韓　江，楊清艷，張魁榜，夏　鏈

(合肥工業(yè)大學 機械與汽車工程學院，合肥　230009)

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刀具誤差對螺旋錐齒輪加工精度的影響*

韓江，楊清艷，張魁榜，夏鏈

(合肥工業(yè)大學 機械與汽車工程學院，合肥230009)

螺旋錐齒輪數(shù)控加工過程中，用直廓截形代替盤狀銑刀刀刃理論截形的偏差影響螺旋錐齒輪齒面加工精度。在分析了螺旋錐齒輪數(shù)控加工原理這一基礎上，建立了刀刃到形成齒面的數(shù)學模型；依據(jù)空間嚙合理論計算盤狀銑刀刀刃實際截形，分析并建立了盤狀銑刀刀具半徑誤差與齒面的誤差的關(guān)系；進一步通過加工工件齒面點反算推導出刀具實際截形誤差，對實際的螺旋錐齒輪加工過程中齒面精度的提高具有重要的指導意義。

螺旋錐齒輪；刀具誤差；誤差分析

0　引言

齒面精度直接影響傳遞運動的準確性、傳遞運動的平穩(wěn)性和載荷分布的均勻性，齒輪的精度越高，傳遞的運動精度越高，機械效率越高，承載能力越強，耐磨性越好，疲勞壽命越長，機械振動和噪聲越小。齒面成形精度的影響因素很多，但主要取決于齒輪加工工藝方法、機床的動靜態(tài)精度、齒輪刀具精度三方面[1]。國內(nèi)外學者對復雜齒面誤差模型及修正技術(shù)作了大量研究即：基于搖臺型機床的齒面誤差修正[2-5]，但可調(diào)加工參數(shù)有限不能實現(xiàn)高精度誤差修正；基于CNC機床各軸誤差敏感矩陣的齒面修正[6-10]，可實現(xiàn)高階修正，但求解方法較為困難。文獻[11]提出了一種預設二次拋物線幾何傳動誤差與接觸路徑的螺旋齒錐齒輪拓撲修形加工方法，文獻[12]提出了優(yōu)化LTE幅值的準雙曲面齒輪修正方法，以上研究均未考慮到加工刀具的精度對齒面精度的影響。切削刀具的幾何誤差對工件精度的影響包括：一是不同的刀具誤差不盡相同，比如定尺寸成形刀具，其誤差影響工件的精度；二是刀具的使用過程中，刀具的磨損一定程度上也會產(chǎn)生一定的誤差。因此研究刀具誤差對螺旋錐齒輪的加工影響，對于提高齒輪加工精度具有非常重要指導意義。

依據(jù)微分幾何、包絡原理，在不考慮機床運動精度情況下，建立刀具齒廓誤差與齒輪齒廓誤差之間的定量映射關(guān)系模型，并對刀具半徑誤差值進行了計算，為了減小刀盤偏差所帶來的齒面加工精度的下降，并在開發(fā)螺旋錐齒輪數(shù)控系統(tǒng)時設計了刀補量，并推導出來其計算式子。

1　刀具廓形與刀具誤差的影響

1.1刀具廓形

1.1.1刀具實際廓形

螺旋錐齒輪數(shù)控加工機床結(jié)構(gòu)如圖1a所示，直接用計算機控制三個直線軸X、Y、Z，以及三個轉(zhuǎn)動軸A、B、C，用X軸與Y軸的聯(lián)合運動模擬搖臺的運動。圖1a中1為刀具旋轉(zhuǎn)軸C，2為刀具的X運動軸，3為刀具的Y運動軸，4為床鞍的Z運動軸，5為工件安裝軸B旋轉(zhuǎn)軸調(diào)整刀盤軸線和工件軸線相對角度的旋轉(zhuǎn)軸，6為工件旋轉(zhuǎn)軸A軸。按照圖1b所示建立螺旋錐齒輪加工坐標系。

圖1　螺旋錐齒輪數(shù)控加工機床及其坐標系

則依據(jù)微分幾何包絡原理，可以得出刀具坐標系St與工件動坐標系Sw的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系式(1)

rt=Mth·Mhm·Mm1·M12·M2w·rw

(1)

式中：rt為刀具位矢，Mth、Mhm、Mm1、M12、M2w為從被加工螺旋錐齒輪齒面到刀具的坐標變換矩陣。

根據(jù)坐標系的關(guān)系上式(1)可展開為

(2)

式中x——刀具X方向運動的距離

y——刀具Y方向運動的距離

z——床鞍Z方向運動的距離為齒深

根據(jù)文獻[13]所推導的螺旋錐齒輪數(shù)控展成法加工里各個數(shù)控軸運動公式可以得出，x、y與ψa是有聯(lián)動關(guān)系,即:

