武　曈，劉益才，雷斌義

（中南大學(xué) 先進儲能技術(shù)研究所，長沙　410083）

分形理論及其傳熱研究現(xiàn)狀

武曈，劉益才，雷斌義

（中南大學(xué) 先進儲能技術(shù)研究所，長沙410083）

總結(jié)了分形理論及其在傳熱領(lǐng)域的發(fā)展過程并探究發(fā)展方向。對分形理論進行了簡要的介紹，對其重要特征和發(fā)展歷程予以回顧和展望，以多孔介質(zhì)、蜂窩結(jié)構(gòu)、分形樹杈結(jié)構(gòu)為分類標準，將研究成果進行歸納總結(jié)，重點評述其在導(dǎo)熱方面的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，以及近些年較為重大的理論或者試驗研究成果，并以此為依據(jù)提出完善分形理論在傳熱學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，能夠有效提升換熱器換熱效率，減少阻力損失，提高設(shè)備工作效率并降低成本，是未來的研究和發(fā)展方向。

分形結(jié)構(gòu)；傳熱；多孔介質(zhì)；蜂巢結(jié)構(gòu)；樹形分叉結(jié)構(gòu)；回熱器

0　引言

近年來，隨著科技的發(fā)展，國家對科技產(chǎn)業(yè)的支持，生物醫(yī)學(xué)技術(shù)、電子技術(shù)、航空航天技術(shù)等都有了長足的發(fā)展進步。其核心部分，如微芯片等，由于集成度高，產(chǎn)熱量大，穩(wěn)定性受溫度影響巨大，其散熱情況也就成為眾多學(xué)者的研究對象［1］。另外，由于系統(tǒng)微型化的發(fā)展，散熱也越來越受到空間條件的限制，傳統(tǒng)的強化換熱手段已經(jīng)很難在微小尺度下發(fā)揮強化換熱的效果。微細通道散熱器件在高熱流密度下使微系統(tǒng)中的散熱成為可能。大量的實驗證明，微細通道散熱相對于受迫空氣對流冷卻能夠帶來更高的散熱效率。但是巨大的壓力損失卻使得該項技術(shù)很難在微型裝置的狹小空間中使用。

然而，樹冠、樹干、植物須根、葉脈、人體氣管血管網(wǎng)、神經(jīng)網(wǎng)、河流網(wǎng)、街道網(wǎng)等，都以長期的進化形成了一定的形態(tài)，其結(jié)構(gòu)應(yīng)該是阻力、換熱、傳質(zhì)的最優(yōu)或接近最優(yōu)的結(jié)構(gòu)，這就是分形構(gòu)型的起源。根據(jù)分形構(gòu)型的相關(guān)理論，以仿生學(xué)的思維來指導(dǎo)對回熱器等換熱裝置的改進設(shè)計以及熱分析，將會有助于設(shè)計出換熱效果較強、阻力最小的優(yōu)良換熱裝置。

1　分形及其特征

分形（Fractal）一詞，美籍法國數(shù)學(xué)家Mandelbrot創(chuàng)造出來，來源于拉丁語“fractus”，其原義是不規(guī)則的、分數(shù)的、支離破碎的物體，是沒有特征長度的圖形、構(gòu)造以及現(xiàn)象的總稱。分形幾何學(xué)（fractal ge?ometry）也是由其率先創(chuàng)立的描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無規(guī)幾何對象的數(shù)學(xué)分支［2］。到1982年Mandelbrot出版了專著The Fractal Geometry of Nature，表明分形理論已初步形成［3］。

對于分形，現(xiàn)在多用描述性定義，需要滿足五個條件［4］。

（1）分形集都具有任意小尺度下的比例細節(jié)，或者說具有精細的結(jié)構(gòu)（無限可分性）；

（2）分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述，既不是滿足某些條件點的軌跡，也不是某些簡單方程的解集；

