了解到只要求得μ，η的邊界條件就可以得出三次樣條曲線，通過分析曲軸切點跟蹤運動可以得出 X（α0）'= X（αn）'=0，可以得出μ，η的邊界條件式（12）。然后通過公式（7）、（8）、（9）、（10）可以得出三次樣條曲線。

3 三次樣條曲線仿真實驗

根據(jù)三次樣條曲線函數(shù)求解過程進行模擬仿真實驗。選取偏心距R=65mm，連桿頸的直徑Dw=79mm的曲軸為仿真對象，相關(guān)的仿真參數(shù)：砂輪半徑Rs= 299.12mm，工件平均轉(zhuǎn)速30r/min。

切點跟蹤磨削運動軌跡采用三次樣條函數(shù)進行曲線逼近，在等角度插值條件下根據(jù)公式（4）獲取曲軸切點跟蹤磨削運動軌跡曲線上的72組原始數(shù)據(jù)點，對其進行三次樣條曲線逼近仿真實驗。公式（13）給出了誤差計算方法，X1（α）是三次樣條曲線的公式（6）求出的值，X2（α）是切點跟蹤模型曲線公式（4）所求出的值，工件磨削過程中逼近誤差絕對值如圖3所示。從圖中可以看出起始點的誤差比較大，而遠離起始點的部分切點跟蹤的逼近誤差比較小。這是由于采用三次樣條逼近切點跟蹤磨削運動軌跡時，需要知道邊界條件（起始點的一階和二階導(dǎo)數(shù)），而通常情況下邊界點的一階和二階導(dǎo)數(shù)是通過臨近點近似計算出來的。由于曲軸切點跟蹤磨削運動軌跡的周期性特點，加工過程中可以通過增加一個周期來避免這樣的誤差。

圖3 三次樣條曲線逼近誤差絕對值

表1是等誤差直線逼近在不同期望精度的逼近段數(shù)，誤差逼近段數(shù)是公式（13）中誤差ε大于給定的期望精度時，重新計算一段新的曲線，實驗中完成曲線磨削一周需要的最小段數(shù)就是誤差逼近段數(shù)，表1給出了不同精度下兩種方案的逼近段數(shù)。從表1中可以看出，在相同數(shù)量級10-5誤差情況下，三次樣條曲線逼近只需要分407個逼近段數(shù)，而等誤差直線逼近則需要643段。由此可以得出：在相同的誤差要求下，三次樣條曲線與傳統(tǒng)的等誤差直線逼近相比逼近段數(shù)要的多。因此三次樣條曲線算法在程序中需要保存的離散點的數(shù)據(jù)量就會少很多，這在很大程度上減輕了數(shù)控程序的負擔(dān)。

表1 等誤差直線和三次樣條逼近段數(shù)對比

圖4和圖5分別是等誤差直線逼近和三次樣條曲線逼近算法在曲軸磨削一周形成的曲線。從圖中可以很清晰的發(fā)現(xiàn)三次樣條曲線與原曲線圖2基本一致，曲線比較平滑，而等誤差直線逼近曲線整體很不平滑且有很多折點。以上兩點說明了三次樣條曲線在切點跟蹤磨削過程的優(yōu)勢，這對于設(shè)計大型高精度數(shù)控機床具有很好的理論指導(dǎo)意義。

圖4 等誤差直線擬合曲線

圖5 三次樣條擬合曲線

4 結(jié)束語

本文提出用三次樣條曲線對曲軸磨床切點跟蹤運動過程中的軌跡點進行逼近的方法。通過仿真實驗發(fā)現(xiàn)，三次樣條曲線逼近明顯優(yōu)于等誤差直線逼近，為曲軸切點跟蹤提供了一種高效的控制方法。

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（編輯 趙蓉）

The Research on the Crankshaft Tangential Point Tracing Grinding Based on Cubic Spline

DANG Zhi-guang1，2，HUANG Yan2，3，WANG Peng-bo1，2，TIAN Ye3
（1.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China；2.Shenyang Institute of Computing Technology，Chinese Academy of Sciences，Shenyang 110168，China）

According to the characteristics of the crankshaft grinder tangential point tracking movement，this paper explained the process of making the mathematical model，and proposed the method based on the cubic spline curve to approach the track points which are generated to track the movement of the crankshaft grinder cut-off point.At the same time，the process of deriving the cubic spline curve that track the movement of the crankshaft grinder cut point is illustrated in the paper.Cubic spline function has the continuous features of the first and second derivative，so the fitting effect is good and the cutting surface is smooth，which conforms the profile requirements of the crankshaft parts.The results in the simulation show that the approximation algorithm of the cubic spline enables the curve smooth overall，and the approximation error is small.

crankshaft grinder；tangential point tracing；approaching error

TH16；TG506

A

1001-2265（2015）10-0005-03 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.10.002

2014-11-28；

2015-01-21

"高檔數(shù)控機床與基礎(chǔ)制造裝備"國家科技重大專項—基于二次開發(fā)平臺的專用數(shù)控系統(tǒng)開發(fā)與應(yīng)用（2013ZX04007-011）

黨志廣（1988—），女，河南課河人，中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生，研究方向為數(shù)控技術(shù)，（E-mail）dzg0123@126.com。