(3)

因此一旦工件的轉(zhuǎn)角已知，則機床運動的三個坐標軸x、y、z也就可以確定了。

1.1.2刀具理論廓形

刀具的切割面理論廓形主要是由直線型組成如圖2所示。刀片每一側(cè)生成兩個子表面。當?shù)毒邇A斜角為αg的直線段的部分主要生成輪齒工作面。半徑為ρw的圓弧段將生成的是齒輪的齒根部分的圓角。在加工過程中刀具的切割面主要是由刀具繞著軸zg旋轉(zhuǎn)角度θg則生成的。因此，刀具的切割面就可以看做是一個圓錐體和由圓弧為母線構(gòu)成的圓環(huán)面。切割面上的點的位置主要是由圓錐體的參數(shù)sg和參數(shù)θg，和圓環(huán)面的參數(shù)λg、θg確定。

(4)

上式中，sg,θg為刀具面的參數(shù)，αg為刀具齒形角，Rg為刀具的名義半徑，切割凹面的時候選擇符號‘+’，凸面時選擇符號‘-’。

圖2　直線廓形盤狀銑刀

式(4)得到了盤狀銑刀的齒廓方程，即銑刀盤包絡產(chǎn)生齒輪齒廓的母面方程。根據(jù)齒輪的加工原理，可以計算得到銑刀盤理論齒廓包絡生成螺旋錐齒輪的理論齒廓方程即：

(5)

1.2刀具誤差與螺旋錐齒輪齒面誤差的關(guān)系

1.2.1刀具直徑誤差對齒面誤差的定量關(guān)系

根據(jù)螺旋錐齒輪刀盤方程式(2)可以看出對刀具的形狀、大小有直接影響的是刀盤半徑和刀片的齒形角，因此對于螺旋錐齒輪加工刀具盤狀銑刀，其誤差主要分為兩大類，一是刀盤的半徑誤差；而是刀盤的齒形角誤差。刀盤的半徑誤差則可導致整個刀面的偏移，從而導致加工齒面出現(xiàn)齒廓偏差。設刀盤半徑偏差為ΔRg，則含誤差的刀盤方程為:

(6)

結(jié)合螺旋錐齒輪加工原理以及微分方程，得到由式子(6)包絡產(chǎn)生的帶有齒廓誤差的螺旋錐齒輪齒面方程：

(7)

于是結(jié)合式子(5)通過計算得出齒面點關(guān)于刀盤半徑誤差值ΔRg的函數(shù)表達式為

(8)

式(8)可以看出刀盤半徑的偏差導致齒面點在xt、yt、zt三個方向都有偏差即出現(xiàn)齒廓誤差，且各個方向的誤差位移量都是刀盤誤差ΔRg的一次函數(shù)；并且在不同的齒面點處其誤差量也不同。

1.2.2刀具直徑誤差對齒面精度影響

為了更形象的說明刀盤誤差與齒廓誤差的關(guān)系，在進行仿真實驗。螺旋錐齒輪的數(shù)據(jù)如表1所示。

表1　仿真中采用的齒輪參數(shù)和刀具參數(shù)

圖3a、3b、3c分別為螺旋錐齒輪凹面大端各方向偏差與刀盤半徑偏差的曲線圖、螺旋錐齒輪凹面中部各方向偏差與刀盤半徑偏差的曲線圖以及螺旋錐齒輪凹面小端各方向偏差與刀盤半徑偏差的曲線圖。從以上三圖可以看出螺旋錐齒輪凹面點xt、yt、zt三個方向的誤差隨著ΔRg的增大而增大；在同一刀盤半徑偏差ΔRg下，齒面不同點處其偏差值不同；圖3a中顯示越是靠近大端yt方向的偏差增大；相反在圖3c中，zt方向誤差愈靠近小端越是增大；比較3幅齒面點誤差與刀盤半徑誤差的圖，yt、zt方向，xt方向誤差受ΔRg的影響較小。

圖3　螺旋錐齒輪凹面偏差與刀盤半徑偏差的關(guān)系曲線圖

2　刀具實際截形誤差計算

螺旋錐齒輪展成法加工的齒面是刀具回轉(zhuǎn)面的包絡，根據(jù)螺旋錐齒輪局部嚙合原理可知與刀具回轉(zhuǎn)面之間任一瞬時為空間點接觸，接觸點既在工件齒面上也在刀具回轉(zhuǎn)面上，因此求出滿足空間嚙合條件的接觸點就可以求出刀具回轉(zhuǎn)面上的點，將得到的回轉(zhuǎn)面上的點轉(zhuǎn)至刀具平面即可得到刀具截形。因此可以通過逆解的方法求算出實際刀具截形。按照圖1b所示螺旋錐齒輪數(shù)控加工運動關(guān)系可知被加工齒面位矢、法矢為：

rw(sg,θg,φg)=Mw2·M21·M1m·Mmh·Mht·rt(sg,θg)