（3）分形集具有某種自相似性，或嚴格自相似（稱為有規(guī)分形）、近似自相似、統(tǒng)計意義下的自相似（稱為無規(guī)分形）；

（4）一般分形集的分形維數(shù)，嚴格大于相應(yīng)的拓撲維數(shù)；

（5）在大多情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。

典型的分形集有：Cantor集、Koch曲線、Sierpin?sky集、Julia集和Mandelbrot集等。

1.1分形的重要特征

分形有兩個重要的基本特征，是自相似性和分形維數(shù)。

（1）自相似性

自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則［5］。自相似性（Self-similarity）是指某一結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)（結(jié)構(gòu)）的局部性質(zhì)（局部結(jié)構(gòu)）與整體類似。簡單地說就是局部形態(tài)與整體形態(tài)相似，也就是說，外觀特征在通常的尺度變換下保持不變，即標度無關(guān)性，可解釋為無法從某一尺度的圖形上判斷其標度。值得一提的是，自相似性的復(fù)雜在于，并不是某一結(jié)構(gòu)或過程簡單地放大縮小并疊加，而是具有統(tǒng)計意義上的相似性。

分形在自然界中的體現(xiàn)有兩種方式：規(guī)則分形和不規(guī)則分形。

規(guī)則分形是由人工構(gòu)造，嚴格滿足自相似性，可以通過無窮遞推得到。如Koch雪花曲線如圖1所示、Sierpinsky三角形如圖2所示。自然界中存在的幾乎都為不規(guī)則分形結(jié)構(gòu)。如多級分叉的血管、維管束如圖3所示。不能從形狀和結(jié)構(gòu)上區(qū)分兩部分血管在本質(zhì)上的不同，這種幾乎同樣程度的不規(guī)則性和復(fù)雜性，說明血管的分叉在統(tǒng)計意義上是自相似的，也就是部局形態(tài)和整體形態(tài)的相似。不規(guī)則分形對自然中的不對稱性、不規(guī)則性可以更好的描述出來。其僅具有近似的或統(tǒng)計意義下的自相似性。

圖1　Koch雪花　

圖2　Sierpinsky三角形

圖3　多級分叉的血管、維管束

對分形結(jié)構(gòu)的這種不規(guī)則程度或者破碎、自相似程度的定量參數(shù)是分形維數(shù)（Fractal Dimension）。所以分形維數(shù)是分形理論的重要核心內(nèi)容［6］。

（2）分形維數(shù)［7］

對于一個維數(shù)已經(jīng)確定的幾何體，若選取與其維數(shù)相同的幾何體測量，已知幾何體的維數(shù)為r，則可得到某個確定的數(shù)值，與r之間存在如式（1）函數(shù)關(guān)系：

式中：DH為豪斯道夫維數(shù)（Hausdorff Dimension），可以是整數(shù)，也可以是分數(shù)；r為度量尺度；N（r）為測度所得到的測量單元數(shù)。

另一方法可選取某一圖形，放大圖形使其尺度變?yōu)樵瓉淼腖倍，則圖形本身變?yōu)樵瓉淼腘（L）倍，則可得：

式中：D為分形維數(shù)。

分形維數(shù)是分形的一個非常重要的特征量，表征復(fù)雜集合形狀物體的如相似程度、復(fù)雜程度等很多信息，對自然界的復(fù)雜形狀物體的研究提供了寶貴的途徑。

1.2分形幾何的發(fā)展

在人類近現(xiàn)代的科技進步當中，可以粗略地把分形的發(fā)展分為三個階段。

第一階段為1875～1925年。人們對常見的分形集合已經(jīng)有了初步的感知，并且試圖將這類集合與經(jīng)典幾何區(qū)別開來，對其差別進行描述、分類和刻畫。1872年，維爾斯特拉斯（Weieratrass）證明維爾斯特拉斯函數(shù)如圖4所示，豪斯道夫（Hausdorff）于1919年引入了豪斯道夫測度和豪斯道夫維數(shù)，這期間學(xué)者對分形的基本問題做了較多的研究。

圖4　維爾斯特拉斯函數(shù)圖

第二階段1926～1975年，學(xué)者對分形進行了一系列數(shù)學(xué)性質(zhì)上的深入研究，深化了第一階段的思想，形成理論。而且，學(xué)者將研究范圍擴大到了數(shù)學(xué)的許多分支之中。曲線的維數(shù)、分形集的局部性質(zhì)、分形集的結(jié)構(gòu)以及其在數(shù)論、調(diào)和分析、幾何測度論中的應(yīng)用等均得到研究發(fā)展。

