李 勇，宋曉霞

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

點(diǎn)對(duì)點(diǎn)和疊加高斯碼的高斯干擾信道容量比較

李 勇，宋曉霞

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

為了研究實(shí)際通信中存在干擾情況下如何選擇合適的編碼方案，針對(duì)兩用戶高斯干擾信道，比較了分別使用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和疊加高斯碼時(shí)的最佳可達(dá)速率區(qū)域與和速率。結(jié)果表明：某用戶要以最大用戶速率，或者在強(qiáng)干擾或弱干擾下系統(tǒng)以最佳吞吐量通信，應(yīng)使用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼；在中等干擾情況下，信噪比越大，適合點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼的信道系數(shù)范圍越大，信噪比越小，適合疊加高斯碼的信道系數(shù)范圍越大。

干擾信道；高斯干擾信道；容量區(qū)域；內(nèi)界；和速率

當(dāng)多對(duì)用戶共享無(wú)線通信資源進(jìn)行通信時(shí)，每對(duì)用戶的通信將不可避免地受到其他用戶對(duì)的通信干擾。Shannon早在1961年首先把這種情況建模成干擾信道來(lái)研究其通信性能限[1]。相對(duì)于離散無(wú)記憶干擾信道，高斯干擾信道指導(dǎo)意義更大，因此得到了更廣泛的關(guān)注，其容量限及最佳傳輸策略也成為研究的焦點(diǎn)。然而，除了一些特殊情況外，一般的兩用戶高斯干擾信道的容量及對(duì)應(yīng)的最佳傳輸策略至今仍沒(méi)有確定。已有研究指出，采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碼或疊加編碼方案，可以獲得強(qiáng)干擾條件下高斯干擾信道的容量區(qū)域[2-4]；弱干擾情況下高斯干擾信道的和容量[5-7]；單邊高斯干擾信道、混合高斯干擾信道的和容量[6,8-9]。其中，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碼是指，為一對(duì)通信用戶在AWGN無(wú)線信道所設(shè)計(jì)的信道碼，接收機(jī)要么采用把干擾當(dāng)噪聲要么采用逐次干擾消除譯碼譯出干擾的碼字；疊加編碼是一種多用戶碼，最早由Cover提出，由Carleial首次應(yīng)用到高斯干擾信道中[10]，要求用戶在發(fā)送端采用多個(gè)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碼疊加起來(lái)，接收機(jī)采用同時(shí)聯(lián)合譯碼。1981年，文獻(xiàn)[3]在發(fā)送端采用疊加編碼，在接收端采用同時(shí)聯(lián)合譯碼，獲得了迄今為止最佳內(nèi)界，通常稱作HK內(nèi)界。其疊加編碼的疊加雙方?jīng)]有主次之分，且以一種確定方式疊加在一起，在接受端要求同時(shí)聯(lián)合譯碼。文獻(xiàn)[11]中采用了另外一種形式的疊加編碼獲得了HK界的一種等價(jià)簡(jiǎn)化描述，通常稱作CMG界。該疊加編碼實(shí)際上是順序疊加編碼，疊加雙方有主次之分，疊加的一方作為云團(tuán)中心，疊加的另一方作為衛(wèi)星碼字；譯碼時(shí)要先譯云團(tuán)中心，再譯衛(wèi)星碼字。相對(duì)于HK內(nèi)界，CMG界雖然在不等式數(shù)量和隨機(jī)變量的基數(shù)兩方面都進(jìn)行了化簡(jiǎn)，但是計(jì)算仍舊復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化計(jì)算和適應(yīng)工程需要，文獻(xiàn)[12]指出在高信噪比條件下，對(duì)稱高斯干擾信道采用簡(jiǎn)單的HK策略所能達(dá)到的對(duì)稱速率區(qū)域與信道容量最多相差1 bit。最近，向量和MIMO干擾信道的研究再次引發(fā)了干擾信道的研究熱情[13-16]。