(9)

(10)

式中：rt(sg,θg)為刀具位矢，sg,θg為刀具參數(shù)；Mw2、M21、M1m、Mmh、Mht為從刀具到被加工螺旋錐齒輪齒面的坐標變換矩陣。

推導出了螺旋錐齒輪齒廓方程，通過工件齒廓反算出刀具廓形。按照圖1b所示加工螺旋錐齒輪運動關(guān)系，刀具軸向廓型：

(11)

(12)

其中rw,nw,分別為工件齒向修形齒面位矢、法矢。

以上所求為刀具軸向廓型上的離散點，必須將所有的離散點經(jīng)過擬合成線，才能得到工件的軸向廓形。因此我們采用3次B樣條擬合為軸向截形曲線通過旋轉(zhuǎn)得到工件曲面方程：

(13)

Rt(u,θ)=Rw(u)M(θ)

(14)

式中Mc為均勻3次B樣條常量矩陣；Vi為樣條控制點向量，n為控制點個數(shù)；u為樣條參數(shù)；M(θ)為繞刀具回轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

由上述推導可知螺旋錐齒輪刀具的實際截形曲線為XOZ平面上的一系列嚙合點M的集合，由空間嚙合理論求得。將XOZ平面上的點坐標標記為(xi，zi)(i=1，2，3...，N，N為計算取點的個數(shù))。

由上面圖2所示，螺旋錐齒輪刀具齒面加工處在XOZ平面的投影，是以αg為角度的一條斜線，可表示為：

z=cotαg(x-Rg)

(15)

因此刀具的齒廓誤差就為實際計算的離散點到理論擬合直線的距離，由式子(18)，根據(jù)點到直線的距離公式，第i點對應的刀具齒面誤差值為：

(16)

圖4　刀齒距誤差示意圖

根據(jù)國家標準GB/T6084—2001關(guān)于齒輪加工刀具齒廓誤差的規(guī)定：在檢查截面中的測量范圍內(nèi)，容納實際齒廓的兩條理論直線齒廓間法向距離。因此，齒廓最大誤差是在理論齒廓的基礎上偏離公差帶的二分之一，如圖4所示。

若根據(jù)上面所推導的根據(jù)所加工出來的工件齒面點反算出的刀具齒面點誤差。其刀盤齒面法向誤差ε>Δt，對于整體式刀盤則需要換刀加工，對于分體式刀盤，則需要調(diào)整刀片的位置或者跟換刀片；若根據(jù)上面所推導的刀盤齒面法向誤差ε≤Δt，則該刀盤則不需要調(diào)整。

3　結(jié)論

本章依據(jù)微分幾何、包絡原理，在不考慮機床運動精度情況下，推導出了刀具半徑偏差與齒輪齒廓誤差之間的定量映射關(guān)系模型；并仿真模擬了刀具半徑偏差對齒面的影響進行了，得出螺旋錐齒輪齒面點xt、yt、zt三個方向的誤差隨著ΔRg的增大而增大；為了更為真實的獲得刀盤半徑誤差的大小，根據(jù)所獲取工件表面點對刀盤實際截形進行了反算推導，對螺旋錐齒輪磨齒數(shù)控加工中，砂輪的修整具有重要的指導意義。

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(編輯李秀敏)

Cutter Errors Affect of the Accuracy of Spiral Bevel Gear Machining

HAN Jiang, YANG Qing-yan, ZHANG Kui-bang , XIA Lian

(School of Mechanical and Automotive Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009,China)

The deviation of the profile that cutter blade use a straight profile to instead the truly, that will impact the machining accuracy of spiral bevel gear tooth surface, during CNC machining process. This paper analyzes the principle of CNC machining spiral bevel gear first, and then a base on that build a mathematical model of the blade to the tooth surface; after that based on the space meshing theory to calculate the actual cutter blades; forward to analyze and establish the relationship of cutter radius affect tooth flank errors; finally, deduced actual tool profile error. This study will be important guiding significance to improve the accuracy of spiral bevel gear tooth surfaces.

spiral bevel gear; cutter error; error analysis

1001-2265(2015)11-0103-04DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.11.029

2014-12-30；

2015-01-27

國家科技支撐計劃項目(2012BAF13B01)

韓江(1963—)，男，河南洛陽人，合肥工業(yè)大學教授，博士生導師，博士，研究方向為數(shù)控技術(shù)研究，(E-mail)hanjiang626@126.com。

TH16;TG506

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