第三階段為1975年至今。分形從單純的數(shù)學(xué)研究中獨立出來，成為單獨的一門學(xué)科，并應(yīng)用在工程技術(shù)、物理化學(xué)、生物醫(yī)藥、材料的制備及性能、水文地理、經(jīng)濟管理等方面。加之計算機技術(shù)的發(fā)展迅猛，分形理論在實踐中應(yīng)用范圍越來越廣。

2　分形理論的熱研究現(xiàn)狀

近期分形理論在傳熱方面的研究也逐漸興起。無論是多孔介質(zhì)、蜂巢結(jié)構(gòu)還是樹形分叉結(jié)構(gòu)，都以其低阻力、高導(dǎo)熱率得到了研究學(xué)者的重視。

2.1多孔介質(zhì)分形的熱研究

多孔介質(zhì)的傳熱傳質(zhì)是能源、材料、環(huán)境、化學(xué)、生物醫(yī)藥等諸多方面的研究前沿。但是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，沒有特征尺度，形態(tài)無法用歐式幾何描述。在傳熱傳質(zhì)當中，由于其不規(guī)律性使得傳熱傳質(zhì)的規(guī)律也具有隨機性，給研究帶來了極大的困難。而分形理論為精確研究復(fù)雜結(jié)構(gòu)內(nèi)部發(fā)生的各種物理化學(xué)過程開辟了一條新路［8-9］。

國內(nèi)郁伯銘等［10-11］在多孔介質(zhì)的傳熱傳質(zhì)方面做了大量的工作。理論方面，以有限差分法計算對稱分形體的溫度場，并且完成將多孔介質(zhì)看成由非接觸顆粒和相連的曲折顆粒鏈組成。假設(shè)曲折顆粒鏈服從分形分布規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了雙彌散多孔介質(zhì)等效導(dǎo)熱系數(shù)的分形模型［12］，并通過實驗進行了驗證。對孔隙界面和空間的分形結(jié)構(gòu)進行了研究，使用的自相似遞推方法是多孔介質(zhì)運輸特性計算在國內(nèi)較早的應(yīng)用。還提出了顆粒流中粒子的分形模型，得到粒子在不同分形維數(shù)下的分形分布，然后研究了針對單一粒子流動分布的導(dǎo)熱系數(shù)［13］。

東南大學(xué)施明恒教授及其課題組對多孔介質(zhì)的導(dǎo)熱性能也進行了一系列研究。施明恒等［14］研究分形結(jié)構(gòu)描述多孔介質(zhì)傳熱路線，改進了傳熱公式得到：

式中：a為比例尺度；D為分形維數(shù)；這為多孔介質(zhì)傳熱研究提供了一種新思路。

張東暉等［15-17］使用Sierpinski地毯結(jié)構(gòu)研究多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)相關(guān)問題，利用有限容積法分析傳熱過程。發(fā)現(xiàn)多孔介質(zhì)基質(zhì)與孔隙之間存的換熱較強，當不考慮孔隙氣體中的導(dǎo)熱時，導(dǎo)熱率與基質(zhì)率大多呈現(xiàn)指數(shù)關(guān)系。

國外發(fā)展了多孔介質(zhì)熱質(zhì)遷移的熱力學(xué)理論和綜合理論以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)描述，對多孔介質(zhì)傳熱傳質(zhì)的研究起到了重要的推動作用。

Bejan［18-19］通過引入橫向和縱向局部分形維數(shù)來表示多孔復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并基于傳統(tǒng)的傳熱學(xué)模型來導(dǎo)出等效導(dǎo)熱率。但是，Monte Carlo方法復(fù)雜的計算，使得對分形維數(shù)的求解變得異常困難，因而難以應(yīng)用。Perrier等［20］建立了二維不規(guī)則分形孔道網(wǎng)絡(luò)模型，研究壓汞和退汞過程，并模擬了水分與空氣在土壤中的侵入滲流等物理過程。Shashwati等［21］采用反常擴散理論，結(jié)合分形體的幾何標度特性，用隨機行走法推出對稱分形體的導(dǎo)熱系數(shù)公式：