綜上所述，對(duì)于兩用戶高斯干擾信道，盡管采用疊加編碼可獲得目前最佳界，但是所有已知的容量結(jié)果也可采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碼獲得。疊加編碼傳輸方案實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，且還沒(méi)有進(jìn)入實(shí)用階段，更不要說(shuō)推廣到多用戶干擾信道。而點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碼傳輸策略目前已實(shí)用化多年、技術(shù)成熟，且更易于向多用戶干擾信道推廣。因此，為了以較小代價(jià)達(dá)到通信性能要求，需要在性能和實(shí)現(xiàn)代價(jià)方面進(jìn)行折中來(lái)考慮編碼方案。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)并沒(méi)有確切給出點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碼和疊加碼下的性能差距。

本文針對(duì)兩用戶高斯干擾信道，從理論和數(shù)值結(jié)果兩個(gè)方面比較了點(diǎn)對(duì)點(diǎn)和疊加高斯碼下可達(dá)速率區(qū)域及和速率的差距，分析了疊加碼有和速率增益的信道參數(shù)關(guān)系。比較結(jié)果為實(shí)際通信中采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)還是疊加高斯碼提供理論依據(jù)。

1 信道模型與定義

一個(gè)K用戶的高斯干擾信道模型如圖1所示,hn,m表示從用戶n發(fā)射端到用戶m接收端的信道系數(shù)。其矩陣表示如下：

為便于比較分別采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和疊加高斯碼下的高斯干擾信道容量限的性能，本文討論K=2時(shí)的情況，即兩用戶高斯干擾信道。標(biāo)準(zhǔn)化后，直接鏈路的信道系數(shù)為1，即h11=h22=1。為便于后面的表達(dá)和計(jì)算，將交叉鏈路的信道系數(shù)h12記作

圖1 K用戶高斯干擾信道模型

2 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)和疊加高斯碼下的界

下面分別介紹分別使用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和疊加高斯碼時(shí)，兩用戶高斯干擾信道的現(xiàn)有內(nèi)界。

2.1 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼下的內(nèi)界

當(dāng)限定發(fā)送端采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼時(shí)，根據(jù)高斯干擾信道各種內(nèi)界所采用的干擾管理策略，可以把各種內(nèi)界分成以下四類。

第一類是避免干擾內(nèi)界，有TDM∕FDM內(nèi)界[10]，在中等干擾信道下其和速率是目前已知點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碼單一策略界中最佳的。系統(tǒng)在傳輸時(shí)，把可用的總帶寬或時(shí)間段劃分成兩個(gè)子帶或時(shí)隙，各用戶獨(dú)占相應(yīng)的子帶或時(shí)隙進(jìn)行通信，彼此之間無(wú)任何干擾，因此信道干擾的強(qiáng)弱不會(huì)影響該傳輸策略的性能，因而它是一種能避免干擾的傳輸策略。

第二類是忽略干擾內(nèi)界，有把干擾當(dāng)噪聲(treat?ing the interference as noise,TIN)界，它基于干擾是有害的觀點(diǎn)，是一種忽略干擾結(jié)構(gòu)的干擾管理策略，在干擾較弱情況下取得較好的容量限，并且能夠在弱干擾情況下達(dá)到兩用戶高斯干擾信道的和速率容量[5-7]，但是在干擾越來(lái)越強(qiáng)的情況下，其性能則會(huì)越來(lái)越差。

第三類是利用干擾內(nèi)界，這類界認(rèn)為干擾是由于無(wú)線通信的廣播特性疊加到接收端的其他用戶信號(hào)，因而干擾不同于噪聲，是有結(jié)構(gòu)的，且是可以利用的。因此通過(guò)譯出干擾一般可以提高用戶自己的速率。根據(jù)接收端是否唯一正確地譯出干擾，可以分為正確地譯出干擾(decoding the interfer?ence correctly,DIC)內(nèi)界和不可靠譯出干擾內(nèi)界，也稱作同時(shí)聯(lián)合譯碼(simultaneous jointly decoding,SJD)內(nèi)界[17]。DIC界根據(jù)譯出干擾的方式又分成SIC界和聯(lián)合譯碼(jointly decoding,JD)界。這類界在極強(qiáng)和強(qiáng)干擾情況下能達(dá)到兩用戶高斯干擾信道的容量[2-4]，在弱干擾情況下，SJD界與DIC內(nèi)界相比有了明顯的提高[17]。