式中：D是分形維數(shù)；DW是譜維數(shù)。

2.2蜂巢結(jié)構(gòu)分形的熱研究

自然界的蜂巢由正六邊形堆疊而成，具有一定的相似性，此種結(jié)構(gòu)節(jié)省材料、具有的強度較高，并且具有最短的邊界總長。由正六邊形拓撲而成的蜂巢結(jié)構(gòu)即是模仿自然界的蜂巢而構(gòu)造的一種分形結(jié)構(gòu)。

2001年，由清華大學(xué)李偉等［22］數(shù)值模擬得出了蜂巢結(jié)構(gòu)蓄熱體溫度和速度分布，分析了蓄熱放熱過程，得出了氣流速度、通道界面等對熱阻流阻等參數(shù)的影響。

南京理工大學(xué)董濤等［23］對仿蜂巢分形微管道網(wǎng)絡(luò)進行了設(shè)計和研究。同時從理論和試驗上對比了仿蜂巢分形微管道網(wǎng)絡(luò)換熱器與平行陣列微管道換熱器中的流動與換熱特性，得出在其他條件不變的情況下，仿蜂巢分形微管道網(wǎng)絡(luò)換熱器的換熱能力是平行陣列微管道換熱器的5倍以上。而換熱量相等時，蜂巢結(jié)構(gòu)所需要的輸送功率僅為平行陣列的十分之一。該課題組還做了恒定熱流條件下去離子水的單相層流對流換熱實驗，原理如圖5所示，實驗發(fā)現(xiàn)在Nusselt數(shù)和換熱平均壓降方面，蜂巢結(jié)構(gòu)也均優(yōu)于普通的平行陣列結(jié)構(gòu)。

圖5　恒定熱流去離子水的單相層流對流換熱實驗原理圖

蜂窩結(jié)構(gòu)織物的熱研究，在2013年由東南大學(xué)趙敬［24］提出。以蜂巢組織為基礎(chǔ)組織，利用蜂巢組織的凹凸性能，提出對多層蜂巢結(jié)構(gòu)織物的編織方法上機實驗，達到了良好阻礙傳熱的效果。

2.3樹形分叉結(jié)構(gòu)分形的熱研究

樹形分叉網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于自然界當中，是分形理論的起源。植物維管束、動物血管網(wǎng)絡(luò)、樹枝、山川河流、城市交通管網(wǎng)系統(tǒng)及街道分布等都是樹形分叉分形結(jié)構(gòu)的實際應(yīng)用［25］，研究顯示，對于自然界中的樹形分叉結(jié)構(gòu)，無論是血管、河流、樹枝等，分叉結(jié)構(gòu)的管徑和分叉角度都成最優(yōu)化分布或者接近最優(yōu)化使得導(dǎo)熱性能和流阻等參數(shù)也達到優(yōu)化值。

國內(nèi)在這方面的研究較少，2006年海軍工程大學(xué)伍文君等［26-27］對構(gòu)形模式進行了釋放式優(yōu)化改進，將上一級分形結(jié)構(gòu)體的各個參數(shù)作為新的自由度，以此計算迭代后一級分形。改進后的最優(yōu)結(jié)構(gòu)與改進前相比，各級分形結(jié)構(gòu)的熱阻降幅達30%。

2010年東南大學(xué)陳永平等［28］對分形樹狀通道換熱器內(nèi)的流動換熱特性進行了一系列的研究。建立了換熱器內(nèi)層流的流動和傳熱模型，對橫截面為矩形的樹狀通道強化傳熱進行模擬，分析受熱面溫度分布，并與蛇形通道換熱器進行實驗對比。最終得出結(jié)論，在樹狀通道的分叉處能夠形成二次流，能夠有效地增強換熱，較之于蛇形通道達到更均勻的溫度和更小的壓力降。同樣在入口流體雷諾數(shù)相同的情況下，樹形通道換熱器所需的換熱面積要遠遠小于蛇形通道。