第四類是混合策略界，即將上述各策略部分或全部組合使用得到的界。這類界主要有Sason內(nèi)界[18]，BGT 界[19]，LSB界[20]。

LSB界是通過(guò)組合時(shí)間共享隨機(jī)變量，TIN和SJD技術(shù)獲得的。而使用時(shí)間共享隨機(jī)變量獲得的界通常要優(yōu)于改進(jìn)的TDM∕FDM技術(shù)[17]，而SJD界優(yōu)于DIC界。實(shí)際上，該內(nèi)界組合了目前點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碼下所有最優(yōu)策略，因此是使用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碼情況下目前最好的高斯干擾信道內(nèi)界[20]。

若不考慮時(shí)間共享隨機(jī)變量，LSB內(nèi)界可表示如下。

2.2 疊加高斯碼內(nèi)界

疊加高斯碼下的兩用戶高斯干擾信道的界主要有Carleial界[10]，HK界，CMG界，以及由HK衍生出來(lái)的便于計(jì)算的Sason界[18]等。為了公平地與點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼下的高斯干擾信道界比較，采用文獻(xiàn)[11]中給出的CMG內(nèi)界并且不考慮時(shí)間共享隨機(jī)變量，表達(dá)如下：

3 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)和疊加高斯碼內(nèi)界比較

本節(jié)主要分析與比較在不使用改進(jìn)的TDM∕FDM，時(shí)間共享隨機(jī)變量等技術(shù)情況下，采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和疊加高斯碼時(shí)兩用戶高斯干擾信道的容量限差距。因此只需要把已知的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碼最佳內(nèi)界LSB內(nèi)界與疊加碼最佳內(nèi)界CMG內(nèi)界進(jìn)行比較即可。

3.1 主要結(jié)論

由點(diǎn)對(duì)點(diǎn)和疊加高斯碼下的內(nèi)界表達(dá)式可得到以下結(jié)論。

定理1采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)和疊加高斯碼兩種情況下，無(wú)論信道干擾強(qiáng)度如何，都有相同的最大單個(gè)速率，即

定理2對(duì)于兩用戶高斯強(qiáng)干擾信道，采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)和疊加高斯碼兩種情況，有相同的可達(dá)速率區(qū)域，即

證明：對(duì)于兩用戶高斯強(qiáng)干擾信道，最佳可達(dá)策略是完全譯出干擾，即要求和 w2=w1=1，對(duì)于LSB內(nèi)界，把它們代入不等式(3)～(6)相應(yīng)地得到不等式(16)～(18)。對(duì)于CMG內(nèi)界，，w2=w1=1 時(shí)，代入(7)和(8)得(16)和(17)，代入(9)和(10)得(18)，代入(11)得

因?yàn)樵趶?qiáng)干擾時(shí)，即 a21≥1和 a12≥1，因此(19)冗余，即(11)冗余。根據(jù)，w2=w1=1 ，a21≥1和 a12≥1，(12)大于(7)與(9)的和，(13)大于(8)與(10)的和，因此(12)和(13)也冗余。所以，CMG內(nèi)界也轉(zhuǎn)化為(16)到(18)。即兩種碼有相同的可達(dá)速率區(qū)域。

定理3對(duì)于兩用戶高斯弱干擾信道，采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)和疊加高斯碼兩種情況，有相同的和速率，即

證明：對(duì)于兩用戶高斯弱干擾信道，采用TIN策 略可以達(dá)到和容量 ，即要求和w2=w1=0，對(duì)于LSB內(nèi)界，把它們代入不等式(3)～(6)相應(yīng)地得到不等式(20)。對(duì)于CMG內(nèi)界，和 w2=w1=0 并滿足弱干擾條件時(shí)，把它們代入不等式(7)～(13)相應(yīng)地也得到不等式(20)。此時(shí)，兩種碼有相同的和速率。

根據(jù)定理1、2、3，在實(shí)際通信中若需要某個(gè)用戶能以其最大單個(gè)速率通信，或者是在強(qiáng)干擾信道中通信，或者在弱干擾信道中以最大和速率通信時(shí)，系統(tǒng)只需要采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼，而無(wú)需采用疊加高斯碼即可獲得同樣的通信性能。