國外，早在20世紀初（1926年），Murray［29］在總結(jié)研究成果基礎(chǔ)上提出了著名的Murray定律。流體體積一定，心血管直徑存在最優(yōu)比例關(guān)系使得流動阻力最小，公式表達為：

式中分別為母體管道和兩個子管道的直徑如圖6所示。此外，Murray又對分叉管道的夾角進行了研究，指出分叉管道的夾角之間也存在最優(yōu)值［30］。

圖6　子母管道示意圖

近幾十年來，學(xué)者對分形分叉結(jié)構(gòu)進行了廣泛的研究。比較有代表性的，1997年Bejan［31-32］提出了著名的構(gòu)造理論（Constructal Theory），通過對不同級別的高導(dǎo)熱材料體的熱阻優(yōu)化，形成了樹杈狀結(jié)構(gòu)。繼而將這種現(xiàn)象歸納分析，形成了樹狀分叉?zhèn)鬏斁W(wǎng)絡(luò)模型，并應(yīng)用在換熱器的設(shè)計制造方面。并且在后續(xù)的研究中還得到樹狀分叉的最優(yōu)分叉數(shù)量為2。

次年Dan等［33］通過研究兩種不同材料的導(dǎo)熱，證明了樹狀結(jié)構(gòu)的普適性。穩(wěn)態(tài)流中阻力最小，流動所用的平衡時間最小，由這兩個優(yōu)化原則得到的兩種最優(yōu)化結(jié)構(gòu)有著很好的相似性。

進入21世紀以來，學(xué)者對樹形分叉結(jié)構(gòu)的研究更加深入。2002年P(guān)ence［34］討論了分形樹狀換熱器對微通道換熱的影響。把轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)和交叉結(jié)構(gòu)處的流體流動和傳熱特性作為重點研究對象，表明這兩種結(jié)構(gòu)的存在使流體流動過程中流動和傳熱的努塞爾數(shù)發(fā)生變化，并在一定程度上提高了換熱能力。2005年Ghodoossi［35］針對分形結(jié)構(gòu)和平行管的流動換熱特性，在理論推導(dǎo)中結(jié)合流動換熱的相關(guān)公式做了一定程度的比較。得出分形結(jié)構(gòu)的性能普遍由于平行管換熱器。2006年Emerson等［36］對樹狀分叉換熱進行設(shè)計并模擬，對結(jié)構(gòu)參數(shù)，每個分叉的分支數(shù)，分叉的個數(shù)都進行了詳細的研究，得出結(jié)論與Bejan所得結(jié)論一致，證明了樹狀分形在回熱器中應(yīng)用的可行性。

3　分形理論熱應(yīng)用發(fā)展趨勢

對于分形多孔介質(zhì)傳熱，熱量傳遞是一個相當復(fù)雜的過程，熱量既可以通過不規(guī)則固體骨架進行傳播，還可以通過間隙中流動流體的對流以及導(dǎo)熱進行傳遞。而各類遷移參數(shù)同樣隨著實際多孔介質(zhì)內(nèi)部的幾何結(jié)構(gòu)的不規(guī)律性而出現(xiàn)不均勻性或者不確定性。分形理論的重要功能即是將這些不確定性利用其理論架構(gòu)進行準確的表述。所形成的分形多孔介質(zhì)就使得傳熱、流阻等方面得到精準的理論描述。但在當下的研究中，由于普維數(shù)同樣復(fù)雜多變，在導(dǎo)熱和擴散的過程中特性具有很大區(qū)別，則對于普維數(shù)的研究應(yīng)當更加深入，以期尋找到多變普維數(shù)與其所描述的動態(tài)過程之間的完整關(guān)系，之后將會使多孔材料的運用可控程度以及效率得到極大的提高。