3.2 數(shù)值結(jié)果

對(duì)于中等干擾信道，因?yàn)樵谇驢K或CMG內(nèi)界時(shí)，要遍歷全部公共信息可能占有的比例，所以無(wú)法用理論推導(dǎo)或計(jì)算的方法直接比較兩種碼下的內(nèi)界。本節(jié)將通過(guò)典型信道參數(shù)下兩種碼的內(nèi)界的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較。

采用的對(duì)數(shù)，信道參數(shù)和發(fā)射功率約束與文獻(xiàn)[3]中相同。圖2中，由坐標(biāo)原點(diǎn)和X，A，D，Y點(diǎn)圍成的區(qū)域是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼的可達(dá)速率區(qū)域；而由坐標(biāo)原點(diǎn)和X，A，B，C，D，Y點(diǎn)圍成的區(qū)域是疊加高斯碼的可達(dá)速率區(qū)域。從圖2可以看出，疊加高斯碼內(nèi)界要比點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼的內(nèi)界大。

圖2 P1=P2=6，a12=a21=0.55速率區(qū)域

接著比較在弱和中等干擾情況下二者的和速率。從圖3中可得到，隨著信噪比增加，疊加高斯碼和速率優(yōu)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和速率時(shí)的信道系數(shù)范圍變窄，兩種碼的和速率的最大差距變大。例如，當(dāng)信噪比為30 dB時(shí)，疊加高斯碼和速率優(yōu)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和速率的信道系數(shù)范圍只有0.032～0.27，而在其它信道系數(shù)范圍內(nèi)，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和速率同疊加高斯碼和速率相同，即此時(shí)選用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼作為信道碼更有利，疊加高斯碼與點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和速率最大差距為0.74 bit；當(dāng)信噪比為10 dB時(shí)，疊加高斯碼和速率優(yōu)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和速率的信道系數(shù)范圍擴(kuò)大到0.27～0.912，而在其它較小的信道系數(shù)范圍內(nèi)，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和速率同疊加高斯碼和速率相同，即此時(shí)選用疊加高斯碼作為信道碼更有利。

圖3 P1=P2=1000,100,51,10和速率

由以上比較可知，疊加高斯碼內(nèi)界優(yōu)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼內(nèi)界。但是，在很多特殊信道參數(shù)情況下，兩種碼內(nèi)界相同，或者差距很小，在這種情況下考慮疊加高斯碼實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度，可考慮采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼作為信道碼。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)兩用戶高斯干擾信道，在不考慮時(shí)間共享變量情況下，比較了目前點(diǎn)對(duì)點(diǎn)和疊加高斯碼下最佳內(nèi)界與和速率。結(jié)果顯示，兩種碼有相同的最大單個(gè)速率；在強(qiáng)干擾時(shí)，兩種碼的內(nèi)界相同；在弱干擾時(shí)，兩種碼的和速率相同。隨著信噪比的增加，疊加高斯碼的和速率優(yōu)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和速率的信道系數(shù)范圍變窄，疊加高斯碼與點(diǎn)對(duì)點(diǎn)高斯碼和速率的最大差距變大。這為實(shí)際通信中選用信道碼提供了選擇依據(jù)。

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On the Capacity Bounds of Gaussian Interference Channels with Point-to-Point and Superposition Gaussian Codes

LI Yong,SONG Xiao-xia
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

In this paper,the inner bounds and sum rates for the two-user Gaussian interference channel using point-to-point Gaussian codes and superposition Gaussian codes respectively were compared to study how to select the appropriate encoding scheme in a real communication system with interference.Results show that point-to-point Gaussian codes should be adopted when any user communicates at its maximum rate or the system works at its maximum sum rate under strong or weak interference.Under moderate in?terference,the range of channel coefficients appropriate for point-to-point Gaussian codes is larger when the signal-to-noise ratio is higher.At the same time,the range of channel coefficients appropriate for superposition Gaussian codes is larger when the signal-tonoise ratio is lower.

interference channel;Gaussian interference channel;capacity region;inner bound;sum rate

TN911.2

A

1674-0874(2015)05-0020-04

2015-06-15

山西大同大學(xué)博士科研啟動(dòng)項(xiàng)目[2013-B-17]；山西大同大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目[XJG2014202]

李勇(1974-)，男，遼寧大連人，博士，副教授，研究方向:網(wǎng)絡(luò)信息論及應(yīng)用，無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)。

〔責(zé)任編輯 高彩云〕