對于蜂巢分形結(jié)構(gòu)而言，其優(yōu)良的傳熱性能已經(jīng)得到學(xué)界的認可，對其流動和傳熱的探究也從未間斷。當下的蜂巢結(jié)構(gòu)換熱器逐漸朝著微型化、復(fù)雜化發(fā)展，研究在微型化和復(fù)雜化的過程中，蜂巢結(jié)構(gòu)的流動和換熱特性的改變。另外，學(xué)界多研究單相流體在蜂巢分形結(jié)構(gòu)微管道網(wǎng)絡(luò)中的特性，對于可相變蜂巢結(jié)構(gòu)的研究并不多見。而對單相傳熱以及流阻的研究逐步向?qū)ο嘧儞Q熱和阻力的研究拓展，將會在繼承蜂巢結(jié)構(gòu)強換熱低流阻的優(yōu)點上利用巨大的相變潛熱進一步提升平均努塞爾數(shù)以得到更強的換熱，同時利用氣相的流動大大降低摩擦阻力減少壓降。

同樣對于分形樹狀分叉網(wǎng)絡(luò)的研究也建立在其特殊的幾何特性和運輸特性上，具有很高的理論和實用價值。其微型化的進程也在進一步研究當中。深入分析微型分叉通道的散熱以及流動阻力，形成一定的數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)模型進行數(shù)值模擬是與其他分形結(jié)構(gòu)相同的發(fā)展方向。在微尺度下，由于表面力的作用變得更加明顯，需要在采用連續(xù)介質(zhì)模型的同時對適用于宏觀尺度的模型進行修正，形成更加完善的適合微尺度的模型。同時，與蜂巢結(jié)構(gòu)和多孔介質(zhì)不同的是，樹狀分叉結(jié)構(gòu)的獲得一般由對自然狀態(tài)的模擬而來，并非直接生成。自然分叉系統(tǒng)的分叉具有隨機性而且結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，難以建立準確的幾何模型。因此，如何利用現(xiàn)有技術(shù)直接模擬生成可以達到人為規(guī)定參數(shù)標準精確的規(guī)則分叉系統(tǒng)或者更加復(fù)雜的隨機分叉系統(tǒng)，對這個系統(tǒng)加以理論描述，并運用于工程設(shè)備，也是未來的發(fā)展方向之一。

4　總結(jié)

對分形理論進行了簡要的介紹，對其重要特征和發(fā)展歷程予以回顧。針對分形理論在導(dǎo)熱方面的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀進行了詳細地介紹，并列舉出近些年較為重大的理論或者試驗研究。并以多孔介質(zhì)、蜂窩結(jié)構(gòu)、分形樹杈結(jié)構(gòu)為分類標準將學(xué)者的研究成果進行簡單歸納總結(jié)，同時提出了該領(lǐng)域的研究方向。

分形理論始于自然界的自然選擇，并在學(xué)者的研究下逐漸深入工程領(lǐng)域。在仿生學(xué)發(fā)展迅速的當今，分形理論的研究將會在生物醫(yī)學(xué)、電子器件、航空散熱反應(yīng)膜的制備［37］等各個方面有著更加繁榮的發(fā)展。

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FRACTAL GEOMETRY THEORY AND RESEARCH STATUS IN HEAT TANSFER

WU Tong，LIU Yi-cai，LEI Bin-yi
（Institute ofAdvanced Energy Storage Technology，Central South University，Changsha410083，China）

Fractal geometry theory and the development process and direction are the target of this paper.Abrief introduction of fractal geometry theory is put forwarded.The important characteristics and history of fractal geometry theory are reported.Porous media，honeycomb structure，fractal tree structure are taken as the standard of classification of the summary.And the paper introduces the research status at home and abroad in the filed of heat transfer with the important theories or experimental studies in recent years.Based on the research status，research directions in the future are regarded that improving the fractal theory in heat transfer will increase the efficiency of the heat transfer，reduce the resistance loss，improve the efficiency of the equipment and reduce the cost.

fractal structure；heat transfer；porous media；honeycomb structure；fractal tree structure；heat regenerator

TB65

A

1006-7086（2015）05-0249-06

10.3969/j.issn.1006-7086.2015.05.001

2015-08-12

國家自然科學(xué)基金項目（51276201）

武曈（1991-），男，河南省駐馬店人，碩士研究生，從事熱聲熱機及低溫制冷機研究。Email：168968756@qq.com。